1、本章內容：本章內容：. . 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析. LTI. LTI系統的頻域分析系統的頻域分析. . 傅立葉級數的性質傅立葉級數的性質3.0 引言引言 Introduction v時域分析方法的基礎：時域分析方法的基礎：v信號在時域的分解。信號在時域的分解。vLTILTI系統滿足線性、時不變性。系統滿足線性、時不變性。2.具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。具有普遍性，能夠用以構成相當廣泛的信號。 1.本身簡單，且本身簡單，且LTI系統對它的響應能簡便得到。系統對它的響應能簡便得到。v 從分解信號的角度出發，基本信號單元必須滿從分解信號的角度出發，基本信號單元必須滿足兩個

2、要求：足兩個要求：3.1歷史的回顧歷史的回顧 （A Historical Perspective）v17681768年生于法國年生于法國v18071807年提出年提出“任何周任何周期信號都可以用正弦期信號都可以用正弦函數的級數來表示函數的級數來表示”v拉格朗日反對發表拉格朗日反對發表v18221822年首次發表年首次發表“熱熱的分析理論的分析理論”v18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個給出收斂條件個給出收斂條件傅里葉生平傅里葉生平17681830傅里葉的兩個最重要的貢獻傅里葉的兩個最重要的貢獻v“周期信號都可以表示為成諧波關系的正弦信 號的加權和”傅里葉的第一個主要論點v“非周期信號

3、都可以用正弦信號的加權積分來表示”傅里葉的第二個主要論點由時域分析方法有，由時域分析方法有，()( )( )( )( )s tstssty tehdehedH s e()( )( )( )( )nknknkky nzh kzh k zH z z3.2 LTI系統對復指數信號的響應系統對復指數信號的響應The Response of LTI Systems to Complex Exponentialsstenz( )h n( )h tste( )y tnz( )y nv 考查考查LTI系統對復指數信號系統對復指數信號 和和 的響應的響應 可見LTI系統對復指數信號的響應是很容易求得的。這說明

4、和 符合對單元信號的第一項要求。stenz特征函數特征函數 (Eigenfunction)(Eigenfunction)v 如果系統對某一信號的響應只不過是該信號乘如果系統對某一信號的響應只不過是該信號乘以一個常數，則稱該信號是這個系統的特征函數。以一個常數，則稱該信號是這個系統的特征函數。系統對該信號加權的常數稱為系統與特征函數相對系統對該信號加權的常數稱為系統與特征函數相對應的特征值。應的特征值。結論：結論：v 只有復指數函數才能成為一切只有復指數函數才能成為一切LTILTI系統的特征系統的特征函數。函數。v 復指數函數復指數函數 、 是一切是一切LTI系統的特征函系統的特征函數。數。 、

5、 分別是分別是LTI系統與復指數信號相對系統與復指數信號相對應的特征值。應的特征值。( )( )stH sh t edt( )( )nkH zh n zstenz( )H s( )H z對時域的任何一個信號 或者 ,若能將其表示為下列形式：( )x t( )x ntststseaeaeatx321321)(利用系統的齊次性與疊加性利用系統的齊次性與疊加性nkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：* *問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數信號的問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數信號的線性組合來表示？線性組合來表示？tst

6、stsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有所以有111( )s ts teH s e222()s ts teH s e333( )s ts teH s e由于由于Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 連續時間周期信號的傅里葉級數表示連續時間周期信號的傅里葉級數表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，一一. 連續時間傅里葉級數連續時間傅里葉級數0( )jktkte02k02 成諧波關系的復指數信號集成諧波關系的復指

7、數信號集: ，其中每個信號都是以，其中每個信號都是以 為周期的，它們的公共周期為為周期的，它們的公共周期為 ，且該集合，且該集合中所有的信號都是彼此獨立的。中所有的信號都是彼此獨立的。 0, 1, 2,k 例例1 1：0( )cosx tt001122jtjtee 顯然顯然 也是以也是以 為周期的。該級數就為周期的。該級數就是傅里葉級數，是傅里葉級數， 稱為傅立葉級數的系數。稱為傅立葉級數的系數。 這表明用傅里葉級數可以表示連續時間周這表明用傅里葉級數可以表示連續時間周期信號，即期信號，即: : 連續時間周期信號可以分解成連續時間周期信號可以分解成無數多個復指數諧波分量。無數多個復指數諧波分量

