1、|第2章習題同步解析1. 下列給出的兩個數列，是否為隨機變量的分布律，并說明理由.i 1 一八Pi ,i 1,2,3,4,525，、 i5 i，、(1) pi,i 0,1,2,3,4,5 ; (2) pi ,i0,1,2,3； (3)156Pi是否滿足下列兩個條解 要說明題中給出的數列，是否是隨機變量的分布律，只要驗證件： pi 0,i1,2,依據上面的說明可得（1）Pi 1 中的數列為隨機變量的分布律；（2）中的數列不是隨機變量的分布律，因為 p340; （3）中的數列不是隨機變量的分布律，這是因為65Pi i 1空1.252.示取出的依題意X可能取到的值為3,4,5 ,事件3表示隨機取出的

2、3個球的最大號碼為3,則另兩個球的只能為 1號，2號，即PX3113 ；事件X 4表不隨機取C3103個球的最大號碼為4,因此另外2個球可在1,2,3號球中任選，此時PX,1 C；433C533一；同理可得PX 5101 C： _6C5310X的分布律為X345P1361010103.止射擊,某射手有5發子彈，現對一目標進行射擊，每次射擊命中率為0.7,如果擊中就停如果不中就一直射擊到子彈用盡,求子彈剩余數的分布列.令X表示子彈剩余的數目，則X可能取值0,1,2,3,4 ,根據題意得PX 4 0.7; PX 3 0.30.7 0.21; PX 2 0.32 0.7 0.063PX 1 0.33

3、 0.7 0.0189;4PX 0 1 PX i 0.0081一袋中有5個乒乓球，編號分別為 1, 2, 3, 4, 5,從中隨機地取 3個，以X表 3個球中最大號碼，求 X的概率分布.X的分布律為4.并求:X1234P0.00810.01890.210.7c試確定常數c,使PX i) 了，i 0,1,2,3,4成為某個隨機變量X的分布律,15PX 2； P 1 X -22要使 工成為某個隨機變量的分布律，必須有2i4 c0 2i由此解得c16一；31(2)PX2PX 0P X 1 PX2163128312PX16 11 PX 2 31 212315. 一口袋中有6個球，在這6個球上分別標有3

4、, 3,1,1,1,2這樣的數字.從這袋中任取一球，設各個球被取到的可能性相同，求取得的球上標明的數字X的分布律與分布函解 X可能取的值為13,1,2,且 PX 3) -,PX1)的分布律為X-312111P一326X的分布函數F x PX x0,1, 356,1 ,3,2.6. 設離散型隨機變量X的分布函數為F x0, 0.4, 0.8, 1,1,2,x 1,求X的分布律.x 33解 可以看出X取值為1,1,3,且X在每點取值的概率是該點的跳躍高度，所以PX 1 F( 1) F( 1 0) F( 1) F(0) 0.4 0 0.4;所以其分布列為PXPX13F(1) F(1 0) F F(

5、1) 0.8 04 0.4;F(3) F(3 0) F(3) F(1) 1 0.8X-112P0.40.40.27.設隨機變量B(6, p),已知 PX 1 PX5,求p與PX 2的值.解由于 X B(6, p),因此 PX 6Ckpk 1k,k0,1,L ,6 .由此可算得P X 16p(1p)5,PX 56P5(1p),6p(1 p)56P5(1p),解得12 2'此時，PX 2 C；15648. 有一汽車站有大量汽車通過， 某天該段時間內有1000輛汽車通過,分布，即每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為0.0001,在求事故次數不少于2的概率.設X為1000輛汽車中出事故的次數，

6、依題意，X服從n 1000, p 0.0001的二項B(1000,0.0001),由于n較大，p較小，因此也可以近似地認為X服從np 1000 0.0001 0.1的泊松分布，即 X P(0.1),所求概率為PX21 PX0.10.1e0!1 0.9048370 P X 10.11 0.1e 1!0.090484 0.004679.9 .一電話總機每分鐘收到呼喚的次數服從參數為4的泊松分布，求(1)某一分鐘恰有8次呼喚的概率；(2)某一分鐘的呼喚的次數大于3的概率.解設X為電話總機每分鐘收到呼喚的次數，依題意 X P(4),則(1) PX8484一 e 8!0.0298PX3k44e k 4

