1、第二章矩陣及其計算2矩陣的基本概念1.1.1 陣的定義mxn個數(shù)“ （,=1,2,?； / = 1,2,排成,行11列的表格：“21 "22稱為 矩陣，簡記為英文字母（如：人）、阿拉伯字母.a ml a m2 a,nn_（如：a）或（%）,”*“.1.1.2 幾類特殊的矩陣行矩陣只有一行的矩陣：M %稱為行矩陣.列矩陣勺只有一列的矩陣：的稱為列矩陣.零矩陣如果矩陣4中所有元素都是0,則稱其為零矩陣，記作0.（4）方陣如果矩陣A中? = ，則稱階矩陣或方陣，記作兒.階梯矩陣若矩陣A的零行（元素全為0的行）在最下方且非零首元（即非零行的第一個 不為零的元素）的列標號隨行標號的增加而嚴格遞

2、增，則稱此矩陣A為階梯形2 0 2 1乙 一 ° 5 2 -： 矩陣.例如：。3 20 0 0 0轉(zhuǎn)置矩陣 將矩陣A的行列互換得到新的矩陣稱為轉(zhuǎn)置矩陣，記為4 J矩陣的k階子式設(shè)A是一個矩陣，A的任意的女行與k列（攵"/K”）交叉處的6個元素, 按原來的次序所構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣4的攵階子式.注：階行列式A的順序主子式為：由1 i（i = L2,行和1 一1=12/） 列所確定的子式.（9）矩陣的順序主子式cial2.ciiciy a，a，；設(shè)A為 x 階矩陣，子式。=-1-'a = l,2,稱為A的i階順序Cliai2aii主子式。對于 階的矩陣A,其共有n

3、階順序主子式，即矩陣A的順序主子式由R, R,2共n個行列式按順序排列而成。1.1.3 幾種特殊的方陣對稱矩陣設(shè)A是階矩陣，若4 = 47,即 =知（力，兒則稱A為對稱矩陣.反對稱矩陣設(shè)A是階矩陣，若A = -A，,即% =-知（）,則稱A為反對稱矩陣.對角矩陣 設(shè)A是階矩陣，若為 = 0 （V，工），則稱其為對角矩陣，記為a .注：若對角矩陣的主對角線上元素都是1,稱為階單位矩陣，記為芯（若要強調(diào) 其階數(shù)，則記為J）.且對于階方陣A ,規(guī)定A0=E.逆矩陣設(shè)A是階矩陣，若存在階矩陣8,使A8=8A =邑則稱A是可逆矩陣，B是A 的逆矩陣，A的逆矩陣唯一，記為注：A8稱為矩陣A和B的乘積；矩陣

4、A可逆的充要條件是同工。.證：若A可逆，則AA-E，故|4AT卜同A = |目=1 （參見2.2）,所以同工。;若同工。時，由于AA*=A*A = |A|E （參見2.2）,所以A凡=同人=七,由 逆矩陣的定義可知A可逆.正交矩陣設(shè)A是階矩陣，若AAr="4 = E,則稱A是正交矩陣.注：正交向量的充要條件：A的行（列）向量是兩兩正交的單位向量（參見3.1.2）.伴隨矩陣設(shè)A是階矩陣，則行列式|川的各元素與的代數(shù)余子式A”所構(gòu)成的階矩陣r44T4 1稱為A的伴隨矩陣，記為不.人11L42A?LA,l2M M M_AnA?”LAntl _2.2矩陣的計算加法設(shè)A = （%）, 8 =

5、（%）是兩個mx矩陣，則?x矩陣C = （c=（%）+（%）稱為矩陣A和B的和，記為4 + 8 = C.數(shù)乘設(shè)A = (%)是兩個加x矩陣，k是一個常數(shù)，則7X矩陣(與)稱為數(shù)k與矩陣A 的數(shù)乘，記為乂.乘法設(shè)人二仙)是兩個矩陣，8 = (%)是兩個xs矩陣，那么7xs矩陣C = (%),其中(，/)=為"%+。"句+稱為矩陣A和8的乘積，記為AB = C.注：矩陣的乘法不滿足交換律：A8W84淇中A,8都為階行列式； 矩陣的乘法滿足結(jié)合律：(48月=/1(8。),其中從=(%.，8 = (%)“ C = (% >”矩陣計算的一些重要結(jié)論(證明略)(DM = |明；(

6、")7 = btat ；(A& a JT =4TAT ； 44' =AA = AE.【例2.1已知8 =,求矩陣4使得A8 = C.解:由于怛1 = 1工0,所以5可逆,且二11-1-1010-1111-1-1010-11【例2.2】已知12一13 26 5-3 148-4-1316解：設(shè)乂 =王x2>2)'3qz2Z3所以對于12-136-3ZZ348-4-1316x. + 3 A- + 2xx = 32x. + 6a + 5x. = 8, < I，_ X _ 3x2 +x3 =3X +3y2+2y3 =4 2yl +6y2 +5y3 =8, f

7、 -3y2 + % =4z + 3z2 + 2J = -1 2Z +6z2 +5j = 3 , _ Z - 322 + Z3 = 6-3r-l解得：X= t2y為任意常數(shù).-3u + 4 -3v-l 111v，其中052.3矩陣的初等變換23.1矩陣的初等變換的定義下述三種對矩陣的的行（列）的變換稱為矩陣的初等行（列）變換: 對調(diào)矩陣的兩行（列）；用非零常數(shù)h乘以行（列）中的所以元素；把矩陣某行（列）所有元素的k倍加至另一行對應(yīng)的元素上去.2.3.2初等矩陣與矩陣等價初等矩陣的概念單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣.初等矩陣的性質(zhì)用初等矩陣尸左乘4 ,所得就是對矩陣A作了一次與P同樣的行初等變換；用初等矩陣p右乘b，所得BP就是對矩陣B作了一次與P同樣的列初等變換.初等矩陣都可逆，且其逆是同類型的初等矩陣例如:3211- - o O 1 0 2 0 loo0 1-20loo-o O 1O 1 O 1-3O 9o O 1一 一 o O 1 O 1 O 13 0 ruL矩陣的等價矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣4與矩陣8等價，記作A三心兩個? x 型矩陣A與B等價的充分必要條件是：存在可逆矩陣P與Q,使得PAQ = B證：必要性：由于A與B等價，所以存在有限個m階初等矩陣匕匕/及有限個n階初等矩陣0 ° ,