1、一、猜想、探究題1. 已知：拋物線 yax2bx c 與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C 其中點 A 在x 軸的負半軸上，點C 在 y 軸的負半軸上，線段OA、 OC 的長（ OA<OC）是方程x25x 4 0 的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x 1 （ 1）求 A、B、C 三點的坐標；（ 2）求此拋物線的解析式；（ 3）若點 D 是線段 AB 上的一個動點（與點 A、B 不重合），過點 D 作 DEBC 交 AC 于點 E，連結 CD，設 BD 的長為 m， CDE 的面積為 S，求 S 與 m 的函數關系式，并寫出自變量 m 的取值范圍 S 是否存在最大值？若存在，

2、求出最大值并求此時 D點坐標；若不存在，請說明理由yAODBxEC2. 已知，如圖 1，過點 E 0， 1 作平行于 x 軸的直線 l ，拋物線 y1 x2上的兩點 A、B 的橫4坐標分別為1 和 4，直線 AB 交 y 軸于點 F ，過點 A、 B 分別作直線 l 的垂線，垂足分別為點 C、D ，連接CF、DF （ ）求點 A、B、F的坐標；1（ ）求證： CFDF ；231 x2對稱軸右側圖象上的一動點，過點P作PQPO交x軸于點（ ）點 P 是拋物線 y4Q ，是否存在點 P 使得 OPQ 與 CDF 相似？若存在，請求出所有符合條件的點 P 的坐標；若不存在，請說明理由1/27yyBF

3、FAOxOxEDEDCCl（圖 1）備用圖3. 已知矩形紙片 OABC 的長為 4，寬為 3，以長 OA 所在的直線為 x 軸， O 為坐標原點建立平面直角坐標系；點 P 是 OA 邊上的動點（與點 O、 A 不重合），現將 POC 沿 PC 翻折得到 PEC ，再在 AB 邊上選取適當的點 D，將 PAD 沿 PD 翻折，得到 PFD ，使得直線 PE、 PF 重合（ 1）若點 E 落在 BC 邊上，如圖，求點 P、C、D 的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；2x， ADy，當x為何值時，（ ）若點 E 落在矩形紙片 OABC 的內部，如圖，設 OPy 取得最大值？（ 3）在（1）的情

4、況下，過點 P、 C、 D 三點的拋物線上是否存在點 Q，使 PDQ 是以 PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q 的坐標yyEBBCCFEFDDOPAxOPAx圖圖2/274. 如圖，已知拋物線 y x24x3 交 x 軸于 A、B 兩點，交 y 軸于點 C，?拋物線的對稱軸交 x 軸于點 E，點 B 的坐標為（1，0）（1）求拋物線的對稱軸及點A 的坐標；（2）在平面直角坐標系 xoy 中是否存在點 P，與 A、B、C 三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連結 CA 與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得

5、直線CM 把四邊形 DEOC 分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線 CM 的解析式；若不存在，請說明理由yCDAEBOx5. 如圖， 已知拋物線 y ax2 bx 3（a0）與 x 軸交于點 A（1，0）和點 B（ 3，0），與 y 軸交于點 C（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）設拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 M，問在對稱軸上是否存在點 P，使 CMP 為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P 的坐標；若不存在，請說明理由（3）如圖，若點 E 為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形 BOCE 面積的最大值，并求此時E 點的坐標yyCCBMABAOxOx3/27圖圖二

6、、動態幾何6. 如圖，在梯形 ABCD 中， DC AB，A90°， AD6 厘米， DC4 厘米， BC 的坡度i 34，動點 P 從 A 出發以 2 厘米 /秒的速度沿 AB 方向向點 B 運動，動點 Q 從點 B 出發以 3 厘米 /秒的速度沿 BCD 方向向點 D 運動，兩個動點同時出發， 當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止設動點運動的時間為t秒（ 1）求邊 BC 的長；（ 2）當 t 為何值時， PC 與 BQ 相互平分；（ 3）連結 PQ，設 PBQ 的面積為 y，探求 y 與 t的函數關系式，求 t為何值時， y 有最大值？最大值是多少？DCccQcAcBc

