1、第二節定積分的幾何應用 三、空間立體的體積三、空間立體的體積 1. 已知平行截面面積的已知平行截面面積的 空間立體體積空間立體體積 2. 旋轉體的體積旋轉體的體積第七章第七章 1. 已知平行截面面積的空間立體體積已知平行截面面積的空間立體體積 設所給立體垂直于設所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在在則對應于小區間則對應于小區間xxAVd)(d 因此所求立體體積為因此所求立體體積為( )dbaVA xx 上連續上連續,abd,xxx 的體積元素為的體積元素為()ab xxd)(xAxOab( )A xdV( )A x x例例1解解取坐標系如圖取坐標系如圖 底

2、圓方程為底圓方程為,222Ryx ,RRx yxo222Ryx xA(x)h三角形邊長三角形邊長222xRl 高為：高為：223xRh )(321)(22xRhlxA xxAVRRd)( xxRRd)(32022 3334R 2. 旋轉體的體積旋轉體的體積 旋轉體旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線稱為一條直線旋轉一周而成的立體這直線稱為旋轉軸旋轉軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺情形情形1)(xfy abG1xyoabG1ab)(xfy abG1xyox x dxx xyodxx x ( )f xxyoabx x x dxx ( )f xxx

3、yoabxxd dxxyoab G1 繞繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的體積軸旋轉一周所得旋轉體的體積取取積積分分變變量量為為x， ,bax 則以則以 f (x) 為高，為高，以以dx 為底的窄邊矩形為底的窄邊矩形在在,ba上上任任取取小小區區間間d,xxx ， 平面圖形平面圖形G1 ：由連續曲線：由連續曲線 y = f (x)，直線直線 x = a, x = b 及及 x 軸軸 所圍成的曲邊梯形所圍成的曲邊梯形.繞繞 x 軸旋轉而成的圓柱體軸旋轉而成的圓柱體的體積便是的體積便是體積元素：體積元素：xxfVxd)(d2 )()(2xfxA 截截面面積積)1 . 2(d)(2xxfVbax )(x

4、fy abG1xyox x dxx xyodxx x ( )f xxyoabx x x dxx ( )f xxxyoabxxd dxxyoabG1 繞繞 x 軸軸旋轉的旋轉體的體積：旋轉的旋轉體的體積：例例2解解xhRy 直線直線 方程為方程為OP建立坐標系，如圖建立坐標系，如圖.連接坐標原點連接坐標原點O及點及點P(h, R)的直線，直線的直線，直線x=h 及及 x 軸圍成一個直角三角形軸圍成一個直角三角形. 將它繞將它繞x 軸旋轉一周構成一個底半徑為軸旋轉一周構成一個底半徑為R，高為，高為h的圓錐體，計算該圓錐體的體積的圓錐體，計算該圓錐體的體積.取積分變量為取積分變量為 x， , 0hx

5、 xxhRVdd2 圓圓錐錐體體的的體體積積 xxhRVhd)(20 hxhR03223 .32hR 在在, 0h上上任任取取小小區區間間d,xxx ， 以以 dx 為底的窄邊矩形繞為底的窄邊矩形繞 x 軸旋轉而成的圓柱軸旋轉而成的圓柱體的體積為體的體積為用用“柱殼法柱殼法”：將旋轉體分割成一系將旋轉體分割成一系列以列以y軸軸為中心軸的為中心軸的曲頂環柱體曲頂環柱體.,d,baxxx d,xxx 設設相相應應于于的的曲曲頂頂環環柱柱體體很很小小時時，則則當當xdxOy)( xfy abG1圓圓環環柱柱體體VVy ,yV 的的體體積積為為G1 繞繞 y 軸旋轉一周所得旋轉體的體積軸旋轉一周所得旋

6、轉體的體積xxd x圓圓環環柱柱體體VVy )()d(22xfxxx )()(dd)(22xfxxxfx o(dx).d)(2xxfx 可以證明：可以證明：體積元素體積元素xxfxVyd)(2d G1 繞繞 y 軸旋轉的旋轉體的體積：軸旋轉的旋轉體的體積：)2 . 2(d)(2xxfxVbay x)( xfy abG1dxx xoy yx 平平面面圖圖形形 2G: 由由連連續續曲曲線線)( yx 、 直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊 梯梯形形. yyVdcyd)(2 yyyVdcxd)(2 情形情形2 G2 繞繞 y 軸旋轉軸旋轉G2 繞繞 x 軸旋轉軸旋轉)(yx c

