1、一次函數綜合（動點）問題平行四邊形存在問題適用學科初中數學適用年級初中三年級適用區域全國新課標課時時長（分鐘）60分鐘知識點1、二次函數y=ax2+bx+c的圖像禾口2、平行四邊形性質3、平行四邊形模型探究學習目標一.知識與技能1、掌握二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質；2、掌握平行四邊形的性質；3、會對平行四邊形模型進行探究，分類討論不同的情況。二.過程與方法1、首先要掌握二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質，因為平行四邊形存在問題是在二 次函數的前提下進行的；2、掌握平行四邊形的性質，先脫離二次函數，再回到二次函數的情景中研究；3、先從簡單入手探究平面直角坐標系中動點情況下平行的

2、存在問題，然后回到二 次函數前提下的平行四邊形存在問題。4、充分運用數形結合、轉化、方程等數學思想來幫助解題。三.情感、態度與價值觀1、培養學生的處理圖像綜合運用的能力；2、讓學生養成從特殊到一般，從簡單到復雜的學習方法；3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心。學習重點是否存在一點使得四邊形是平彳亍四邊形，如果存在求出點的坐標學習難點是否存在一點使得四邊形是平行理邊形，如果存在求出點的坐標學習過程一、復習預習(一)利用待定系數法求拋物線解析式的三種常用形式：(1)【一般式】已知拋物線上任意三點時，通常設解析式為,然后解三元方程組求 解；(2 )【頂點式】已知拋物線的頂

3、點坐標和拋物線上另一點時,通常設解析式為 求解；(3 )【交點式】已知拋物線與軸的交點的坐標時，通常設解析式為。(二)拋物線上兩個點A ( xi , y ), B ( X2, y )之間的關系：_ 占 + *2(1)如果兩點關于對稱軸對稱，則有對稱軸X =2；（2）兩點之間距離公式：已知兩點尸&，必），。&，乃）, 則由勾股定理可得：匹一小）、（）|一為.練一練：已知 A （ 0 , 5 ）和 B （ -2,3）,貝!J AB=。為+巧 M + 丁2'中點公式：已知兩點P（X"）°（X2，）'2）,則線段PQ的中點例為12 ' 2 J

4、。練一練：已知A （ 0 , 5 ）和B （2 , 3 ）,則線段AB的中點坐標是如圖：PG IIX軸，QGIIY軸，P點的橫坐標為XI，G點的橫坐標為X2 ,縱坐標為丫2 , Q點的縱坐標 為 Yi ,則線段 PG = XX2I , QG=|Y1-Y2|o（三）求三角形的面積:（1）直接用面積公式計算；（2）割補法；（3）鉛垂高法；如圖，過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫 ABC的水 平寬（a ）,中間的這條直線在SBC內部線段的長度叫 ABC的鉛垂高（h ）.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S&ABC二Tah ,即二角形面積等于水平寬與

5、鉛垂局乘積的f帶江(四)二次函數中三角形面積、周長的存在性問題解題思路：(1)如果是一個三角形面積為一個三角形面積的多少倍，則分別表示出每個三角形的面積去求解；如 果是一個三角形面積為固定值，則用含有未知數的式子去表示面積去求解；如果是三角形周長最小，則 做對稱點去求解；如果是三角形面積最大，則劃歸為二次函數最值問題去求解。(2 )再畫圖;(3 )后計算。二、知識講解考點/易錯點1二次函數y二ax“bx+c的圖像和性質：a > 0a < 0圖象開 口對稱軸頂點坐標最 值當X =時,y有最值是當X =時,y有最值是增減性在對稱軸左側y隨x的增大而y隨x的增大而在對稱軸右側y隨x的增大

6、而y隨x的增大而考點/易錯點2平行四邊形性質：兩組對邊分別平行且相等,對角相等，對角線互相平分。考點/易錯點3平行四邊形模型探究：1 .已知三個定點，一個動點的情況在直角坐標平面內確定點材，使得以點以從我。為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點材的坐標。M? c 2皿如圖：分別以三角形ABC的邊做平行線,三條平行線相加形成一個三角形、三角形的三個頂點即是滿足題意的M點的坐標。12 .已知兩個定點，兩個動點的情況確定兩定點連接的線段為一邊，則兩動點連接的線段應和已知邊平行且相等；兩定點連接的線段沒確定為平行四邊形的邊時，則這條線段可能為平行四邊形的邊或對角線。三、例題精析【例題1【題干】(十堰