7、Pc7. 已知：直線 y1 x 1與 y 軸交于 A，與 x 軸交于 D，拋物線 y1 x2bx c 與直線交于22A、E 兩點，與 x 軸交于 B、C 兩點，且 B 點坐標為（1，0）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）動點 P 在 x 軸上移動，當 PAE 是直角三角形時，求點 P 的坐標（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使 | AMMC |的值最大，求出點M 的坐標yEADOBCx4/27y2的對稱軸為與軸交于兩點，與軸ax bx c a 0A，By8. 已知：拋物線x1， x交于點 C，其中 A3，0 、C 0，2 （ 1）求這條拋物線的函數表達式（ 2）已知在對稱軸上存在一點 P，使得

8、 PBC 的周長最小請求出點 P 的坐標（ 3）若點 D 是線段 OC 上的一個動點 （不與點 O、點 C 重合）過點 D 作 DE PC 交 x軸于點 E連接 PD 、 PE 設 CD 的長為 m ， PDE 的面積為 S 求 S 與 m 之間的函數關系式試說明 S 是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由yAOBxC9. 如圖 1，已知拋物線經過坐標原點 O 和 x 軸上另一點 E ，頂點 M 的坐標為 (2，4) ；矩形ABCD 的頂點 A 與點 O 重合， AD、AB 分別在 x 軸、 y 軸上，且 AD2 ， AB3 （ 1）求該拋物線所對應的函數關系式；（ 2）將

9、矩形 ABCD 以每秒 1 個單位長度的速度從圖 1 所示的位置沿 x 軸的正方向勻速平行移動，同時一動點 P 也以相同的速度 從點 A 出發向 B 勻速移動設它們運動的時間為t 秒（ 0 t 3 ），直線 AB 與該拋物線的交點為 N （如圖 2 所示）當 t5 時，判斷點 P 是否在直線 ME 上，并說明理由；2設以 P、 N、 C、 D 為頂點的多邊形面積為S ，試問 S 是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由yyMMNCBCBPDO(A)ExDOAEx圖15/27圖210. 已知拋物線： y11 x22x 2（ 1）求拋物線 y1 的頂點坐標（ 2）將拋物線 y1

10、 向右平移 2 個單位，再向上平移 1 個單位，得到拋物線 y2 ，求拋物線y2 的解析式（ 3）如下圖，拋物線 y2 的頂點為 P， x 軸上有一動點 M，在 y1 、 y2 這兩條拋物線上是否存在點 N，使 O（原點）、P、M、N 四點構成以 OP 為一邊的平行四邊形，若存在，求出 N 點的坐標；若不存在，請說明理由【提示：拋物線 y ax2bx c （ a0）的對稱軸是 xb，b4acb22a，】2a 頂點坐標是4ay54P3y22y111O1123411. 如圖，已知拋物線 C1： y a x 2 2 A 在點 B 的左邊），點 B 的橫坐標是 1（ 1）求 P點坐標及 a的值；（4分

11、）（ 2）如圖（ 1），拋物線 C2 與拋物線 C1 關于23456789x5 的頂點為 P，與 x 軸相交于 A、B 兩點（點x 軸對稱，將拋物線 C2 向右平移，平移后的拋物線記為 C3，C3 的頂點為 M，當點 P、M 關于點 B 成中心對稱時，求 C3 的解析式；（4 分）（3）如圖（ 2），點 Q 是 x 軸正半軸上一點，將拋物線C1 繞點 Q 旋轉 180°后得到拋物線C4拋物線 C4 的頂點為 N，與 x 軸相交于 E、F 兩點（點 E 在點 F 的左邊），當以點 P、N、F 為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q 的坐標（5 分）6/27yC1yC1MNBBQAAOxO

12、EF xPC2C3PC4圖1圖212. 如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD 的三個頂點 B(4，0) 、 C (8，0) 、 D (8，8) 拋物線 y ax2bx過 A、C 兩點（1）直接寫出點 A 的坐標，并求出拋物線的解析式；（ 2）動點 P 從點 A 出發，沿線段 AB 向終點 B 運動，同時點 Q 從點 C 出發，沿線段終點 D 運動，速度均為每秒 1 個單位長度，運動時間為 t 秒過點 P 作 PE AB 交點 E 過點 E 作 EF AD 于點 F ，交拋物線于點 G 當 t 為何值時，線段 EG 最長？連接 EQ 在點 P、Q 運動的過程中，判斷有幾個時刻使得 CEQ

