1、弟二章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、知識(shí)脈絡(luò)羅爾定理拉格朗日定理'推論1推論2柯西定理、泰勒公式（麥克勞林公式）極值的應(yīng)用：最大值與最小值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)性態(tài)其它應(yīng)用 定義單調(diào)性J單調(diào)性判定求單調(diào)區(qū)間定義，凹凸性與拐點(diǎn),凹凸性判別、求凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)函數(shù)作圖弧微分川率和曲率半徑 漸屈與漸伸線、求方程的近似解、重點(diǎn)與難點(diǎn)1 .重點(diǎn)：拉格朗日中值定理，函數(shù)增調(diào)區(qū)間、函數(shù)的凹凸區(qū)間，求函數(shù)的 極值，求具體問(wèn)題的最大最小值。2 .難點(diǎn)：柯西定理、泰勒展式、不等式證明、函數(shù)作圖。、問(wèn)題與分析1 .學(xué)習(xí)洛爾定理、拉格朗日定理與柯西定理應(yīng)注意的問(wèn)題：洛爾定理是一個(gè)函數(shù)滿足 3條，拉格朗日定理一個(gè)函數(shù)滿足2條，柯西

2、 定理是兩個(gè)函數(shù)滿足2條，才有相應(yīng)結(jié)論；定理的條件是充分的，但不是必要的；三個(gè)定理都是存在性定理，只肯定了有巴存在，而未指出如何確定該點(diǎn)。2 .學(xué)習(xí)羅必塔法則應(yīng)注意問(wèn)題：羅必塔法則僅僅用于-型和二型未定式；0如果lim f史）不存在（不包括«）,不能斷言limfx）不存在，只能說(shuō) g xg x明羅必塔法則在此失效，應(yīng)采用其它方法求極限；0 8, O0-O0, 0°, 1：笛0也叫未定型，必須轉(zhuǎn)化為Q型或三型之后，0方可用羅必塔法則求極限；一.“ 1,、1 一思路”：0 8型轉(zhuǎn)化為 8或0,_型；0gg可通分轉(zhuǎn)化為0型或一型；0000型轉(zhuǎn)化為eln0 =e0ln0,其中指數(shù)是

3、0 8型；10c型轉(zhuǎn)化為eln1* = eg|n1,其中數(shù)是g 0 ；一型轉(zhuǎn)化為elnx0 =e0lnQO,其中指數(shù)是0 8型。羅必塔法則求極限與其它方法求極限在同一題中可交替使用；0 一.二一.有時(shí)要連續(xù)用幾次洛必塔法則，每一次都要驗(yàn)證是否是？型或一型。03 .學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意的問(wèn)題：如果f'（x族某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有有限個(gè)點(diǎn)處等于零，在其它點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，則函數(shù)f（x）在該區(qū)間內(nèi)仍為單調(diào)增加（或單調(diào)減少）求單調(diào)區(qū)間的步驟：先令f *)=0 ,求出駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)，這樣的點(diǎn)將定義域分成了幾個(gè)區(qū)間；再在每個(gè)區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證fx )的符號(hào)，若為正，則單增，若為負(fù)，則單減。4 .學(xué)習(xí)函數(shù)極值應(yīng)

4、注意的問(wèn)題：函數(shù)極值是一個(gè)局部性的概念，它只與極值點(diǎn)鄰近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相 比較是大還是小，并不是說(shuō)它在定義區(qū)間上是最大或最小。因此一個(gè)函 數(shù)可能存在其極大值小于極小值的情形；求函數(shù)極值的步驟：先求 f'(x)=0的解以及f'(x)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)是可疑的極值點(diǎn)；其次，可疑極值點(diǎn)將 f(x)的定義域分成了幾個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間考察f'(x)的符號(hào)；最后確定極值點(diǎn)；極值點(diǎn)與極值是兩個(gè)不同的概念。5 .學(xué)習(xí)函數(shù)最值應(yīng)注意的問(wèn)題：極值點(diǎn)是函數(shù)在一點(diǎn)附近函數(shù)值的大小比較，是局部性質(zhì)，而最大值最小值是在區(qū)間a,bl上的性質(zhì)；最值在區(qū)間的端點(diǎn)和極值點(diǎn)上產(chǎn)生。所以確定最大值最小值的步