7、)已知拋物線y=ax2+2ax+b與x軸的一個交點為A (-1,0 ),與y軸的正半軸交于點C .(1)直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；(2 )當點C在以AB為直徑的。P上時，求拋物線的解析式;(3 )坐標平面內是否存在點M，使得以點M和(2 )中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】 X=1 , B ( 3 , 0 ); y=,2+x+VI; Ml (4 ,於)，M2 (-4 ,遮)，M3 ( 2 , oo-Vs).【解析】解：(1)對稱軸是直線：x=l ,點B的坐標是(3,0).(2 )如圖，

8、連接PC,.點A、B的坐標分別是A (-1,01 6(3,0), ,AB=4.-.PC=iAB=ix4=222在 RtPOC 中，/OP=PA-OA=2-1=1 , /.OC=VPC2-P02=x/3 z .'.b=/3當x=-l z y=0日寸,a2a+6=0（3 ）存在.理由：如圖，連接AC、BC .設點M的坐標為M （ x , y ）.當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM IIAB ,且CM=AB . 由（2 ）知,AB=4 ,.,.|x|=4 , y=OC=V3 ./.x=±4 .點M的坐標為M（4,遮）或（4,6）.當以AB為對角線時，點M在x軸下方.

9、過 M 彳乍 MN±AB 于 N ,則/MNB=nAOC=90 度.四邊形AMBC是平行四邊形， 二.AC二MB , HACllMB ./.zCAO=zMBN .AOC當BNM ./.BN=AO=1 z MN=CO=V3 ./OB=3 , /.0N=3-l=2 .點M的坐標為M(2,-V3).綜上所述，坐標平面內存在點M 形.其坐標為Mi (4,遍)，M2 (-4，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊,y/3 ), M3 ( 2 , -V3 ).【例題2】【題干】(安福縣模擬)已知：如圖，拋物線y二ax2+3ax+c ( a > 0 )與y軸交于C點，與x軸交于 A、

10、B兩點，A點在B點左側,點B的坐標為(1,0), OC = 3BO .(1)求拋物線的解析式；(2 )若點D是線段AC下方拋物線上的動點,求四邊形ABCD面積的最大值;(3 )若點E在x軸上，點P在拋物線上,是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊 形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】Q)片評+23;§ ;(3) Pi( 442【解析】解：(1)；B(1,O),/.OB=1 ;/0C=3B0 ,-<(0,-3);-3,-3),vy=ax2+3ax+c 過 B(1,(H C(0,-3),.一3(a + 3a + c = 0(a .解這個方程組，

11、得4(c = - 3拋物線的解析式為：y=評號x-3 44(2 )過點D作DM lly軸分別交線段AC和x軸于點M、N在片評*-3中，令y=0 ,得方程 44解這個方程，得xi=-4,X2=1 .A (-4,0)設直線AC的解析式為y=kx+b fo= -4/c + b| b= -3fk = -解這個方程組，得4b = -3. .AC的解析式為：y=|-%-3- S 四邊形 ABCD=s匚ABC + SaADCqjDM，(AN+ON)=上+2。例2設/x, +?x-3) , Mx, -x-3)DM= -x-3-(-+-x-3) = - (x+2)2+3 4444444當x=-2時，DM有最大值

12、3此時四邊形ABCD面積有最大值?(3)如圖所示，過點C作CPi II x軸交拋物線于點Pi,過點Pi作PiEi II AC交x軸于點Ei ,此時四邊形ACPiEi為平行四邊形，C ( 0 ,3 ),設 Pi ( x , -3 )解+?x-3 = -3 44解得 xi=O , x2=-3Pi (-3,-3);平移直線AC交x軸于點E ,交x軸上方的拋物線于點P ,當AC=PE時，四邊形ACEP 為平行四邊形，C (0,-3)設 P(x, 3),:.-x1+-x-3 = 3 , x2+3x-8=044解得*或X：22產，此時存在點丹(三爐，3)和丹(三豆，3)綜上所述存在3個點符合題意，坐標分別