13、是等腰三角形？請直接寫出相應的 t 值CDAC向于yAFDGPEQOBCx13. 如圖 1，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點M（ 2，- 1），且 P（ - 1，- 2）為雙曲線上的一點， Q 為坐標平面上一動點， PA 垂直于 x 軸，QB 垂直于 y 軸，垂足分別是 A、B（ 1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（ 2）當點 Q 在直線 MO 上運動時，直線 MO 上是否存在這樣的點 Q，使得 OBQ 與7/27OAP 面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖 2，當點 Q 在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ 為鄰邊的平行四邊形 OPCQ

14、，求平行四邊形OPCQ 周長的最小值yyBQBQAOAOxxMMCPP圖 1圖 214. 如圖，矩形 ABCD 中， AB = 6cm，AD = 3cm，點 E 在邊 DC 上，且 DE = 4cm動點 P 從點 A 開始沿著 ABCE 的路線以 2cm/s 的速度移動，動點 Q 從點 A 開始沿著 AE 以 1cm/s 的速度移動，當點 Q 移動到點 E 時，點 P 停止移動若點 P、Q 從點 A同時出發，設點 Q 移動時間為 t（s），P、Q 兩點運動路線與線段 PQ 圍成的圖形面積為 S（cm2），求 S 與 t 的函數關系式DECQAPB15. 如圖，已知二次函數 y ( x m)2

15、k m2 的圖象與 x 軸相交于兩個不同的點A( x1，0) 、 B( x2，0) ，與 y 軸的交點為 C 設 ABC 的外接圓的圓心為點P 8/27（1）求 P 與 y 軸的另一個交點 D 的坐標；（ ）如果 AB 恰好為 P 的直徑，且 ABC 的面積等于5 ，求 m 和k的值216. 如圖，點 A、 B 坐標分別為（ 4，0）、（0，8），點 C 是線段 OB 上一動點，點 E 在 x 軸正半軸上，四邊形 OEDC 是矩形，且 OE 2OC 設 OE t (t0) ，矩形 OEDC 與 AOB 重合部分的面積為 S 根據上述條件，回答下列問題：（ 1）當矩形 OEDC 的頂點 D 在直

16、線 AB 上時，求 t 的值；（ 2）當 t 4時，求 S 的值；（ 3）直接寫出 S 與 t 的函數關系式；（不必寫出解題過程）yB（4）若 S12 ，則 tDCOEAx17. 直線 y3 x 6與坐標軸分別交于 A、B 兩點，動點 P、 Q 同時從 O 點出發，同時到達4點 A ，運動停止點Q 沿線段 OA運動，速度為每秒 1 個單位長度，點 P 沿路線 O B A 運動（ 1）直接寫出 A、 B 兩點的坐標；（ 2）設點 Q 的運動時間為 t 秒， OPQ 的面積為 S ，求出 S 與 t 之間的函數關系式；（ 3）當 S 485 時，求出點 P 的坐標，并直接寫出以點 O、P、 Q 為

17、頂點的平行四邊形的第四9/27個頂點 M 的坐標yBPxOQA18. 如圖 1，過ABC 的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線， 外側兩條直線之間的距離叫 ABC 的“水平寬 ”（a），中間的這條直線在 ABC 內部的線段的長度叫 ABC 的“鉛垂高 ”（h）我們可得出一種計算三角形面積的新方法：形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半S ABC1 ah ，即三角2A2鉛垂高ChB水平寬a圖 1解答下列問題：如圖 2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交 x 軸于點 A（3，0），交 y 軸于點 B（ 1）求拋物線和直線 AB 的解析式；（ 2） 求 CAB 的鉛垂高 CD 及 SCAB ；（ 3