7、k !3 4k 4 ek 0 k!1 0.4335 0.5665每班平均為4人.若預定票而又10 .某航線的航班，常常有旅客預定票后又臨時取消, 取消的人數服從以平均人數為參數的泊松分布，求：(1)正好有4人取消的概率；(2)不超過3人(含3人)取消的概率；(3)超過6人(含6人)取消的概率；(4)無人取消的概率解 設X為取消的人數，依題意 X P(4),則(1)PX4444e 4!0.1954.(2)PX33 4ke 0 k!0.4335 .(3)PX64k e k 6 k!k4 4 e k!1 0.7852 0.2148.11.PX040一e 0!0.0183.設連續型隨機變量X的密度函數

8、為Ax 0 x 1f(x)0 其他求(1)常數 A； (2) P0X 0.5; (3) P0.25 X 2.,一1A 2 A 3 A解：(1) f(x)dx Axdx x 一(1 0) 一 1 02022解得：A 2密度函數為:f(x)2x00 x 1其它0.5(2) P0 X 0.5° f (x)dx0.52 0.52xdx x000.25.(3) P0.25 X 2 P0.25X 1 P1 X 2122xdx 0dx 0.9375 0.25112.設隨機變量X的分布函數為F(x)1 (1 x)ex x 00x 0求相應的密度函數，并求PX 1.解：因為F (x) f(x),知隨機

9、變量 X的密度函數為f(x)1 (1 x)e x , x 0xxe所以PX-1一1 F(1) 1 (1 1)e1 2e13.設隨機變量X具有概率密度f(x)3xKe（1）試確定常數K求P(X0.1)；解：（1）由于f (x)dx 1 ,f (x)dx =Ke3xdx0,(3)Ke求 F(x).3 xKd ( 3x)e 33x得K3.于是X的概率密度f(x)3e 3x(2) P(X0.1)0.1f(x)dx=0.1（3）由定義F(x)= f (t)dto 當 x0,3eF(x)= f(t)dt =3x .dx0.7408;0時，F(x)=0;當 xx o 3x , 3e dx3x1 e0時,3x

10、 e所以F(x)14.若隨機變量在（1,6）上服從均勻分布,試求關于t的方程t210有實根的概率是多少?22解：萬程t t 1 0有實根的條件是由于 在（1,6）上服從均勻分布，其密度函數為f(x)6,其它.所以有實根的概率為P2 P 261dx250.8.15.某類日光燈管的使用壽命X （單位：小時）服從參數為2000 1的指數分布.問任取一只這種燈管，求能正常使用1000小時以上的概率.解：使用壽命 X的密度函數為:f(x)12000 1x八2000 e , x 0,0,x 0.12000 1 x .2000 1x .0.5所以 Px 1000 iooq2000 e dx e|1000 e

11、 0.607.16.設XN(3,22),(1)求 P2 X 5, P 4X 10, P| X | 2, PX 3；(2)試確定c使得PX c PX c;(3)設d滿足PX d0.9 ,問d至多為多少?一.5 32 3解：(1) P2 X 5(5-3)(2-3)(1)( 0.5) 0.5328,、10 34 3P 4 X 10()()(3.5)( 3.5) 0.9996,P| X | 2 PX 2 PX 2( 2.5) 1( 0.5) 0.6977 ,PX 3 1 Px 3 1(0) 0.5.(2)由題意可知(3)因為PX_ .一 一 c 3PX c PX c 0.5,即(J) 0.5,查表可知

12、 c 3. 2d 0.9PfX- 0.9 可知(3_J) 0.1 得222X 3 )0.120.9,查表可知 (1.29) 0.90150.9 ,所以 d 0.42.17.標準普爾中公司股票的價格(單位：美元)服從30,8的正態分布，問(1)某公司股票價格至少為 40美元的概率是多少？(2)某公司股票價格不超過 26美元的概率是多少？(3)若公司股票價格排名位于全部股票的前10%,則公司股票至少應達到多少？解：設股票價格為 X ,由題意可知 X N(30,82),(1) PX 40 1 PX 40 1(40 30) 1(1.25) 0.1056.826 30(2) PX 26( 6)(0.5)

13、 0.3085.8k 30(3)可設股票價格為k美元，由題意知PX k 0.9,即(一30) 0.9,杳表8可知(1.29) 0.9015 0.9,所以 k 40.3218.設離散型隨機變量 X的分布列為X 21012P 00000.1.2.3.3.1求(1) Y 3X1的分布列；(2) Z 2X2的分布歹U.解：(1)Y52 147P 00000.1.2.3.3.1(2)19.設隨機變量解:由題意可知Z028P0.30.50.2X服從(0, 2)上的均勻分布，求隨機變量3Y X的概率密度函數.X的概率密度為f(x)1 -,0x2, 20,其它.函數y3g(x) x ,其值域為0,8,單調且有

