1、西城區2019屆高三一模數學(理)試題和答案(官方版)北京市西城區高三統一測試2019.4數學(理科)第I卷(選擇題共40分)-、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合 題目要求的一項.1 .設全集 U R,集合 A x|0 x 2, B 3, 1,1,3,則集合(eu A) I B(A) 3, 1(B) 3, 1,3(C) 1,3(D) 1,11 i2,若復數z ,則在復平面內z對應的點位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的 k值為(A) 4(B) 5(C) 7(D) 9x 1 2t,4,下列

2、直線中，與曲線 C：(t為參數)沒有公共點的是y 2 4t(A) 2x y 0(C) 2x y 0(B) 2x y 4 0(D) 2x y 4 05.設a,b, m均為正數，則“ b a ”是“ a-m ”的 b m b(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件6.如圖，陰影表示的平面區域 W是由曲線x y0 , x2y2 2所圍成的.若點P(x, y)在W內(含邊界)，則z4x 3 y的最大值和最小值分別為(A) 5貶,7(B) 572,572(07,5 短(D) 7,77.團體購買公園門票，票價如下表:10 / 13數學(理科)第3頁(共13頁)購

3、票人上門票價格13元/人11元/人9元/人現某單位要組織其市場部和生產部的員工游覽該公園，若按部門作為團體，選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園，則共需支付門票費為1290元；若兩個部門合在一起作為一個團體，同一時間購票游覽公園，則需支付門票費為990元，那么這兩個部門的人數之差為(A) 20(B) 30(C) 35(D) 408.如果把一個平面區域內兩點間的距離的最大值稱為此區域的直徑，那么曲線x4 y2 2圍成的平面區域的直徑為(A) 4/32(B) 3(C) 242(D) 4西城區2019屆高三一模數學（理）試題和答案（官方版）第II卷（非選擇題共110分）二、填

4、空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9.在等比數列an中，為1, 出 8,則數列a的前n項和& .2210 .設F1, F2為雙曲線C:3 2 1（a 0,b 0）的兩個焦點，若雙曲線C的兩個頂點恰好將線段F1F2三等分，則雙曲線 C的離心率為 .11 .函數f（x） sin2x cos2x的最小正周期t ；如果對于任意的x R都有f（x）a ,那么實 數a的取值范圍是.2 正（主）視圖側（左）視圖12 .某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為 .13 / 13數學（理科）第5頁（共13頁）k 360o 90°,其中 k Z為假命題的一組的值是俯視圖13 .

5、能說明“若sin cosraoeee14 .如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示數 2,右側的每個算珠表示數1 （允許一側無珠），記上、中、下三檔的數字和分別為a, b, c.例如，圖中上檔的數字和 a 9.若a, b, c成等差數列，則不同 的分珠計數法有種.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15 .（本小題滿分13分）在 ABC中，已知a2 c b2 mac ,其中m R .（I）判斷m能否等于3,并說明理由；（n）若 m 1, b 2 J7 , c 4,求 sin A.16 .（本小

6、題滿分14分）如圖，在多面體ABCDEF中，梯形 ADEF與平行四邊形 ABCD所在平面互相垂直,1 - AF / DE , DE AD , AD BE , AF AD DE 2（I ）求證：BF /平面CDE ;（n）求二面角 B EF D的余弦值；（m）判斷線段 BE上是否存在點Q,使得平面CDQ 平面BEF?若存在，求出BQ的值，若不存在，說明理由. BE為培養學生的閱讀習慣，某校開展了為期一年的“弘揚傳統文化，閱讀經典名著”活動.活動后，為了解閱讀情況，學校統計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量（單位：本），統計結果17 .（本小題滿分13分）用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數據模糊，

7、無法確認，在圖中以a表示.甲乙6 2 1012 4 42 1 012 3 6 6 a12087 2（I）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中a的所有可能取值；（n）將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”.設a 3,現從所有“閱 讀達人”里任取3人，求其中乙組的人數 X的分布列和數學期望.（出）記甲組閱讀量的方差為 S2.在甲組中增加一名學生 A得到新的甲組，若 A的閱讀量為 10,則記新甲組閱讀量的方差為 S2;若A的閱讀量為20,則記新甲組閱讀量的方差為S2,試比較S2, s2, s；的大小.（結論不要求證明）西城區2019屆高三一模數學(理)試題和答案(官方版)