18、 ） 設點P 是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使得S PAB= 98 S CAB，若存在，求出 P 點的坐標；若不存在，請說明理由10/27yCBD1xO1A圖 219. 如圖，在平面直角坐標系中，點A、 C 的坐標分別為 ( 10)，、(0，3)，點 B 在 x 軸上已知某二次函數的圖象經過A、B、C三點，且它的對稱軸為直線點P為直線BC下方x 1，的二次函數圖象上的一個動點（點 P 與 B 、C 不重合），過點 P 作 y 軸的平行線交 BC 于點F（ 1）求該二次函數的解析式；（ 2）若設點 P 的橫坐標為 m，用含 m 的代數式表示線段 PF 的長（ 3）求 PB

19、C 面積的最大值，并求此時點 P 的坐標yAOFBxCPx=120.如圖所示，菱形ABCD的邊長為 6 厘米，從初始時刻開始，點P、Q同時從B 60°A 點出發，點 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A CB 的方向運動，點 Q 以 2厘米 /秒的速度沿AB C D 的方向運動，當點 Q 運動到 D 點時， P 、Q 兩點同時停止運動， 設 P 、Q 運動的時間為 x 秒時， APQ 與 ABC 重疊部分 的面積為 y 平方厘米（這里規定：點和線段是面積為 O 的三角形），解答下列問題：（1）點 P 、 Q 從出發到相遇所用時間是秒；（2）點 P 、Q 從開始運動到停止的過程中， 當

20、APQ 是等邊三角形時 x 的值是秒；（3）求 y 與 x 之間的函數關系式11/27CDPBAQ21. 定義一種變換：平移拋物線 F1 得到拋物線 F2 ，使 F2 經過 F1 的頂點 A 設 F2 的對稱軸分別交 F1，F2 于點 D，B ，點 C 是點 A 關于直線 BD 的對稱點（1）如圖 1，若 F1 ： yx2 ，經過變換后，得到F2 ： yx2bx ，點 C 的坐標為 (2，0) ，則 b 的值等于 _；四邊形 ABCD 為（）A 平行四邊形B矩形C菱形D正方形（2）如圖 2，若 F1 ： yax2c ，經過變換后，點 B 的坐標為(2， c 1) ，求 ABD 的面積；（3）如

21、圖 3，若 F1 ： y1 x22 x7，經過變換后， AC 2 3，點 P 是直線 AC 上的動點，333求點 P 到點 D 的距離和到直線AD 的距離之和的最小值yF1yyF1F 1DF2DDF 2F2PC xAACO（A）CBBOBxxO（圖 1）（圖 2）（圖 3）22. 如圖，已知直線 y1 x 1交坐標軸于 A，B 兩點，以線段 AB 為邊向上作正方形 ABCD ，2過點 A，D，C 的拋物線與直線另一個交點為E （ 1）請直接寫出點 C, D 的坐標；（ 2）求拋物線的解析式；（ 3）若正方形以每秒 5 個單位長度的速度沿射線 AB 下滑，直至頂點 D 落在 x 軸上時停12/2

22、7止設正方形落在 x 軸下方部分的面積為 S ，求 S 關于滑行時間 t 的函數關系式，并寫出相應自變量 t 的取值范圍；（4）在（ 3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上 C , E 兩點間的拋物線弧所掃過的面積yDCAOBxEy1x 1223. 如圖，點 A、B 坐標分別為（ 4，0）、（0，8），點 C 是線段 OB 上一動點，點 E 在 x 軸正半軸上，四邊形OEDC 是矩形，且 OE2OC 設 OEt(t0) ，矩形 OEDC 與 AOB 重合部分的面積為S 根據上述條件，回答下列問題：（ 1）當矩形 OEDC 的頂點 D 在直線 AB 上時，求 t 的值；（ 2

23、）當 t 4時，求 S 的值；（ 3）直接寫出 S 與 t 的函數關系式；（不必寫出解題過程）（4）若 S12 ，則 tyBDCOEAx24. 如圖所示，某校計劃將一塊形狀為銳角三角形 ABC 的空地進行生態環境改造已知 ABC 的邊 BC 長 120 米，高 AD 長 80 米學校計劃將它分割成 AHG 、 BHE 、GFC和矩形 EFGH 四部分（如圖）其中矩形 EFGH 的一邊 EF 在邊 BC 上，其余兩個頂點 H 、G 分別在邊 AB 、 AC 上現計劃在 AHG 上種草，每平米投資 6 元；在 BHE 、 FCG 上都種花，每平方米投資 10 元；在矩形 EFGH 上興建愛心魚池，

