1、實驗 18二重積分的可視化實驗目的利用數學軟件Mathematica 的繪圖功能幫助學生建立二重積分的積分區域的幾何形狀以及空間幾何體的外觀，加深對所求積分的理解.預備知識二重積分、 Mathematica 相關積分命令實驗內容研究兩個空間區域的體積問題.【項目1】計 算 函 數 f ( x, y) x 221 y2 之 下 ， x-y 平 面 中 介 于 拋 物 線yx24 x2 和直線 y2 x 2之間的區域 R上的立體的體積：f ( x, y)dxdy , R( x, y) | 0x 2,2 x 2 yx 24 x 2R【 Step1 】：首先來觀察一些積分區域的形狀和所求立體的形狀 f

2、x_,y_:=x2+(1/2) y2;c1x_:=-x2+4 x+2; c2x_:=2 x+2;domain=Plotc1x,c2x,x,0,2.5,PlotRange->0,6.5,PlotStyleRGBColor1,0,06543210.511.52圖 18-1 積分區域立體的形狀如下：Plot3Dfx,y,x,0,3,y,0,7,AxesLabelx,y,z30z 20100012x23 0圖 18-2 上表面但由于表面遮住了積分區域，因此無法看清具體的立體形狀，我們改進一下， 定義一個特征函數以保留需要的去處不需要的：Kx_,y_:=If(2 x+2)y(-x2+4 x+2),

3、1,0;Plot3Dfx,yKx,y,x,0,3,y,0,7,AxesLabelx,y,z,PlotPoints50,MeshFalse,PlotRange0.01,20,ClipFillNone2015z 105012x23 018-3空間幾何體形狀【 Step2 】計算積分Integratefx,y,x,0,2,y,2 x+2,-x2+4 x+23【項目 2】 三個正圓柱面彼此相互垂直相交所圍成幾何體的體積設想在空間有三個無限長的正圓柱面，底半徑都等于 1，其中一個用 x軸作為它的軸 （稱為 Cx），另外兩個分別以 y軸和 z軸作為它的軸，稱為 Cy 和 Cz ，這三個圓柱面彼此相交于圍繞

4、著原點的一個立體區域，我們需要求出它的體積.【 Step1 】 首先想一想它在x-y 平面以上的部分：底面： D( x, y) | x2y21，是一個圓盤；頂面：圓柱面Cx和 Cy被 Cz截出的部分 .Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;ceilingx_,y_:=MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y21,1,0;pic1=Plot3Dceilingx,yKx,y,x,-1,1,y,-1,1,LightingTrue,PlotPoints50,BoxRatios1,1,1,ViewPoint2,2,2,AxesLa

5、belx,y,z,PlotRange0.01,1,ClipFillNone,MeshFalsex-1-0.500.5110.80.6z 0.40.2-1-0.50y0.51圖 18-4上半部分Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;Dceilingx_,y_:=-MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y21,1,0;103/5pic2=Plot3DDceilingx,yKx,y,x,-1,1,y,-1,1,LightingTrue,PlotPoints50,BoxRatios1,1,1,ViewPoint-2,-2,-2,

6、AxesLabelx,y,z,PlotRange-1,-0.01,ClipFillNone,MeshFalse-0.2-00.44z-00.66-11-1-0.5-0.5000.50.5x1y圖 18-5 下半部分【 Step2 】： 其次考慮其在第一卦限的立體部分，通過圖像觀察：Clearf,K;fx_,y_:=Sqrt1-y2;gx_,y_:=Sqrt1-x2;ceilingx_,y_:=MinAbsfx,y,Absgx,y;Kx_,y_:=Ifx2+y21,1,0;Plot3Dceilingx,yKx,y,x,0,1,y,0,1,LightingTrue,PlotPoints50,Box

7、Ratios1,1,1,ViewPoint2.357,1.369,2.131,AxesLabelx,y,z,PlotRange0.01,1,ClipFillNone,MeshFalse0x 0.250.50.75110.80.6z 0.40.200.250.5y0.751圖 18-6第一卦限內的形狀【 Step3 】：計算體積首先，這個體積是可由極坐標計算的；其 次，由對稱性，整個體積是第一卦限 內體積的8倍 ，而這 個體積又是 在區域R( r,) | 0r1,0/ 4 上面體積的 2倍；第三，在底板R部分上面的頂板由Cy給出，它的方程是：z1x2第四，體積為：V161r2 cos2dAR用 Mathematica 計算得到：16*IntegrateSqrt1-r2 Cosu2 r,r,0,1,u,0,Pi/4161實驗練習一個四面體的四個頂點為：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1).用 Mathematic