7、dyxoy 求求擺擺線線)sin(ttax ，)cos1(tay 的的 一一拱拱與與0 y所所圍圍成成的的圖圖形形分分別別繞繞x軸軸、y 軸軸旋旋轉轉構構成成旋旋轉轉體體的的體體積積. 解解(1) 繞繞x軸旋轉的旋轉體體積軸旋轉的旋轉體體積 xxyVaxd)(220 2022d)cos1()cos1(ttata 20323d)coscos3cos31(tttta.532a 例例3(2) 繞繞y軸軸旋旋轉轉的的旋旋轉轉體體體體積積 yyxVayd)(2202 yyxad)(2201 222dsin)sin(ttatta 022dsin)sin(ttatta 2023dsin)sin(tttta.

8、633a （方法（方法1）xxfxVayd| )(|220 20)sin(d)cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2tttta.633a tu )d()cos1)(sin(223uuuua uuuuad)cos1)(sin(223 023d)cos1(22uua(方法方法2 ) 柱殼法柱殼法xyxad|220 例例4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形 繞直線繞直線3 x旋轉構成旋轉體的體積旋轉構成旋轉體的體積. . 解解取取積積分分變變量量為為y, , 4 , 0 y體積元素為體積元素為: :yQMPMVdd22 yyyd)43(

9、)43(22 ,d412yy yyVd41240 .64 (方法方法1)24xy 422xyo3 x Myyyd P Q(方法方法2)取積分變量為取積分變量為 x, .2 , 2 xxxfxVxd)(32223 xxxd)4()3(2222 xxd)4(32222 xxd)4(12220 .64 24xy 42 2xyo3 xxx d x例例5(綜合題綜合題)所所圍圍成成，求求及及直直線線線線已已知知曲曲邊邊三三角角形形由由拋拋物物1, 022 yxxy曲曲邊邊三三角角形形的的面面積積；)1(；旋旋轉轉所所成成旋旋轉轉體體的的體體積積曲曲邊邊三三角角形形繞繞1)2( y.)3(曲曲邊邊三三角角

10、形形的的周周長長解解 (1)yyAd2102 .6161103 yxyoxy22 1(2)xxVd)21(2210 xxxd)2221(210 .12 (3),ddyyxx yxsd1d21 yy d12 yysd11021 tytan tttdsecsec2402 21xyoxy22 1xx21 )d(tansec40tt tttttdtansectansec24040 ttdsec403 tttd)1(secsec2240 40403dsecdsec2 tttt40403)tanln(secdsec2 tttt 2111 ss從而周長：從而周長：.2)12ln(22dsec403 tt .

11、2)12ln(223 例例6 (綜合題綜合題)時，時，過原點，當過原點，當拋物線拋物線設設102 xcbxaxy軸軸所所圍圍及及線線，又又已已知知該該拋拋物物線線與與直直xxy10 .,31最最小小積積一一周周而而成成的的旋旋轉轉體體的的體體軸軸旋旋轉轉使使此此圖圖形形繞繞，求求圖圖形形的的面面積積為為Vxcba解解過原點，過原點，由于曲線由于曲線cbxaxy 2所以所以 c = 0,又由題設，知又由題設，知31d)(210 xbxaxS知識點：知識點： 平面圖形的面積平面圖形的面積 旋轉體的體積旋轉體的體積 函數的極值、最值函數的極值、最值31d)(210 xbxaxS，即即3123 ba，

12、從而從而)1(32ab xbxaxVd)(1022 于是于是)3215(22baba )1(9431)1(31522aaaa )1(9431)1(315)(22aaaaaV , 0)1(278323152)( aaaaV 由由,45 a得得唯唯一一駐駐點點：01354)( aV又又，23 b.0,23,45時，旋轉體的體積最小時，旋轉體的體積最小故當故當 cba內容小結內容小結二、旋轉體的體積二、旋轉體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積一、平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉一周軸旋轉一周x繞繞 軸旋轉一周軸旋轉一周y繞非坐標軸直線旋轉一周繞非坐標軸直線旋轉一周備用題備用題例例1

13、-1 一平面經過半徑為一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 , 并與并與底面交成底面交成 角角,222Ryx 解解 如圖所示取坐標系如圖所示取坐標系, 則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為 tan)(21)(22xRxA )(RxR 計算該平面截圓柱體所得立體的體積計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .xoRxy RxxRV022dtan)(212 利用對稱性利用對稱性 3231tan2xxR 0R tan323R xoRxy思考思考 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數是什么此時截面面