24、每平方米投資 4 元（ 1）當 FG 長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？（ 2）當矩形 EFGH 的邊 FG 為多少米時， ABC 空地改造總投資最小？最小值為多少？13/27AKHGBCEDF25. 已知： t1，t 2 是方程 t 22t 24 0 的兩個實數根， 且 t1t2 ，拋物線 y2 x2bx c 的圖象3經過點 A(t1，0)， B(0，t2 ) （1）求這個拋物線的解析式；（2）設點 P(x， y) 是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ 是以 OA 為對角線的平行四邊形，求OPAQ 的面積 S 與 x 之間的函數關系式，并寫出自變量x 的取值范圍；（3）在

25、（2）的條件下，當 OPAQ 的面積為 24 時，是否存在這樣的點 P ，使 OPAQ 為正方形？若存在，求出 P 點坐標；若不存在，說明理由yQBAOxP三、說理題26. 如圖，拋物線經過 A(4，0)， B(1，0)， C (0， 2) 三點（ 1）求出拋物線的解析式；（2）P 是拋物線上一動點， 過 P 作 PM x 軸，垂足為 M，是否存在 P 點，使得以 A，P， M 為頂點的三角形與 OAC 相似？若存在， 請求出符合條件的點 P 的坐標；若不存在，14/27請說明理由；（3）在直線 AC 上方的拋物線上有一點D，使得 DCA 的面積最大，求出點D 的坐標yOB1Ax42C27.

26、如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，半徑為 1 的圓的圓心 O 在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于 A、B、 C、 D 四點拋物線 y ax2bx c 與 y 軸交于點 D ，與直線 yx 交于點M 、 N ，且 MA、NC 分別與圓 O 相切于點 A 和點 C （ 1）求拋物線的解析式；（ 2）拋物線的對稱軸交 x 軸于點 E ，連結 DE ，并延長 DE 交圓 O 于 F ，求 EF 的長（ 3）過點 B 作圓 O 的切線交 DC 的延長線于點 P ，判斷點 P 是否在拋物線上，說明理由yDNEAOCxFMB1x2bx c與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點C28. 如圖 1，已知

27、：拋物線y、2，經過B C兩點的直線是 y1 x 2，連結 AC 2（ 1） B、C 兩點坐標分別為 B （_，_）、 C （_，_），拋物線的函數關系式為 _；（ 2）判斷 ABC 的形狀，并說明理由；（3）若 ABC 內部能否截出面積最大的矩形 DEFC（頂點 D、 E、F、G在 ABC 各邊上）？若能，求出在 AB 邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由15/27拋物線 yax2bx c 的頂點坐標是b4ac b2,4a2ayyAOBxAOBxCC圖1圖2(備用)29. 已知：如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，矩形 OABC 的邊 OA 在 y 軸的正半軸上， OC 在 x 軸的正半

28、軸上， OA=2，OC=3過原點 O 作 AOC 的平分線交 AB 于點 D，連接 DC，過點 D 作 DEDC，交 OA 于點 E（1）求過點 E、D、C 的拋物線的解析式；（2）將 EDC 繞點 D 按順時針方向旋轉后， 角的一邊與 y 軸的正半軸交于點 F，另一邊與線段 OC 交于點 G如果 DF 與（1）中的拋物線交于另一點M，點 M 的橫坐標為6 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；5（3）對于（ 2）中的點 G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ 與 AB 的交點 P 與點 C、G 構成的 PCG 是等腰三角形？若存在， 請