8、18 .(本小題滿分13分)設函數f (x) mex x2 3 ,其中m R .(I)當f(x)為偶函數時，求函數 h(x) xf(x)的極值；(n )若函數f (x)在區間2,4上有兩個零點，求 m的取值范圍.19 .(本小題滿分14分)22已知橢圓W： 上1的長軸長為4,左、右頂點分別為 A,B ,經過點P(n,0)的直線 4m m與橢圓W相交于不同的兩點 C,D (不與點A, B重合).(I)當n 0 ,且直線CD x軸時， 求四邊形ACBD的面積；(n)設n 1 ,直線CB與直線x 4相交于點 M ,求證：A, D, M三點共線.20.(本小題滿分13分)如圖，設A是由n n (n&g

9、t;2)個實數組成的n行n列的數表，其中aj (i,j 1,2,L ,n)表示位于第i行第j列的實數，且aj 1,1.a11a12La1na21a22La2 nMMLMan1On2Lann定義Pst 2能1 %2at2 L 2於(s,t 1,2,L ,n)為第s行與第t行的積.若對于任意s,t(s1 t),都有Pst 0,則稱數表 A為完美數表.(I)當n 2時，試寫出一個符合條件的完美數表；(n)證明：不存在 10行10列的完美數表；(1)設人為門行門列的完美數表，且對于任意的 i 1,2,L,l和j 1,2,L,k,都有aj 1,證明：kl<n.10 / 13數學(理科)第#頁(共1

10、3頁)西城區2019屆高三一模數學（理）試題和答案（官方版）數學（理科）參考答案及評分標準2019.4、選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分.1. B2. D3. D4.5. C6. A7. B8.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.2n 19.10. 311.兀;412. 313.答案不唯一，如110o20o14.32注：第11題第一問3分，第二問2分.三、解答題：本大題共 6小題，共80分.其他正確解答過程,請參照評分標準給分15.（本小題滿分13分）解：（i）當m 3時，由題可知 ab23ac由余弦定理b2 a2 c2 2acc0sB,222a c bcosB 得2

11、ac這與c0sB 1,1矛盾,所以m不可能等于(H)由(I)因為bmcosB 一b2ac16284a解得a 6 （舍）或a在 ABC中，由正弦定理asin A11分sin A得asin Bb242.72.211413分16.（本小題滿分14分）解：（I）由底面ABCD為平行四邊形，知AB/CD又因為AB平面CDE , CD平面CDE ,所以AB/平面CDE . 2分同理AF/平面CDE ,又因為ABIAF A,所以平面ABF平面CDE. 3分又因為BF 平面ABF , 所以BF平面CDE. 4分（n）連接BD,因為平面ADEF平面ABCD ,平面ADEF I平面ABCD AD , DE AD

12、,所以DE 平面ABCD.則DE DB.又因為 DE AD, AD BE , DE I BE E故DA, DB,DE兩兩垂直，所以以所以AD 平面BDE ,則AD BD .DA，DB，DE所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標系,D(0,0,0)A(1,0,0)B(0,1,0)C(1,1,0)E(0,0,2)F(1,0,1)uuuUULT如圖可得二面角B EF D為銳角,所以二面角BJEF D的余弦值為 3 .10分（出）結論：線段BE上存在點Q ,使得平面CDQ平面BEF .11分證明如下:uir設BQuuuBE (0,2 ) (0,1)設平面所以u若平面解得uur 所以DQ

13、CDQuiuirDQCDQurnr uurDB BQ (0,1的法向量為u （a，b，c）平面17 0,1(1 uurDC 0,即 aBEF，貝U m u 0,2 )又因為uuirDC1,1,0)b 2 cb 0,a 2b0,12分13分所以線段BE上存在點Q ,使得平面CDQ平面BEF ,且此時BQBE14分17.（本小題滿分13分）解：（I）甲組10名學生閱讀量的平均值為1 2 6 8 10 11101212 17 2110乙 組 10 名 學生 閱 讀 量 的1 2 4 4 12 13 16 16 (1010a) 20 98 a 1010由題意，得1a故圖中a的取值為0或1.（H）由圖可