5、驟為：首先求出定義域；然后求出f'(x),求出可疑點(diǎn)；最后比較可疑點(diǎn)的函數(shù)值與邊界處的函數(shù)值。6 .學(xué)習(xí)凹凸性應(yīng)注意的問(wèn)題：用一階導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)確定凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)，確定拐點(diǎn) 時(shí)不但需要f'(x)=0,而且還要在該點(diǎn)的左右變號(hào)；拐點(diǎn)一定是坐標(biāo)形式的點(diǎn)(x, f (x ),拐點(diǎn)的表達(dá)與極值點(diǎn)的表達(dá)不同，拐點(diǎn)是曲線上的某一點(diǎn)。7 .學(xué)習(xí)漸近線應(yīng)注意的問(wèn)題：函數(shù)的圖形不一定有漸近線；漸近線分為水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線。8 .學(xué)習(xí)泰勒展開式應(yīng)注意的問(wèn)題：麥克勞林展開是特殊的泰勒展式；用關(guān)于(x-x0用勺n次多項(xiàng)式近似表示函數(shù)f (x )時(shí)，一定有一個(gè)余項(xiàng)，該余項(xiàng)即誤

6、差一定是(x x0 )n的高階無(wú)窮小量；應(yīng)該熟記一些常用的泰勒展式。9 .證明不等式的方法有：利用單調(diào)性；利用中值定理關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x ),這就需要分析不等式的特點(diǎn)。10 .求具體問(wèn)題最值的步驟分析問(wèn)題，明確求哪個(gè)量的最值；寫出函數(shù)關(guān)系式。確定函數(shù)關(guān)系常常要用幾何、物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的知識(shí)，函數(shù)關(guān)系式列出后，依具體情況要寫出定義域；由函數(shù)式求駐點(diǎn)，并判斷是否為極值點(diǎn)；根據(jù)具體問(wèn)題，判別該極值點(diǎn)是否為最值點(diǎn)。一般如果函數(shù)在b,b1連續(xù)，且只求得唯一的極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn)。最后寫出最值。四、解題格式例1函數(shù)f(x )=2x2 x-3在區(qū)間.|-1 上是否滿足羅爾定理

7、的條件？如一 2滿足求出定理中的解：因f(x很多項(xiàng)式，故f(x)滿足：在.1-1,- 上連續(xù)；IL 2f 3、 _在-1, 1內(nèi)可導(dǎo)，且f (x)=4x-1 ;<2； f (一 1)= f i=0；<2)所以f (x春1-1,3 上滿足羅爾定理?xiàng)l件。一 2令fg )=0得t=1.4例2求極限雪x sin x的 店t 0型.1 -cosx 0型sin x 另型 cos解：原式 0 lim廠 0 lim = 0 lim x 0 3x x >0 6x x 0 6例3設(shè)x < 0 ,試證ex > 1 + x.證法一：用中值定理設(shè) f (t)=et 1 t ,則f(t班l(xiāng)x

8、,0上連續(xù)；f(t班(x,0 )內(nèi)可導(dǎo),且(t )=3-1則存在 x x (x,0 ),使 f 隹)=f(°)- f(x) 0 -xu即 xe _1=ex_1_x因?yàn)?C <0 ,故0 <e-<1又因?yàn)閤<0,故x(e1)>0,從而ex -1 -x 0所以ex x.證法二：用函數(shù)的單調(diào)性設(shè) f (x ) = ex -1 一 x ,則 f '(x )= ex -1因?yàn)?x<0,故 ex1<0,即 f'(x)<0從而當(dāng)x<0時(shí)f(x)是單調(diào)減少的又 lim f x = lim ex -1 - x =0x0 -x0 r所以當(dāng) x<0時(shí)，有 f(x)A f(0 一)=0 即 ex 1 - x，0故 ex 1 x.2例4求函數(shù)f (x )= x3(x-5 )的單調(diào)區(qū)間和極值解：f (x )的定義域?yàn)镾f5 x 23 3x令(x)=0 ,得 x=2當(dāng)x = 0時(shí)，f'(x)不存在.故定義域分為(-嗎0 ), (0,2),收),列表為x(-。0,0 )0(0,2)2(2,ff *(