29、求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由yDABExOC30. 如圖所示，將矩形 OABC 沿 AE 折疊，使點 O 恰好落在 BC 上 F 處，以 CF 為邊作正方形 CFGH ，延長 BC 至 M ，使 CMCEEO ，再以 CM 、 CO 為邊作矩形 CMNO （1）試比較 EO 、 EC 的大小，并說明理由16/27（2）令 m S四邊形 CFGH S四邊形 CMNO明理由，請問 m是否為定值？若是，請求出m 的值；若不是，請說（3）在（2）的條件下，若 CO 1， CE1， Q 為 AE 上一點且 QF2bx c，拋物線 y mx233經過 C 、 Q 兩點，請求出此拋物線的解析式（

30、4）在（3）的條件下，若拋物線 ymx2bx c 與線段 AB 交于點 P ，試問在直線 BC 上是否存在點 K ，使得以 P 、B 、K 為頂點的三角形與 AEF 相似？若存在， 請求直線 KP 與 y 軸的交點 T 的坐標；若不存在，請說明理由yHGCFMBEQNOAx17/271 過兩點有且只有一條直線2 兩點之間線段最短3 同角或等角的補角相等4 同角或等角的余角相等5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短7 平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行9 同位角相

31、等，兩直線平行10 內錯角相等，兩直線平行11 同旁內角互補，兩直線平行12 兩直線平行，同位角相等13 兩直線平行，內錯角相等14 兩直線平行，同旁內角互補15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于 180°18 推論 1 直角三角形的兩個銳角互余19 推論 2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和20 推論 3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角21 全等三角形的對應邊、對應角相等22 邊角邊公理 (SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等23 角邊角公理 ( ASA) 有兩

32、角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等24 推論 (AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等25 邊邊邊公理 (SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等26 斜邊、直角邊公理 (HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等27 定理 1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等28 定理 2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合18/2730 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角）31 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中

33、線和底邊上的高互相重合33推論 3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）35 推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形36 推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形37 在直角三角形中， 如果一個銳角等于 30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點， 在這條線段的垂直平分線上41 線段的垂直平分線可看作和線

34、段兩端點距離相等的所有點的集合42 定理 1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱， 那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線44 定理 3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上45 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱46 勾股定理直角三角形兩直角邊a、 b 的平方和、等于斜邊c 的平方，即 a2+b2=c247 勾 股 定 理的 逆 定 理 如 果 三 角形 的 三 邊 長 a 、 b 、 c 有 關 系a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形48定理 四邊形的內角

35、和等于 360°49四邊形的外角和等于360°50多邊形內角和定理n 邊形的內角的和等于（n-2）× 180°19/2751 推論任意多邊的外角和等于360°52 平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等53 平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等54 推論夾在兩條平行線間的平行線段相等55 平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分56 平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形57 平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形58 平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形59 平行四

36、邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形60 矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角61 矩形性質定理2 矩形的對角線相等62 矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形63 矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形64 菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等65 菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角66 菱形面積 =對角線乘積的一半，即S=（a× b）÷ 267 菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形68 菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形69 正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等70 正方形性質

37、定理2 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分， 每條對角線平分一組對角71 定理 1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的72 定理 2 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分73 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱74 等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等75 等腰梯形的兩條對角線相等76 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形20/2777 對角線相等的梯形是等腰梯形78 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等79 推論

38、1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰80 推論 2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 L= （ a+b）÷ 2 S=L × h83 (1)比例的基本性質 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc如果 ad=bc,那么 a:b=c:d84 (2)合比性質 如果 ab=cd,那么 (a±b)b=(c±d) d85 (3)等比性質 如果 ab=cd= =m n(b+d+ +n0),那么(a+c+m

39、) (b+d+n)=a b86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例87推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊 （或兩邊的延長線） 所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊89 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 （或兩邊的延長線） 相交，所構成的三角形與原三角形相似91 相似三角形判定定理 1 兩角對應相等，兩三角形相似（ ASA ）92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三

40、角形和原三角形相似93判定定理 2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）94判定定理 3三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）95定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三21/27角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似96 性質定理 1 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比97 性質定理 2 相似三角形周長的比等于相似比98 性質定理 3 相似三角形面積的比等于相似比的平方99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的

41、余角的正切值101 圓是定點的距離等于定長的點的集合102 圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103 圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合104 同圓或等圓的半徑相等105 到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓106 和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線107 到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線108 到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109 定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。110 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧111 推論 1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑， 垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112 推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等113 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的