8、。02( )x tka0( ),0, 1, 2jktkkx ta ek有有例例2 2：00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee112a在該信號中，有四個諧波分量，即在該信號中，有四個諧波分量，即, 3, 1 k時對應的諧波分量。時對應的諧波分量。傅里葉級數表明：連續時間周期信號可以按傅立葉傅里葉級數表明：連續時間周期信號可以按傅立葉級數分解成無數多個復指數諧波分量的線性組合。級數分解成無數多個復指數諧波分量的線性組合。二二. .頻譜頻譜SpectralSpectral的概念的概念 在傅里葉級數中，各個信號分量諧波分量）在傅里葉級數中，各個信號分量諧波分量）

9、間的區別也僅僅是幅度可以是復數和頻率不同。間的區別也僅僅是幅度可以是復數和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的頻率。線段的位置表示相應的頻率。t( )kt 信號集信號集 中的每一個信號，除了成諧波關中的每一個信號，除了成諧波關系外，每個信號隨時間系外，每個信號隨時間 的變化規律都是一樣的，的變化規律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。差別僅僅是頻率不同。01分量分量 可表示可表示為為0jte 因此，當把周期信號因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數表示為傅里葉級數 時，就可以將時，就可以將 表示為表示為( )x t(

10、)x t0( )jktkkx ta e這樣繪出的圖這樣繪出的圖稱為頻譜圖稱為頻譜圖1212000000a1a2a3a3a2a1agggggggg0001cos()2jtjttee表示為表示為 頻譜圖其實就是將頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布表示出來，隨頻率的分布表示出來，即即 的關系。由于信號的頻譜完全代表了信的關系。由于信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法。種表示信號的方法稱為頻域表示法。kaka三.傅里葉級數的其它形式 0000*( )jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea

11、 ea ea ekkaa或或*kkaa 假設假設 是實信號是實信號, ,則有則有)()(txtx，于是，于是( )x t若令若令kjkkaA e，那么，那么 為實數。于是為實數。于是0a0001kkjktjjktjkkkaA eeA ee0001()()01( )kkkjjktj ktj ktkkkkkkx tA eeaA eA e*kkjjkkkkaaA eA eQ即：即：kkAAkk 闡明闡明 的模關于的模關于 偶對稱，幅角關于偶對稱，幅角關于 奇對稱。奇對稱。kakk0001( )kkjktjjktjkkkx taA eeA ee0012cos()kkkaAkt 傅里葉級數的三角函數表示

12、式傅里葉級數的三角函數表示式kkkaBjC 若令若令那么那么00101( )()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC e0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe*kkaaQkkkkBjCBjC因此因此kkBBkkCC即即 的實部關于的實部關于 偶對稱，虛部關于偶對稱，虛部關于 奇對稱。奇對稱。kakk0001( )()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt 傅里葉級數的另一種三角函數形式傅里葉級數的另一種三角函數形式將此關系代入，可得到將此關系代入，可得到四四. .連續時間傅里葉級數系數的確定連續時間傅里葉級

13、數系數的確定00()( )jntj k ntkkx t ea e對兩邊同時在一個周期內積分，有對兩邊同時在一個周期內積分，有0000()00( )TTjntj kntkkx t edtaedt0( ),jktkkx ta e002T( )x t則有則有如果周期信號如果周期信號 可以表示為傅里葉級數可以表示為傅里葉級數0000()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt0000( )Tjntnx t edta T00001( )Tjntnax t edtT即即00,Tknkn 在確定此積分時，只要積分區間是一個周期即可，在確定此積分時，只要積分區間是一個周期即

14、可，對積分區間的起止并無特別要求，因此可表示為對積分區間的起止并無特別要求，因此可表示為0001( )jktkTax t edtT0001( )Tax t dtT是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。0a五五. .周期性矩形脈沖信號的頻譜周期性矩形脈沖信號的頻譜1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa( )xxxsinsinc( )xxx其中其中10T0Tt( )x t 根據根據 可繪出可繪出

15、的頻譜圖。的頻譜圖。 稱為占空比稱為占空比ka( )x t102TT0( )Sa x1x0121sin ( )c x1x110212TT10214TT10218TT不變不變 時時0T1T 10212TT10214TT10218TT1T不變不變 時時0T 周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 1. 離散性離散性 2. 2. 諧波性諧波性 3. 3. 收斂性收斂性 考查周期考查周期 和脈沖寬度和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：改變時頻譜的變化：0T12T當當 不變，改動不變，改動 時，隨時，隨 使占空比減小，譜使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡的形狀不變，線

