1、平面法向量的求法及其應用一、平面的法向量1、定義：如果a ，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。2、平面法向量的求法方法一（內積法）:在給定的空間直角坐標系 中，設平面 的法向量n （X,y,i）或n（x,i,z），或 n（i，y，z），在平面 內任找兩個不共線的向量 a,b。由n ，得na 且nb ，由此得到關于“ 的方程組，解此方程組即可得到n。 方法二：任何一個x, y,z的一次次方程的圖形 是平面；反之，任何一個平面的方程是x,y,z 的一次方程。 Ax By Cz D 0（A, B,C不同時為0）， 稱為平面的一般方程。其法向量n （A,B,C）

2、；若平面 與3個坐標軸的交點為 Pi（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如 圖所示,則平面方程為:-y - 1,稱此方程為 a b c平面的截距式方程，把它化為一般式即可 求出它的法向量。方法三（外積法）: 設為空間中兩個不平行的非零向量，其外積a b為一長度等于|a|b|sin ， （ B為，兩者交角，且0），而與 皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由 .的方向轉為的方向時，大拇指所指的方向規定為a b的方向，a b b a設 a (x1,y1,Z1),b(x2,y2,z2),則:a by1ziX1Z1X1y1y2 Z2JX2Z2X2 y2(注：1、二階行

3、列式:Macb dad cb ；2、適合右手定則。)例 1、已知，a (2,1,0),b ( 1,2,1),試求(1)： a b; ( 2) : ba.Key: (1) a b (1, 2,5) ;(2)b a (1,2,5)例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1 中，求平面 AEF的一法向量法二、平面法向量的應用1、求空間角(1) 、求線面角：如圖2-1,設n是平面的法 向量，AF AE (1,2,2) 向量 n。圖 2-1-1:圖 2-1-2:n，AB -n abarccos.2|n |丄AB| si nn AB| cos n, AB |arccos|n| 站 2A

4、B是平面 的一條斜線，a ，貝U AB與平 面 所成的角為:、 的 則m圖nm圖m,m n arccos|m| |n|m n（圖 2-2）;m,arccos（圖 2-3）|m| |n|求面面角:設向量m，n分別是平面、 向量， 面角 l的 角為：,可使法 約定，兩個平面的法向量方向選取合適 向量夾角就等于二面角的平面角。在圖2-2中，m的方向對平面 而言向外，n 的方向對平面 而言向內；在圖2-3中，m的 方向對平面 而言向內，n的方向對平面 而言向內。我們只要用兩個向量的向量積使得（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）兩個半平面的法向量一個向內一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面 角l

5、的平面角。2、求空間距離（1）、異面直線之間距離：方法指導：如圖2-4,作直線a、b的方向 向量a、b ,求a、b的法向量n,即此異面直線 a、b 的公垂線的方向向量；a 在直線a、b上各取一點A、作向量ab ； 求向量AB在n上的射影d,則異面直線a、 b間的距離為nBd |AB空,其中 n a,n b,A a,B b Ina!a外一(2) 、點到平面的距離：方法指導：如圖2-5,若點B為平 點，點A為平面a內任一點，平面的法向量為n,則點p到平面a的距離公式為(3) 、直線與平面間的距離 方法指導：如圖2-6,直線a與平面 之間的n其中An是平面uuu rAB n|n|距離:(4) 、平面

6、與平面間的距離圖方法指導：如圖2-7,兩平行平 面,之間的距離：d |AB?生其中A ,B 。是平面、|n|的法向量 3、證明圖(1) 、證明線面垂直：在圖2-8中,m / a /a 向是平面的法向量，a是直線a 的方向向量，證明平面的法向量 與直線所在向量共線(m a )。(2) 、證明線面平行：在圖 2-9 中,m向是平面的法向量，a是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線 所在向量垂直(m?a 0) o(3) 、證明面面垂直：在圖 2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法 向量，證明兩平面的法向量垂直(m? n 0 )(4)、證明面面平行：在圖2-11 中，m向是平面的法向量，n是平

7、面的法 向量，證明兩平面的法向量共線(m n ) o三、高考真題新解1、(2005 全國 I, 18)(本 P 大題滿分12分):z M已知如圖3-1,四棱錐”ABP-ABCD的底面為直角梯D圖C形，AB/ DC, dab 90 ,pa 底面 ABCD,且PA=AD=DC=AB=1, M 是 PB 的中點(I)證明：面PAD丄面PCD(U)求AC與PB所成的角；(皿)求面 AMC與面BMC所成二面角的 大小.解:以A點為原點，以分別以AD, AB, AP 為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz如圖所示.(I). AP (0,0,1) , AD (1,0,0)，設平面 PAD 的法向量

8、 為 m AP AD (0, 1,0)又DC (0,1,0) , DP ( 1,0,1)，設平面 PCD的法向量 為 n DC DP (1,0,1)m?n 0 , m n，即平面PAD平面PCD。(II ). AC(1,1,0) , PB (0,2, 1),AC,PBAC?PB民arccosarcco5|AC|PB|5(III). CM ( 1,0,2) , CA ( 1, 1,0)，設平在 AMC 的法 向量為 m CM CA (1, 1,1).2 2又CB ( 1,1,0),設平面PCD的法向量為1 1n CM CB ( , -, 1)2 2 m? n2、m, n arccosarccos

9、().|m| |n|3 面AMC與面BMC所成二面角的大小為2 、 2 arccos( )或arccos3 32、(2006年云南省第一次統測19題)(本題滿分12分)如圖3-2,在長方體 ABC 已知 AB= AA1 = a, BC=血 中點。(I )求證：AD/平面A1BC (II)求證：平面A1MC丄平面A1BD1;(皿)求點A到平面A1MC的距離。解:以D點為原點，分別以DA,DC,DD為x 軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系 D-xyz如 圖所示(I). BC ( 2a,0,0),BA1 (0, a,a),設平面 ABC 的法向量為 n BC BA1 (0, . 2a2, 2a2)又

10、 AD ( 2a,0,0) , n?AD 0 , AD n , 即卩 AD(II). MC (子a,0,a),MAi (彳a,a,0),設平面 AlMC 的 法向量為：m MC MAi (a2,亞a2,並a2)2 2 J又 BDi (逅a, a,a), BA (0, a,a),設平面 AiBDi 的法 向量為： n BD1 BA1 (0, J2a2,a2),m?n 0, m n,即平面 AlMC 平面 AiBDi.(III ).設點A到平面AiMC的距離為d,m MC MAi2222, (a , a , a )是平面AiMC的法向量，2 2!-又MA -2a,0,0), a點到平面AiMC的距離為:d|m?MA|四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”|m|2（i）、建立空間直角坐標系（利用現有三條兩兩垂直的直