13、是Pi ( -3 ,-3 ),我*i , 3),與(三運，3).【例題3】【題干】(義烏市)如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側)，直線I與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2 .(1)求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式;(2)P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點,求線段PE長度的最大值；(3 )點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F ,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由【答案】y二X1 ; (2)1; Fl (1,0 ), F2 (-3,0 ),

14、 F3 ( 4+夕，0 ), F4 ( 4夕，0 ).【解析】解：(1)令y=0 ,解得xi=-l或x2=3/.A (-1 f 0 ) B ( 3 f 0 )將C點的橫坐標x=2代入y=x22x-3得y=-3- C (2,-3).直線AC的函數解析式是y=-x-l ;(2 )設P點的橫坐標為x (-l<x<2 )則P、E的坐標分別為:P ( x , -x-1)E ( x , x2-2x-3 ).P 點在 E 點的上方，PE= (-x-1) - ( x22x-3 ) =-2+x+2=- ( x,)2+?, 24.當時，PE的最大值蕓; 24(3 )存在4個這樣的點 F ,分別是 Fi

15、(l,0),F2(-3f0),F3( 4+V7 ,0 ),F" 4-V7 ,0 ).如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG llx軸，此時AF=CG=2 ,因此F點的坐標是（-3,0）;如圖，AF=CG=2 , A點的坐標為（1,0 ）,因此F點的坐標為（1,0）;如圖，此時C , G兩點的縱坐標關于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線 中即可得出G點的坐標為（1+V7,3 ）,由于直線GF的斜率與直線AC的相同,因此可 設直線GF的解析式為y=x+h ,將G點代入后可得出直線的解析式為y=x+4+V7 .因 此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+V7,0）;!1!如圖，同

16、可求出F的坐標為（4-V7,0 ）.綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點.【基礎】1 .(阜新)如圖，拋物線y=，2+x.再x軸相交于A、B兩點，頂點為P .(1)求點人、B的坐標；(2在拋物線是否存在點E使MBP的面積等于aABE的面積？若存在 求出符合條件的點E的坐標； 若不存在，請說明理由；(3 )坐標平面內是否存在點F ,使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標.2 .(湖州)已知拋物線y=x22x+a ( a < 0 )與y軸相交于點A，頂點為M .直線y=|x-a分別與x軸， y軸相交于B , C兩點，并且與直線AM相交于點N .

17、(1)試用含a的代數式分別表示點M與N的坐標；(2 )如圖，將OAC沿y軸翻折,若點N的對應點N'恰好落在拋物線上，AN'與x軸交于點D,連 接CD ,求a的值和四邊形ADCN的面積;(3 )在拋物線y=x22x+a (a<0)上是否存在一點P ,使得以P , A , C , N為頂點的四邊形是平行 四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，試說明理由.【鞏固】1 .(盤錦三模)如圖，對稱軸為直線x=g的拋物線與y軸交于點C ( 0 ,-3 ),與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，AB = 5(1 )求A、B兩點的坐標及該拋物線對應的解析式；(2 ) D為BC的中點

18、，延長OD與拋物線在第四象限內交于點E ,連結AE、BE .求點E的坐標；判斷ABE的形狀,并說明理由;(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點P,使得四邊形 OBEP是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在， 請說明理由.2 .(柳州)如圖，已知拋物線y=ax2-2ax-b ( a > 0 )與x軸的一個交點為B (, 0 ),與y軸的負半 軸交于點C,頂點為D.(1)直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標；(2)以AD為直徑的圓經過點C.求拋物線的解析式；點E在拋物線的對稱軸上，點F在拋物線上，且以B,A , F , E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標.3.(槐蔭區三模)如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y 軸相交于點C ,頂點為D,連接BC , BC與拋物線的對稱軸交于點E.(1)求點B、點C的坐標和拋物線的對稱軸；(2 )求直線BC的函數關系式;(3 )點P為線段BC上的一個動點，過點P作PFIIDE交拋物線于點F.設點P的橫坐標為m ;用含 m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？【拔高】1.(湛江)如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D ( -1 , -4 ),與y軸交于點C ( 0 , -3 ),與x軸交于