14、知，甲組“閱讀達人”有2人，乙組“閱讀達人”有3人.西城區2019屆高三一模數學(理)試題和答案(官方版)由題意，隨機變量 X的所有可能取值為：1, 2, 3.C2 C133C2 C2P(X1) -3-P(X2) -3HC5I0C5P(Xc33) Ciio10 / 13數學(理科)第13頁(共13頁)所以隨機變量X的分布列為:E(X) 1所以9分95. 10 分1010X 123P -1035110213分(出)s118.(本小題滿分13分)解：(I)由函數f(x)是偶函數，得f( x) f(x),x2x 2即me ( x) 3 me x3對于任意實數x都成立，所以m 0. 2分32 八此時

15、h(x) xf (x) x 3x ,則 h(x) 3x 3.由h (x) 0 ,解得x 1 . 3分當x變化時，h (x)與h(x)的變化情況如下表所示:x(,1)1(1,1)1(1,)h(x00h(x)、極小催: /極所以h(x)在(，D, (1,)上單調遞減，在(1上單調遞增. 5分所以h(x)有極小值h( D 2, h(x)有極大值h2. 6分x2 3xe所以“ f(x)在區間2,4上有兩個零點”等價于“直線g(x) 乙y m與曲線9ex,x 2,4有且只有兩個公共點”g (x)對函數g(x)求導，得2x 3-x e由g (x)0 ,解得x1X210分x(2,1)1(1,3)3(3,4)

16、g (:<)00g(x0極小催: /極大所以g(x)在(2, 1), (3,4)上單調遞減,在(1,3)上單調遞增.當x變化時，g (x)與g(x)的變化情況如下表所示:11分又因為 g( 2)e2, g( 1)汽 g(3)6-g( 2) e13g(4) g( 1)e ，所以當6m -3.e3時，直線ym與曲線g(X)x2 3一e，x 2,4有且只有兩個公共點.2e m即當分13e或-3e時，函數f (x)在區間2,4上有兩個零點.1319.(本小題滿分14分)解：(I )由題意,-2得 a 4m所以橢圓W方程為4y2 10 ,及直線CDx軸時,易得C(0,1)D(0, 1)日 A( 2

17、,0) B(2,0).,x 2m(n)由 f(x) me x 3 o,得西城區2019屆高三一模數學（理）試題和答案（官方版）1 -424顯然此時四邊形ACBD為菱形，所以四邊形 ACBD的面積為2.5分（n）當直線CD的斜率k不存在時，由題意，得 CD的方程為x 1 ,c 33C(1,)D(1,)代入橢圓W的方程，得 2 ,23y (x 2)易得CB的方程為 2.uuiu. 3uuuuAD (3 _)則 M(4, "AM (6,AD (3,2 ),uuuuuLur0) C(x1,y) D(x2,y2) ) )所以AM 2AD ,即A，D，M三點共線.當直線CD的斜率k存在時，設CD

18、的方程為y k（x 1）（ky2x聯立方程 4k(x 1),y 1,消去 V,得(4k2 1)x2一 228k2x 4k2由題意，得0恒成立，故x1x28k24k2xx24 k24k210分y直線CB的方程為"x2)M(4, 令x 4 ,得2y1x12)13 / 13數學（理科）第17頁（共13頁）又因為 A( 2，0), D(x2，y2)則直線AD, AM的斜率分別為V2x223(x1 2)12分y2kADkAM所以x223(x12)3y2(x12)y1 (x22)3(x1 2)(x2 2)上式中的分子3y2（x12) y1(x22)3k(x2 1)(x1 2) k(x1)(x2 2)2 k4x2 5k(x1 x2) 8k2k之5k 4k 18k24k2-8k 1所以 kADkAM0所以A d,m三點共線.14分20.（本小題滿分13分）解：（I ）答案不唯一.如:（n）假設存在1均變為1,而1均變為（1）把完美數表的任何一列的數變為其相反數（即共y列共x列共z列共w列在這個新數表中，設前三行中的數均為根據完美數表的定義，可以得到以下兩個結論:1),得1的有x歹U,前三行中“第1, 2行中的數為1,且第3行中的數為-1”的有y歹U,前三行中“第1, 3行中的數為1,且第2行中的數為-1”的有z列，前三行中“第1行中