16、間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡的形狀不變，包絡主瓣內包含的諧波分量數增加。包絡主瓣內包含的諧波分量數增加。2. 2. 當當 改動，改動， 不變時，隨不變時，隨 使占空比減小，使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變，包譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡改變，包絡主瓣變寬。主瓣內包含的諧波數量也增加。絡主瓣變寬。主瓣內包含的諧波數量也增加。1T1T 0T0T 1T0T當當 時，有時，有( )()x txt0000220020012( )( )cosTTjktTkax t edtx tktdtTT當當 時，有時，有( )()x txt 0000220020012( )( )sinTTj

17、ktTkax t edtjx tktdtTT 闡明：奇信號的闡明：奇信號的 是關于是關于 的奇函數、虛函數。的奇函數、虛函數。kak闡明：偶信號的闡明：偶信號的 是關于是關于 的偶函數、實函數。的偶函數、實函數。kak信號對稱性與頻譜的關系：信號對稱性與頻譜的關系：3.4 連續時間傅里葉級數的收斂連續時間傅里葉級數的收斂 這一節來研究用傅氏級數表示周期信號的普遍這一節來研究用傅氏級數表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數。傅里葉級數。一一. . 傅里葉級數是對信號的最佳近似傅里葉級數是對信號的最佳近似假設假設 以以 為周

18、期為周期0( )jktkkx ta e002T( )x t0T用有限個諧波分量近似用有限個諧波分量近似 時，有時，有( )x t0( )NjktNkkNxta eConvergence of the Fourier series誤差為誤差為( )( )( )NNetx txt 以均方誤差作為衡量誤差的準則，其均方誤差為00220011( )( )( )( )NNNTTEtetdtx txtdtTT000*01( )( )NNjktjktkkTkNkNx ta ex ta edtT于是：于是：0220012)( )cos()NNNkkkkkTkNkNEtx tdtAABTT（結論：在均方誤差最小

19、的準則下，傅里葉級數是對結論：在均方誤差最小的準則下，傅里葉級數是對周期信號的最佳近似。周期信號的最佳近似。 在均方誤差最小的準則下，可以證明，此時應滿足：ka0001( )jktkTax t edtT這就是傅氏級數的系數這就是傅氏級數的系數其中其中kjkkaA e00( ),kjktjkTx t edtB e00( )kjktjkTx t edtB e二二. . 傅里葉級數的收斂傅里葉級數的收斂傅里葉級數收斂的兩層含義：傅里葉級數收斂的兩層含義： 是否存在是否存在? 級數是否收斂于級數是否收斂于 ?( )x tka 兩組條件：兩組條件： 1.1.平方可積條件：平方可積條件： 假設假設 那么那

20、么 必存在。必存在。 在一個周期內能量有限，在一個周期內能量有限， 一定存在。一定存在。ka02( )Tx tdt ka( )x tQ 2. Dirichlet條件：條件： ，在任何周期內信號絕對可積。，在任何周期內信號絕對可積。 在任何有限區間內，只有有限個極值點，且極值為在任何有限區間內，只有有限個極值點，且極值為有限值。有限值。 在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信號絕對可積就保證了因此，信號絕對可積就保證了 的存在。的存在。ka這兩組條件

21、并不完全等價。它們都是傅里葉級數這兩組條件并不完全等價。它們都是傅里葉級數收斂的充分條件。相當廣泛的信號都能滿足這兩組收斂的充分條件。相當廣泛的信號都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里葉級數表示周期信號具條件中的一組，因而用傅里葉級數表示周期信號具有相當的普遍適用性。有相當的普遍適用性。幾個不滿足幾個不滿足DirichletDirichlet條件的信號條件的信號三三.Gibbs.Gibbs現象現象 滿足 Dirichlet 條件的信號，其傅里葉級數是如何收斂于 的。特別當 具有間斷點時，在間斷點附近，如何收斂于 ?( )x t( )x t( )x t1N 3N 7N 19N 100N 用有限

22、項傅里葉級數表示有間斷點的信號時，用有限項傅里葉級數表示有間斷點的信號時，在間斷點附近不可避免的會出現振蕩和超量。超在間斷點附近不可避免的會出現振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。只是隨量的幅度不會隨所取項數的增加而減小。只是隨著項數的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓著項數的增多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，從而使它所占有的能量減少。縮，從而使它所占有的能量減少。Gibbs現象表明：現象表明：Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 連續時間傅里葉級數的性質連續時間傅里葉級數的性質一一. . 線性：線性：假設假設 和和

