1、.第14章 勾股定理一、選擇題（共13小題）1如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A48B60C76D802如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注解時(shí)給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是（）A黃金分割B垂徑定理C勾股定理D正弦定理3如圖，ABC中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）A10B11C12D134下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）Aa=1，b=2，c=3Ba=2，b=3，c=4Ca=2，b=4，c=5Da=3，b=4，c=55下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一

2、組是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，6一直角三角形的兩邊長分別為3和4則第三邊的長為（）A5BCD5或7設(shè)a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A1.5B2C2.5D38如圖，若A=60°，AC=20m，則BC大約是（結(jié)果精確到0.1m） （）A34.64mB34.6mC28.3mD17.3m9如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN若四邊形MBND是菱形，則等于（）ABCD10如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，連接AP，則AP的長為（）A2B4CD11如果

3、一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A只有1個(gè)B可以有2個(gè)C有2個(gè)以上，但有限D(zhuǎn)有無數(shù)個(gè)12在等腰ABC中，ACB=90°，且AC=1過點(diǎn)C作直線lAB，P為直線l上一點(diǎn)，且AP=AB則點(diǎn)P到BC所在直線的距離是（）A1B1或C1或D或13如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60°，BCD=30°，BC=6，那么ACD的面積是（）ABC2D 二、填空題（共15小題）14如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，8）以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點(diǎn)

4、C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為15在RtABC中，CA=CB，AB=9，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若tanCAD=，則BD的長為16我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=17如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BCG、CDF和DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于18如圖，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC

5、，AB=5，AD=4，則AE=19如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是20在ABC中，C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為21如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為cm22如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為第14章 勾股定理參考答案與試題解析一、選擇題（

6、共13小題）1如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A48B60C76D80【考點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)【分析】由已知得ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCDSABE求面積【解答】解：AEB=90°，AE=6，BE=8，在RtABE中，AB2=AE2+BE2=100，S陰影部分=S正方形ABCDSABE，=AB2×AE×BE=100×6×8=76故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)關(guān)鍵是判斷ABE為直角三角形，運(yùn)用勾股定

7、理及面積公式求解2如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注解時(shí)給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是（）A黃金分割B垂徑定理C勾股定理D正弦定理【考點(diǎn)】勾股定理的證明【專題】幾何圖形問題【分析】“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決了勾股定理的證明【解答】解：“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問題是：勾股定理故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明3如圖，ABC中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）A10B11C12D13【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線【分析】根據(jù)在直

8、角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)可求出AB的長，再根據(jù)勾股定理即可求出BE的長【解答】解：BEAC，AEB是直角三角形，D為AB中點(diǎn)，DE=10，AB=20，AE=16，BE=12，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目的綜合性很好，難度不大4下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）Aa=1，b=2，c=3Ba=2，b=3，c=4Ca=2，b=4，c=5Da=3，b=4，c=5【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可【解答】解：A、12+22=532，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)

9、錯(cuò)誤；B、22+32=1342，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、22+42=2052，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、32+42=25=52，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵5下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可【解答】解：A、12+2232，不能組成直角三角形，故

10、錯(cuò)誤；B、22+3242，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；C、42+5262，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；D、12+（）2=（）2，能夠組成直角三角形，故正確故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷6一直角三角形的兩邊長分別為3和4則第三邊的長為（）A5BCD5或【考點(diǎn)】勾股定理【專題】分類討論【分析】本題中沒有指明哪個(gè)是直角邊哪個(gè)是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析【解答】解：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為5，（2）當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為，

11、故選：D【點(diǎn)評(píng)】題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理的運(yùn)用，注意分情況進(jìn)行分析7（2013德宏州）設(shè)a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A1.5B2C2.5D3【考點(diǎn)】勾股定理【專題】壓軸題【分析】由該三角形的周長為6，斜邊長為2.5可知a+b+2.5=6，再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值【解答】解：三角形的周長為6，斜邊長為2.5，a+b+2.5=6，a+b=3.5，a、b是直角三角形的兩條直角邊，a2+b2=2.52，由可得ab=3，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運(yùn)用8如圖，若A=60°，AC=2

12、0m，則BC大約是（結(jié)果精確到0.1m） （）A34.64mB34.6mC28.3mD17.3m【考點(diǎn)】勾股定理；含30度角的直角三角形【分析】首先計(jì)算出B的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=40m，再利用勾股定理計(jì)算出BC長即可【解答】解：A=60°，C=90°，B=30°，AB=2AC，AC=20m，AB=40m，BC=2034.6（m），故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方9如圖，在矩形ABCD

13、中，AD=2AB，點(diǎn)M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN若四邊形MBND是菱形，則等于（）ABCD【考點(diǎn)】勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個(gè)角是直角，即可得到直角ABM中三邊的關(guān)系【解答】解：四邊形MBND是菱形，MD=MB四邊形ABCD是矩形，A=90°設(shè)AB=x，AM=y，則MB=2xy，（x、y均為正數(shù)）在RtABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2xy）2，解得x=y，MD=MB=2xy=y，=故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形與矩形的性質(zhì)，以及直角三角形中的勾股定理解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用10如圖

14、，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，連接AP，則AP的長為（）A2B4CD【考點(diǎn)】勾股定理【分析】連接AE，求出正六邊形的F=120°，再求出AEF=EAF=30°，然后求出AEP=90°并求出AE的長，再求出PE的長，最后在RtAEP中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解【解答】解：如圖，連接AE，在正六邊形中，F(xiàn)=×（62）180°=120°，AF=EF，AEF=EAF=（180°120°）=30°，AEP=120°30°=90°，AE=2×2c

