1、正確云WQY,8M絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數 學（文史類）本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第n卷3至5頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、 準考號填寫在答題卡上， 并在規定位置粘貼考試用條 形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結束后，將本試 卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利注意事項：1 .每小題選出答案后， 用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2 .本卷共8小題，每小題5分共40分。參考公式：如果事件A, B

2、互斥，那么P（AljB尸P（A）+P（B）.,圓柱的體積公式 V =Sh,其中S表小圓柱的底面面積， h表小圓柱的圖1棱錐的體積公式 V =-Sh,其中S表示棱錐的底面面積，h表示棱錐的局3、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)設集合 A = 1,1,2,3,5, B =2,3,4 , C =xR|1, x<3，則(aHC)Ub =(A) 2(B) 2, 3(C) -1 , 2, 3(D) 1 , 2, 3, 4x+y -2< 0,.x y*2>0.(2)設變量x, y滿足約束條件x y ,則目標函數z = -4x+y的最大值為|x 1,y-1,

3、(A) 2(B) 3(C) 5(D) 6(3)設 xWR,則“ 0<x<5” 是x-1| <1 " 的版權所有？正確教育 侵權必糾!(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件S的值為閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，輸出國正向云(A)(B) 8(C) 24(D) 29(5)已知 a = lo$7, b = log38,c=0.30.2 ,則a,b,c的大小關系為(A)c :二 b : a(B)a :二 b :二 c(c)b 二 c : a(D)c : a : b(6) 2已知拋物線y =4x的焦點為F ,準線為l .若與雙

4、曲線、= 1(aA0,b>0)的 b2兩條漸近線分別交于點 A和點B,且| AB |=4 | OF | ( O為原點)，則雙曲線的離心率為(A) 22(B) 3(C) 2版權所有？正確教育 侵權必糾!(7)已知函數f (x) =Asin(cox +5)(A>0,6 >0,|中|<n)是奇函數，且f(x)的最小正周期為冗，將y = f (x )的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象對應的函數為g (X ).若g -14 J=R 則 f1 i8(A) -2(B) 2(C) 2(D) 22.x, 0系改 1,(8)已知函數f(X)=l若關于X的方程互異

5、的實數解，則5 9(A)-,-,4 4X 1.1-f(x) = x + a (aw R)恰有兩個 4、xa 勺取值范圍為5 9(B),4,45 9 9 4,小1絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數 學(文史類)第n卷注意事項：1 .用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2 .本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分。(9)i是虛數單位，則的值15工，的值為.(10)設X亡R,使不等式3x2+x2<0成立的X的取值范圍為 .(11)曲線y =cosx-|在點(0,1 )處的切線方程為 .(12)已知四棱錐的底面是邊長為屈的

6、正方形，側棱長均為 J5 .若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為(x 1)(2y 1)xy(13)設XA0, y >0, *+2丫=4,則的最小值為 (14)在四邊形 ABCD 中，AD / BC, AB=2/3 , AD = 5 , NA = 30©，點 E 在 線段CB的延長線上，且 AE = BE ,則BD Q =.三.解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(15)(本小題滿分13分)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸

7、款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取 25人調查專項附加扣除的享受情況(I )應從老、中、青員工中分別抽取多少人？(n)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有 6人，分別記為A,B,C,D,E,F . 享受情況如右表，其中“ O”表示享受，“X”表示不享受.現從這6人中隨機抽取2人接 受采訪. 員工項目ABCDEF子女教育OOXOXO繼續教育XXOXOO大病醫療XXXOXX住房貸款利息OOXXOO住房租金XXOXXX贍養老人OOXXXO(i )試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果

8、；(ii )設M為事件“抽取的 2人享受的專項附加扣除至少有一項相同” ，求事件M發生的 概率.(16)(本小題滿分13分)在LJABC中，內角A, B , C所對的邊分別為a,b,c .已知b + c= 2 a,3csin B = 4asin C .(i)求cosB的值；JI(n)求sin 2b十一的值.(17)(本小題滿分13分)如圖，在四棱錐 P -ABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，|_|PCD為等邊三角形，平面PAC_L平面 PCD, PA_LCD, CD = 2, AD =3,(I)設G , H分別為PB , AC的中點，求證：GH /平面PAD;(n)求證：PA_L平面PCD

9、 ；(m)求直線 AD與平面PAC所成角的正弦值.(18)(本小題滿分13分)設是等差數列，1tn是等比數列，公比大于0,已知a =h = 3, b=a3 ,3=他+ 3.(i)求 Q 和*的通項公式；11, n為奇數，*(n)設數列 匕滿足 Cn=%n為偶數求 a1G+a2c2+IH + a2nC2n (nN*).i 2(19)(本小題滿分14分)22設橢圓x2 +斗=1(a Ab a0)的左焦點為F ,左頂點為A ,頂點為B已知 a bJ3 OA+2OB(|O為原點).(i)求橢圓的離心率；(n)設經過點 F且斜率為3的直線l與橢圓在沖由上方的交點為 P ,圓C同時與沖由和 4直線l相切，

10、圓心C在直線x=4上，且OC / AP,求橢圓的方程.(20)(本小題滿分14分設函數 f(x) =lnxa(x1ex,其中 aw R.版權所有？正確教育 侵權必糾!(i)若a 0 0,討論f (x )的單調性;.1(n)若 0 ：二 a ：二 1 ,(i)證明f(x)恰有兩個零點(ii)設x為f(X)的極值點，x1為f(X)的零點，且證明3x0 %>2.絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數 學(文史類)參考解答一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分40分(1) D(2)C(3)B(4)B(5) A(6)D(7)C(8)D二.填空題：本題考查基本

