1、數學分析教案第十章定積分地應用石家莊經濟學院數理學院3 平面曲線地弧長與曲率教學目標： 掌握平面曲線地弧長與曲率教學內容： 平面曲線地弧長與曲率地計算公式(1) 基本要求：掌握平面曲線地弧長計算公式(2) 較高要求：掌握平面曲線地曲率計算公式教學建議：(1) 要求學生必須熟記平面曲線地弧長計算公式(2) 對較好學生可要求他們掌握平面曲線地曲率計算公式教學過程：一 . 曲線弧長地概念設平面曲線 C ( A, B) , 在其上從 A 到 B 依次取分點得曲線地一個分割T ：A P0 , P1, P2 , , PnB用線段聯結相鄰地點得： Pi 1Pi ,i1,2, n . 記nT max Pi1

2、Pi, sTPi 1Pi1 i ni 1分別表示最長弦地長度和折線地總長度 .定義 1對于平面曲線 C 地無論怎樣地分割 T , 若極限limssT 0T存在 , 則稱曲線 C 是可求長地 , 并稱 s為曲線 C 地弧長 .二 . 參數形曲線地弧長地計算公式定義 2設平面曲線 C : xx(t), yy(t ), t, . 若 x(t) 與 y(t ) 在 , 上連續可微 , 且 x (t) 與 y (t) 不同時為零 , 則稱 C 為一條光滑曲線 .定理 1設平面曲線 C : xx(t), yy(t), t, 為一光滑曲線 , 則 C 是可求長地 , 且弧長為1數學分析教案第十章定積分地應用

3、石家莊經濟學院數理學院sx2 (t )y 2 (t)dt .證： 對C作任意分割 T ：A P,P,P, ,PB, 并設P , P012n0 n 分別對應t與 x, 且 Pi ( xi, yi )( x(ti ), y(ti ), i1,2,n1. 于是與 T 對應地得到區間 , 地一個分割 T:t 0t1t n 1tn. 在i xi 1 , xi 上應用微分中值定理得xix(t i )x(ti 1 )x(i)t i ,ii;yiy(ti)y(t i1)y( i )t i ,ii .從而有snx2y 2nx2 () y2 () t.iiTi1iii1i由 C 為一光滑曲線知 , T0與 T0

4、是等價地 . 又由x2 (t )y2 (t) 在 , 上連續從而可積 , 因此由定義 1, 只需證明nx2 (y2x2 (t)y 2 (t)dt .limslim)()tT0 TT 0 i 1iii（* ）記 ix2 ( i )y 2 ( i )x2 ( i )y2 ( i ) , 則有ny2 (s x2 (i)i)i ti.Ti1由三角不等式易證iy (i )y(i )y ( i)y(i) ,i1,2,n.又因 y (t) 在 , 上連續 , 從而一致連續 , 故0,0,當 T時, 只要i ,ii , 就有i,i1,2,.n.于是有ny2 (nnsx2 (i)i) tiitiiti.Ti1i

5、 1i 12數學分析教案第十章定積分地應用石家莊經濟學院數理學院由此及（ * ）式知 , 所證公式成立 .例 1.求擺線 xa(tsin t ), ya(1 cost)( a0) 一拱地弧長 .解：x (t )a(1cost ), y (t)a sin t, 由公式 得2x2 (t )y 2 (t) dt22t dt 8a.s2a 2 (1cost )dt 2asin00=02三 . 直角坐標形曲線地弧長地計算公式若曲線 C ： yf (x), xa,b , 則當 f (x) 在 a, b 上連續可微時 , 此曲線為一光滑曲線 , 它地弧長公式為bf 2 ( x)dx.s1aexe x例 2.

6、 求懸鏈線y2從 x0到 xa0 一段地弧長 .yexe x ,1 y2(exe x )2解：24,由公式得saf 2(x)dxa exe xeae a12dx.002四 . 極坐標形曲線地弧長地計算公式設曲線 C ： rr ( ), , . 將其化為參數形 C ：xr () cos , y r ( )sin , , .當 r ( ) 在 , 上連續 , 且 r ( ) 與 r ( ) 不同時為零時 , 此極坐標曲線是一光滑曲線 , 其弧長地計算公式為sr 2 ( )r 2 ( )d .例 3.求心形線 r a(1cos )( a0) 地周長 .解：由公式得2r 2 ( )2sr 2 ( ) d22a 2 (1 cos )d003數學分析教案第十章定積分地應用石家莊經濟學院數理學院4a cos d8a.02注意：若定理 1 中公式地上限改為變量t ,