14、積函數是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ? )(yA提示提示: tan2yx 22tan2yRy V R0tan2 yyRyd22 RyR022)(32tan23 tan323R oRxy),(yx計算由橢圓計算由橢圓12222 byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉軸旋轉而成的橢球體的體積而成的橢球體的體積. 解解 (方法方法1) 利用直角坐標方程利用直角坐標方程)(22axaxaaby 則則xxaabad)(220222 (利用對稱性利用對稱性) 3222312xxaab 0a234ab aV02xy d2 例例2-1bayxooxybayxoox(方法方法2) 利用橢

15、圓參數方程利用橢圓參數方程 tbytaxsincos則則xyVad202 2032dsin2 tab22 ab 32 234ab 1 特別當特別當b = a 時時, 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a )dsin()sin(2022 ttatby例例 3-1 解解體積體積旋轉一周所成旋轉體的旋轉一周所成旋轉體的軸軸軸，軸，軸圍成的圖形分別繞軸圍成的圖形分別繞與與計算由正旋曲線弧計算由正旋曲線弧yxxxxy, 0,sin (1) 繞繞 x 軸旋轉一周所成旋轉體的體積為軸旋轉一周所成旋轉體的體積為xxVxdsin02 xxd)2cos1(20 02sin212xx 22 x

16、ysin xOy分別繞分別繞 y 軸旋轉一周所得的旋轉體的體積軸旋轉一周所得的旋轉體的體積之差之差.這個圖形繞這個圖形繞 y 軸旋轉一周所得旋轉體的軸旋轉一周所得旋轉體的體積可以看成平面圖形體積可以看成平面圖形 OABC 與與 OBC1CBA(2) 繞繞 y 軸旋轉一周所成旋轉體的體積軸旋轉一周所成旋轉體的體積分析分析xysin xOy(方法方法1)10(arcsin yyx)10(arcsin yyxOB 的方程為的方程為) AB 的方程為的方程為)1CBAxysin xOy從而所求的體積為從而所求的體積為yyVxd)arcsin(102 yyd)(arcsin102 yyd)arcsin2

17、(102 yydarcsin21023 1021023d1|arcsin2yyyyy 1022d12yyy102212y 22 yydarcsin21023 (方法方法2)xysin xOyxxfxVbayd)(2 由公式由公式得得xxxVydsin20 xx cosd20 )dcoscos(200 xxxx)sin(20 x 22 試用定積分求圓試用定積分求圓)()(222bRRbyx 繞繞 x 軸軸oxyRbR上上 半圓為：半圓為：22xRby下下222)(xRb 222)(xRb RV02 xdbR222 解解(方法方法1 ) 利用對稱性利用對稱性旋轉而成的環體體積旋轉而成的環體體積 V

18、.例例3-2xyo(方法方法2 ) 用柱殼法用柱殼法 Vdy 2x2 yd RbRbV 4ybyRyd)(22 bR222 注注 上式可變形為上式可變形為2RVb2d2bR 20右右半圓為半圓為,)(22byRx 左左 此式反映了環體微元的另一種取法此式反映了環體微元的另一種取法(如圖所示如圖所示). oxyRbRy dd2bRV o設平面圖形設平面圖形 A 由由xyx222 與與xy 圖形圖形 A 繞直線繞直線 x2 旋轉旋轉解解若選若選 x 為積分變量，則為積分變量，則旋轉體的體積為旋轉體的體積為V 102d)2)(2(2xxxxx 32212 若選若選 y 為積分變量為積分變量, 則則 V 1022d)11(2yy 102d)2(yy 例例4-1所確定所確定 , 求求一周所得旋轉體的體積一周所得旋轉體的體積 . 21x1yoxy)0(, )()( txxfytV表示表示例例4-2)(xfy 設設在在 x0 時為連續的非負函數時為連續的非負函數, ,0)0( f且且繞直線繞直線 xt 旋轉一周旋轉一周證明證明:. )(2)(tftV 證證利用柱殼法利用柱殼法xxfxtVd)()(2d 軸所圍圖形軸所圍圖形及及 x所成旋轉體體積所成旋轉體體積 ,)(xfyoxxxdxtx t則則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfxttVtd)()(2)