14、唯一反函數h(y) 兩，y 0,8；且,、1一一一，h (y) ,得Y的概率留度函數為33 y220.解:fY(y)設隨機變量由題意可知112 33y2, 00, 其它.X E(2),求 YX的概率密度為x 8,f(y)的概率密度.1 6y0,0 y 8,其它.f(x)2x2e , x 00, x 0函數yg(x) ex,其值域為1,),單調且有唯一反函數 xh(y) ln y , y 1,);1且x h (y) y .得Y的概率留度函數為f(y)2e2lny y 1, y 1,0, 其它.f(y)2y3, y 0,0，其它.21.設X N（0,1）,求（1） Y 2X2 1的概率密度；（2）

15、求Z |X|的概率密度.解：（1）先求Y的分布函數2Fy（y） .注意到Y 2X2 1的值域是當 y 1 時，FY（y）py yp 0當 y 1 時，FY（y）PY y2P2X 1y(y 1)/2(y 1)/2Py 1 x X2再用求導的方法求出(y 1)/2(y 1)/2 fX(x)dxX2e 2 dxY的密度函數fY(y) Fy(Y)2、(y 1)0(y 1)e 4 , y 1,（2）先求Z的分布函數Fz（z） .注意到| X |的值域是Z0,因此,當 z 0時，FZ(z)pzz P 0.當 z 0時，FZ(z)pzz P| X | zPz X z再用求導的方法求出fZ(z)zz fX(x

16、)dxZ的密度函數z2e 2, z0,其它.ze 2 dxzf(x)2ez22z 0,其它.第2章自測題與答案(滿分100分，測試時間100分鐘)一、 填空題(本大題共 10個小題，每小題2分，共20分)1 .隨機變量 X的分布函數F(x)是事件的概率.2 .當a的值為 時，PX k a(2)k, k 1,2,L才能成為隨機變量 X的分布列.3.已知離散型隨機變量 X的概率分布如下表X123P0.20.30.5則概率 PX 3 , PX 2 .4 .設隨機變量 X服從0,10上的均勻分布，則 P2 X 5 .5 .設離散型隨機變量 X : B(2, p),若PX 1 -9 ,則p .256 .

17、已知連續型隨機變量 X : N(3,9),若概率PX a PX a,則常數a 7 .已知連續型隨機變量X : E(),若PX 1 0.05 ,則 .58 .設隨機變量 X B(2, p),Y B(4, p),若 PX 1 5 ,則 PY 1 90, x 011 39.已知連續型隨機變量X的分布函數是F(x) x3 , 0 x 3,則271, x 3PX 2 , P 1 X 1 10.設隨機變量 X N (2,8)，則Y 5X 1服從 分布.答案：1. PX x ; 2. 0.5;3. 0.5,0.8;4. 0.3;5. 0.6;6. 3;7. ln0.95;8. 65; 9.色，工；10. N

18、( 9,200).812727二、單項選擇題(本大題共5個小題，每小題2分，共10分)1 .下面哪一個符合概率分布的要求()xxA. PX x -(x 1,2,3)B. PX x -(x 1,2,3)64|0.752分xC. PX x -(x 31,1,3)2xD. PX x (x81,1,3)2.設隨機變量X N(2),其概率密度的最大值為(A. 0B.C.2D. (212) 23.設連續型隨機變量的分布函數是 F(x),密度函數是f(x),則PX x(A. F(x)B. f(x)C. 0D.以上都不對4.若函數y f(x)是一隨機變量X的概率密度，則()一定成立.a. yf(x)的定義域為

19、0,1;b. yf(x)非負;c. yf(x)的值域為0,1;d. yf(x)在()內連續.5.設隨機變量X2 一一 N(,)，則隨的增大,概率PA.單調增大；答案：1. A 2, D 3. 三、計算題(本大題B.單調減小；C.保持不變；D.增減不定.1.已知隨機變量C 4. B 5. C5個小題，每小題10分,共60分) P(),PX 00.4 ,求參數，并求 P X 2.解：由題意知PX00-e 0!0.40.4ln 2.5,所以P X 2PX0PX12.設隨機變量1PX - 0.75,解:0.4ln 2.510.40.2335X的分布密度函數為f(x)kxbx 1,(bf(x)dxkxbdx k(b1 b1) x110其它1k(b 1)0*。)，且1PX20.7511 kx dx k(b 1) x21|0.50.751b 1k(b 1) 1 (0.5)綜上兩式可推出 k 2,b 1|3 .某大學學生入學數學成績X(分)近似服從正態分布 N (65,102).求數學成績在85分以上的學生占大學新生的百分之幾？6分4分2分2分解