11、知識和基本運算.每小題5分，滿分30分22.2"(9) V3(10),-1,(11)x+2y2 = 0I 3J(12) 土(13) 9(14) -1三.解答題(15)本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，滿分13分.解：(1)由已知，老、中、青員工人數之比為6:9:10 ,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.(n) (i )從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為(a,bHa,cHa,dHa,ea<, f,(b,c,(b,

12、d,<b,e,<b,f),c,dHc,e,(c,f,(d,e),d,f,共15種.(ii )由表格知，符合題意的所有可能結果為a,b,ad,a,e,a,f,b,d,b,e,b,f,c,e,c,f,d,f,e,f,共11種.所以，事件M發生的概率p(M)=U15(16)本小題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式， 二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力.滿分13分.(1 )解：在|_|abC中，由正弦定理一b =c,得bsi nC= c si rB,又由 s i rBsCh3c si hB= a siCh 得 3bsinC =4asin

13、C ,即 3b = 4a .又因為 b + c= 2a ,得到42 -b = -a , c = a .由余弦te理可得33版權所有？正確教育 侵權必糾!24 216 2a a a992ac22,2a c -b cos B :版權所有？正確教育 侵權必糾!(n)解：由(1)可得 sin B = J1 -cos2 B從 而 sin2B =2sin BcosB = 8I H )JIHsin 12B 一 =sin2Bcos cos2Bsin 666(17),154cos2B =cos2 B - sin2 B =-, 故8153 7 1 3. 5 7=.828 216；直、平面與平面垂直、直線與平面所成

14、的角等基礎知識.考查空間想象能力和推理論證能力滿分13分.(I)證明：連接 BD,易知 AC|BD =H , BH = DH.又由 BG = PG ,故 GH /PD ,又因為GH遼平面PAD, PD匚平面PAD,所以GH /平面PAD.(n)證明：取棱PC的中點N ,連接DN .依題意，得DN _L PC ,又因為平面PAC1平面PCD ,平面PAC D平面PCD = PC ,所以DN 1平面PAC ,交PA二平面PAC ,故 DN 1PA.又已知 PA-LCD , CD P1DN =D，所以 PA，平面 PCD.(出)解：連接AN ,由(n)中DN _L平面PAC ,可知/DAN為直線 A

15、D與平面PAC 所成的角，因為PCD為等邊三角形，CD=2且N為PC的中點，所以DN = J3.又DN_L AN,在 RtUAND 中，sin DAN =DN =.AD 3所以，直線 AD與平面PAC所成角的正弦值為 七.(18)本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及其前n®和公式等基礎知識，考查數列求和的基本方法和運算求解能力.滿分13分.3q=3 2d(I)解：設等差數列 3的公差為d，等比數列bn的公比為q依題意，得23q2=15 4d解得尸 J 故 an =3 + 3(n-1"Bn, bn =3父3"'=3”.q =3所以，4的通項公式為 斗

16、=3bn的通項公式 為bn = 3n.(n)解：a1Gl. a2c2a=6 ,a3a5. %na2,a4b2，%b3 I卜a2nbn"n 一1)66 31 12 32 18 33 . 6n 3n= 3n2 6 1 31 2 32111n 3nTn =1父31+2父32+ M3n.西=儼32+2父33+川+”33書，-得，2Tn = 3 32 -33.一3n +nx3n. = 3.-3 )十”><3n.=(2n.1)3 43.1 -32。22 c (2n-1)S 1 3所以，a1Gl a2c2 a20c2n = 3n 6Tn = 3n 3 ；(2n-1)3n 2 6n2 9

17、 M*=n N .2(19)本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、圓等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力，以及用方程思想、數形結合思想解決問題的能力，滿分14分.(I)解：設橢圓的半焦距為 c,由已知有 J3a = 2b,又由a2=b2+c2 ,消去b得2a 2+c2,解得£ a所以，橢圓的離心率為 1.2(n)解：由(I)知，a =2c , b =病,故橢圓方程為22工工4C2 3c2=1.由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y =1(x +C).點P的坐標滿足22x y /=14c 3c3,、y =_(x+c),4,消去y并化簡，得到版權

18、所有？正確教育 侵權必糾!7x2 +6cx 13c2 = 0 ,解得 x1 =c, x2 =_13c ,代入到 l 的方程，解得 y1 = 3c ,7293y,=_9_c.因為點 P在x軸上方，所以 P c-c .由圓心C在直線x = 4上，可設142 2 J3t 二cC(4,t >因為OC / AP,且由(I)知A(2c,0),故=/,解得t = 2.因為圓C與4 c 2c竹由相切，所以圓的半徑為2,又由圓C與l相切，得22x y /所以，橢圓的方程為一,L=1.16 12(20)本小題主要考查導數的運算、不等式證明、運用導數研究函數的性質等基礎知識和方法，考查函數思想、化歸與轉化思想

19、.考查綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.(I)解：由已知，f(x)的定義域為(0,依)，且,1 xx 1 - ax2ef (x)二ae a(x-1)e =x -xF因此當a00時，1 -ax2ex >0 ，從而f (x) a 0 ,所以f(x )在(。,依)內單調遞增1 -ax e,2 x ,1(n)證明：(i)由(i)知 f (x)=.令 g(x) = 1 axe,由 0<a<，xe可知g(x法(0, +至)內單調遞減，又 g(1) =1 -ae >0 ,且g lnl,a1=1 一 ln12：二 0.1則 1 <x0 <ln .當 xw (0,x )時,f (x)= ag2 >