23、都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT那么那么( )( )FkkAx tBy tAaBb 二二. .時移時移: :三三. .反轉反轉: :0 00()jktFkx tta e ( )Fkx ta 假設假設 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT那么那么02T假設假設 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 那么那么()Fkxta 四四. .尺度變換尺度變換: : 假設假設 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 那么那么 以以 為周

24、期，于是為周期，于是()x at/T a0/()()jkatFkTaax atbx at edtT 令令 ，當，當 在在 變化時，變化時， 從從 變化，變化，att0 /T a0T于是有：于是有：01( )jkkkTbxedaT ()Fkkx atba 五五. 相乘相乘: 假設假設 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT那么那么01( )( )( ) ( )jktFkTx ty tCx t y t edtT g001( )jltjktklTlCa ey t edtTg也即也即0()1( )j k ltkllk lT

25、llCay t edta bT( ) ( )Flk lkklx t y ta bab 六六. .共軛對稱性共軛對稱性: :假設假設 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且( )x tT( )Fkx ta 那么那么katx)(由此可推得，對實信號有：由此可推得，對實信號有： 或或kkaakkaakjkkaA e時有：時有：kkkkAA 當當七七.Parseval .Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1闡明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波闡明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.13.1對實信號，

26、當對實信號，當 時，時，( )()x txtkkaa（實偶函數）（實偶函數）當當 時，時，( )()x txt kkaa （虛奇函數）（虛奇函數）kkkaBjC時有：時有：kkkkBBCC 當當例例1 1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211( )TjktkTat edtTT01( )jktkx teT02T)(tg101T1T-TTt例例2 2：周期性矩形脈沖：周期性矩形脈沖)()()(11TtxTtxtg將其微分后，可利用例將其微分后，可利用例1表示為表示為設設( )( )FFkkg tcg tb 由時域微分性質有由時域微分性質有0kkbjkc根據時移特性，有根據時移特性

27、，有0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT由例由例1知知1/kaT02 /T0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT( )g t 1t01T1T1TT1TTFourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals一一. .離散時間傅里葉級數離散時間傅里葉級數DFSDFS） Discrete-Time Fourier Discrete-Time Fourier SeriesSeries 考察成諧波關系的復指數信號集考察成諧波關系的復指數信號集: : 該信號集中每一個信號都以

28、該信號集中每一個信號都以 為周期，且該集合中為周期，且該集合中只有只有 個信號是彼此獨立的。個信號是彼此獨立的。 2( )jknNkneNN3.6 離散時間周期信號的傅里葉級數表示離散時間周期信號的傅里葉級數表示 這個級數就稱為離散時間傅里葉級數這個級數就稱為離散時間傅里葉級數DFSDFS），），其中其中 也稱為周期信號也稱為周期信號 的頻譜。的頻譜。ka( )x n二二. . 傅里葉級數系數的確定傅里葉級數系數的確定給給 兩邊同乘以兩邊同乘以 ，得：，得：2( )jknNkkNx na e2jrnNe 將這 個獨立的信號線性組合起來，一定能表 示一個以 為周期的序列。即：2( )jknNkk

29、Nx na e其中其中 為為 個相連的整數個相連的整數NNNk22()( )jrnjk r nNNkkNx n ea e222()()( )jrnjk r njk r nNNNkknNnN kNkNnNx n ea eae 2( )jrnNrnNx n eNa22() 21()()0,2()011j k rNjk r njk r nNNNj k rnNnNeeee而而 krkr顯然顯然 仍是以仍是以 為周期的，對兩邊求和為周期的，對兩邊求和2( )jrnNx n eN21( )jrnNrnNax n eN21( )jknNknNax n eN即即或或對實信號同樣有：對實信號同樣有：kkaakk

30、aakkaa RRReRekkaaImImkkaa 顯然上式滿足顯然上式滿足 ，即，即 也是以也是以 為周為周期的，或者說期的，或者說 中只有中只有 個是獨立的。個是獨立的。kNkaakakaNN三三. .周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe 顯然顯然 的包絡具有的包絡具有 的形狀。的形狀。kasinsinxx121kNaNkrN時時1sin(21)1sinkNNNkN0, 2 ,kNNkkk1220NN1110NN1210NN周期