15、os30°=2×2×=2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，EP=×2=1，在RtAEP中，AP=故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵11如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A只有1個(gè)B可以有2個(gè)C有2個(gè)以上，但有限D(zhuǎn)有無數(shù)個(gè)【考點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】分類討論【分析】兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊，運(yùn)用勾股定理分別求出第三邊后，和另外三角形構(gòu)成相似三角形，利用對(duì)

16、應(yīng)邊成比例即可解答【解答】解：根據(jù)題意，兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，一種是6和8為直角邊，那么根據(jù)勾股定理可知斜邊為10；另一種可能是6是直角邊，而8是斜邊，那么根據(jù)勾股定理可知另一條直角邊為所以另一個(gè)與它相似的直角三角形也有兩種可能，第一種是，解得x=5；第二種是，解得x=所以可以有2個(gè)故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關(guān)知識(shí)本題學(xué)生常常漏掉第二種情況，是一道易錯(cuò)題12在等腰ABC中，ACB=90°，且AC=1過點(diǎn)C作直線lAB，P為直線l上一點(diǎn)，且AP=AB則點(diǎn)P到BC所在直線的距離是（）A1B1或C1或D或【考點(diǎn)】勾股定理；平行線之間的距離；等腰

17、直角三角形【專題】壓軸題【分析】如圖，延長AC，做PDBC交點(diǎn)為D，PEAC，交點(diǎn)為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰RtABC中，C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=，又AB=AP；所以，在直角AEP中，可運(yùn)用勾股定理求得DP的長即為點(diǎn)P到BC的距離【解答】解：如圖，延長AC，做PDBC交點(diǎn)為D，PEAC，交點(diǎn)為E，CPAB，PCD=CBA=45°，四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC，在等腰直角ABC中，AC=BC=1，AB=AP，AB=，AP=；在直角AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2（1+DP）2+DP2=

18、（）2，解得，DP=；如圖，延長BC，作PDBC，交點(diǎn)為D，延長CA，作PECA于點(diǎn)E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角AEP中，（EC1）2+EP2=AP2，（PD1）2+PD2=（）2，解得，PD=；故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，通過添加輔助線，可將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學(xué)生的空間想象能力13如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60°，BCD=30°，BC=6，那么ACD的面積是（）ABC2D 【考點(diǎn)】勾股定理；含30度角的直角三角形【專題】計(jì)算題【分析】如圖，過點(diǎn)A作AEB

19、C于E，過點(diǎn)D作DFBC于F構(gòu)建矩形AEFD和直角三角形，通過含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE的長度，然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AEBC于E，過點(diǎn)D作DFBC于F設(shè)AB=AD=x又ADBC，四邊形AEFD是矩形，AD=EF=x在RtABE中，ABC=60°，則BAE=30°，BE=AB=x，DF=AE=x，在RtCDF中，F(xiàn)CD=30°，則CF=DFcot30°=x又BC=6，BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2ACD的面積是： ADDF=x×x=×22=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查

20、了勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形解題的難點(diǎn)是作出輔助線，構(gòu)建矩形和直角三角形，目的是求得ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度二、填空題（共15小題）14如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，8）以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）【考點(diǎn)】勾股定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，進(jìn)而得到AC的長，因?yàn)镺C=ACAO，所以O(shè)C求出，繼而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)【解答】解：點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，8），AO=6，BO=8，AB=10，以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧，AB=AC=10，

21、OC=ACAO=4，交x正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），故答案為：（4，0）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、圓的半徑處處相等的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AB的長15在RtABC中，CA=CB，AB=9，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若tanCAD=，則BD的長為6【考點(diǎn)】勾股定理；等腰直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求AC，BC的長，在RtACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求CD的長，BD=BCCD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解【解答】解：如圖，在RtABC中，CA=CB，AB=9，CA2+CB2=AB2，CA=CB=9，在RtACD中，t

22、anCAD=，CD=3，BD=BCCD=93=6故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，線段的和差關(guān)系，難度不大16我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=12【考點(diǎn)】勾股定理的證明【分析】根據(jù)八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根據(jù)S1=（CG+DG）2

23、，S2=GF2，S3=（KFNF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12【解答】解：八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，CG=KG，CF=DG=KF，S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG，S2=GF2，S3=（KFNF）2=KF2+NF22KFNF，S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+KF2+NF22KFNF=3GF2=12，故答案是：12【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解題的難點(diǎn)17如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BC

24、G、CDF和DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于6【考點(diǎn)】勾股定理的證明【分析】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用ab=2，解得a，b的值代入即可【解答】解：AB=10，EF=2，大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，四個(gè)直角三角形面積和為1004=96，設(shè)AE為a，DE為b，即4×ab=96，2ab=96，a2+b2=100，（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，a+b=14，ab=2，解得：a=8，b=6，AE=8，DE=6，AH=82=6故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)

25、用直角三角形中勾股定理的運(yùn)用解得ab的值18如圖，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，則AE=3【考點(diǎn)】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：兩腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的長【解答】解：在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AD=BE=4，AB=5，AE=3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目比較簡單19如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是10【考點(diǎn)】勾股定理【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10故答案是：10【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證