31、性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜u 當當 不變、不變、 時，頻譜的包絡形狀不變，時，頻譜的包絡形狀不變，只是幅度減小，譜線間隔變小。只是幅度減小，譜線間隔變小。u 當當 改動、改動、 不變時，由于不變時，由于 的包絡的包絡具有具有 u 的形狀，的形狀，而而 ，可知其包絡形狀一定發生，可知其包絡形狀一定發生變化。當變化。當 時，包絡的第一個零點會遠離原時，包絡的第一個零點會遠離原點從而使頻譜主瓣變寬。這一點也與連續時間點從而使頻譜主瓣變寬。這一點也與連續時間周期矩形脈沖的情況類似。周期矩形脈沖的情況類似。1N1NNN kasinsinxx121N1N 三三. DFS. DFS的收斂的收斂 D

32、FS DFS 是一個有限項的級數，確定是一個有限項的級數，確定 的關系的關系式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題，也式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題，也不會產生不會產生GibbsGibbs現象。現象。ka 周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當在周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當在 區間區間 考查時，也具有收斂性。不同的是，考查時，也具有收斂性。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有周期性。離散時間周期信號的頻譜具有周期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷積周期卷積Properties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性質的性質D

33、FS有許多性質，這里只選幾個加以討論。有許多性質，這里只選幾個加以討論。( )DFSkx na ( )DFSky nb ( ) ( )DFSklk llNx n y ncab ( )DFSkx na 00( )()(1)j nDFSkx nx nnea 3. 時域內插時域內插( )mx n ( / )x n m0nrmnrm假設假設 以以N為周期，為周期，( )x n那么那么 以以mN為周期。為周期。( )mxn( )Fmkxnh 令令21( )jknmNkmnmNhxn emN令令 ，則有，則有nrm時時0 nmN0 rN22111( )( )jkrmjkrmNNkkrNrNhx r ex

34、r eamNmNm4. Paseval定理定理 這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。221| ( )|knNkNx naN( )DFSkx na 3.8 傅里葉級數與傅里葉級數與LTI系統系統Fourier Series and LTI Systems LTI LTI系統對復指數信號所起的作用只是給輸入信系統對復指數信號所起的作用只是給輸入信號加權了一個相應的特征值。號加權了一個相應的特征值。

35、( )( )stH sh t edt對連續時間系統對連續時間系統對離散時間系統對離散時間系統( )( )nnH zh n z、 被稱為系統的系統函數。被稱為系統的系統函數。( )H s( )H z假設假設sj那么那么()( )j tH jh t edt()H j被稱為連續時間被稱為連續時間LTILTI系統的頻率響應系統的頻率響應假設假設jze那么那么()( )jj nnH eh n e()jH e稱為離散時間稱為離散時間LTILTI系統的頻率響應系統的頻率響應()jH e對對 而言，是以而言，是以 為周期的。為周期的。2如果一個如果一個LTILTI系統輸入周期性信號系統輸入周期性信號 或或 (

36、 )x t( )x n0( )jktkkx ta e02T00( )()jktkky ta Hjke22( )()jkjknNNkkNy na H ee那么那么2( )jknNkkNx na e* * 可見，可見，LTILTI系統對周期信號的響應仍是一個周系統對周期信號的響應仍是一個周期信號，期信號，LTILTI系統的作用是對各個諧波頻率的信系統的作用是對各個諧波頻率的信號分量進行不同的加權處理。號分量進行不同的加權處理。21)(22nNjnNjeenx例：某離散時間例：某離散時間LTILTI系統，系統， 輸入為輸入為 ，求輸出，求輸出 。11),()(nunhn)2cos()(nNnx( )

37、y n22()( )jkjknNNnH eh n e20jknnNne211jkNe2111aa即：即：21( )jknNkky nb e2()jkNkkba H e由由121/21jNbe121/21jNbe得得221()1jNjNH ee221()1jNjNH ee3.9 濾波濾波1.1.頻率成形濾波器改變各分量的幅度與相位）頻率成形濾波器改變各分量的幅度與相位）2.2.頻率選擇性濾波器去除某些頻率分量）頻率選擇性濾波器去除某些頻率分量）The Ideal Frequency-Selective Filters一一. . 濾波濾波 通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相通過系統改變信號

38、中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波。位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波。濾波器可分為兩大類：濾波器可分為兩大類：二二. . 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性理想頻率選擇性濾波器的頻率特性 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個或理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個或幾個頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內幾個頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內頻率響應等于零。頻率響應等于零。理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。 濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的濾波器允許信號完全通過的頻段稱為濾波器的通帶通帶pas

39、s band pass band ），完全不允許信號通過的頻），完全不允許信號通過的頻段稱為阻帶段稱為阻帶stop bandstop band）。）。連續時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性連續時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通低通cc01高通高通cc01帶阻帶阻011122帶通帶通011122離散時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性離散時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性高通高通 - -1cc2c 低通低通2 2 1- - cc2c 帶通帶通 - -0 011122帶阻帶阻 - - 11122 各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。離散時間理想濾波

40、器的特性在離散時間理想濾波器的特性在 區間上，與相區間上，與相應的連續時間濾波器特性完全相似。應的連續時間濾波器特性完全相似。三三. .理想濾波器的時域特性理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例以理想低通濾波器為例()H jcc1,0,連續時間理想低通濾波器連續時間理想低通濾波器1 1()H jcc 各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。離散時間理想濾波器的特性在離散時間理想濾波器的特性在 區間上，與相區間上，與相應的連續時間濾波器特性完全相似。應的連續時間濾波器特性完全相似。三三. .理想濾波器的時域特性理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例

41、以理想低通濾波器為例()H jcc1,0,連續時間理想低通濾波器連續時間理想低通濾波器1 1()H jcc由傅里葉變換可得由傅里葉變換可得:1sin( )Sa()2ccj tcccth tedtt對離散時間理想低通濾波器有：對離散時間理想低通濾波器有：sin( )Sa()cccnh nnn如果理想低通濾波器具有線性相位特性如果理想低通濾波器具有線性相位特性那么那么sin()( )Sa()()cccth ttt()H j,|jce0,|c( )h tt/c 理想低通濾波器的單位階躍響應理想低通濾波器的單位階躍響應( )( )* ( )s th tu tsin1sincttccctxdtdxtx0

42、01sin1sinctxxdxdxxx0sinSi( )xdx令令正弦積分正弦積分, Si( );, Si( )22Si(0)0 xxxx 由于由于1111( )Si(0)Si()Si()Si()2ccs tttt( )s t對離散時間理想低通濾波器，相應有：對離散時間理想低通濾波器，相應有：11( )Si()2cs nn從理想濾波器的時域特性可以看出：從理想濾波器的時域特性可以看出：3.在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須在工程應用中，當要設計一個濾波器時，必須對時域特性和頻域特性作出恰當的折中。對時域特性和頻域特性作出恰當的折中。1.理想濾波器是非因果系統。因而是物理不可實理想濾波器是

43、非因果系統。因而是物理不可實現的；現的；2.盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率盡管從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。特性是最佳的。但它們的時域特性并不是最佳的。 h(t)或或h(n)都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波器的時域特性與頻域特性并不兼容。濾波器的時域特性與頻域特性并不兼容。非理想濾波器非理想濾波器 The Nonideal Filters 對理想特性逼近得越精確，實現時付出的代價對理想特性逼近得越精確，實現時付出的代價越大，系統的復雜程度也越高。越大，系統的復雜程度也越高。 由于理想濾波器是物理不可

44、實現的，工程應用由于理想濾波器是物理不可實現的，工程應用中就必須尋找一個物理可實現的頻率特性去逼近中就必須尋找一個物理可實現的頻率特性去逼近理想特性，這種物理可實現的系統就稱為非理想理想特性，這種物理可實現的系統就稱為非理想濾波器。濾波器。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。12非理想濾波器特性非理想濾波器特性1.1.通帶絕對平坦，通帶通帶絕對平坦，通帶內衰減為零。內衰減為零。理想濾波器特性理想濾波器特性2.2.阻帶絕對平坦，阻帶阻帶絕對平坦，阻帶內衰減為內衰減為 。通帶內允許有起伏，通帶內允許有起伏，有一定衰減范圍有一定衰減范圍3.3.無過渡帶。無過渡帶。阻帶內允許有起伏，阻帶內允許有起伏，有一定衰減范圍有一定衰減范圍有一定的過渡帶寬度有一定的過渡帶寬度 通常將偏離單位增益的通常將偏離單位增益的 稱為通帶起伏或波紋），稱為通帶起伏