1、2014年中考數(shù)學(xué)分類匯編與圓有關(guān)的壓軸題2014年與圓有關(guān)的壓軸題，考點涉及：垂徑定理；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；切線性質(zhì)；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；特殊四邊形性質(zhì)；等.數(shù)學(xué)思想涉及：數(shù)形結(jié)合；分類討論；化歸；方程.現(xiàn)選取部分省市的2014年中考題展示，以饗讀者.【題1】（2014年江蘇南京,26題）如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，O為ABC的內(nèi)切圓（1）求O的半徑；（2）點P從點B沿邊BA向點A以1cm/s的速度勻速運動，以P為圓心，PB長為半徑作圓，設(shè)點P運動的時間為t s，若P與O相切，求t

2、的值【分析】：（1）求圓的半徑，因為相切，我們通常連接切點和圓心，設(shè)出半徑，再利用圓的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)表示其中關(guān)系，得到方程，求解即得半徑（2）考慮兩圓相切，且一圓已固定，一般就有兩種情形，外切與內(nèi)切所以我們要分別討論，當(dāng)外切時，圓心距等于兩圓半徑的和；當(dāng)內(nèi)切時，圓心距等于大圓與小圓半徑的差分別作垂線構(gòu)造直角三角形，類似（1）通過表示邊長之間的關(guān)系列方程，易得t的值【解】：（1）如圖1，設(shè)O與AB、BC、CA的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，則AD=AF，BD=BE，CE=CFO為ABC的內(nèi)切圓，OFAC，OEBC，即OFC=OEC=90°C=90°，四邊形

3、CEOF是矩形，OE=OF，四邊形CEOF是正方形設(shè)O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，在RtABC中，ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cmAD=AF=ACFC=4r，BD=BE=BCEC=3r，4r+3r=5，解得 r=1，即O的半徑為1cm（2）如圖2，過點P作PGBC，垂直為GPGB=C=90°，PGACPBGABC，BP=t，PG=，BG=若P與O相切，則可分為兩種情況，P與O外切，P與O內(nèi)切當(dāng)P與O外切時，如圖3，連接OP，則OP=1+t，過點P作PHOE，垂足為HPHE=HEG=PGE=90°，四邊形PHEG是矩形，HE=

4、PG，PH=CE，OH=OEHE=1，PH=GE=BCECBG=31=2在RtOPH中，由勾股定理，解得 t=當(dāng)P與O內(nèi)切時，如圖4，連接OP，則OP=t1，過點O作OMPG，垂足為MMGE=OEG=OMG=90°，四邊形OEGM是矩形，MG=OE，OM=EG，PM=PGMG=，OM=EG=BCECBG=31=2，在RtOPM中，由勾股定理，解得 t=2綜上所述，P與O相切時，t=s或t=2s【點評】：本題考查了圓的性質(zhì)、兩圓相切及通過設(shè)邊長，表示其他邊長關(guān)系再利用直角三角形求解等常規(guī)考查點，總體題目難度不高，是一道非常值得練習(xí)的題目【題2】（2014瀘州24題）如圖，四邊形ABCD

5、內(nèi)接于O，AB是O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2=CECA（1）求證：BC=CD；（2）分別延長AB，DC交于點P，過點A作AFCD交CD的延長線于點F，若PB=OB，CD=，求DF的長【考點】：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】：（1）求出CDECAD，CDB=DBC得出結(jié)論（2）連接OC，先證ADOC，由平行線分線段成比例性質(zhì)定理求得PC=，再由割線定理PCPD=PBPA求得半徑為4，根據(jù)勾股定理求得AC=，再證明AFDACB，得，則可設(shè)FD=x，AF=，在RtAFP中，求得DF=【解答】：（1）證明：DC2=CECA，=，CDECAD，CDB=DB

6、C，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BC=CD；（2）解：如圖，連接OC，BC=CD，DAC=CAB，又AO=CO，CAB=ACO，DAC=ACO，ADOC，=，PB=OB，CD=，=PC=4又PCPD=PBPAPA=4也就是半徑OB=4，在RTACB中，AC=2，AB是直徑，ADB=ACB=90°FDA+BDC=90°CBA+CAB=90°BDC=CABFDA=CBA又AFD=ACB=90°AFDACB在RtAFP中，設(shè)FD=x，則AF=，在RTAPF中有，求得DF=【點評】：本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及圓周角的有關(guān)知識的綜合運用能力，關(guān)鍵是

7、找準(zhǔn)對應(yīng)的角和邊求解【題3】（2014濟寧21題）閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r連接OA、OB、OC，ABC被劃分為三個小三角形S=SOBC+SOAC+SOAB=BCr+ACr+ABr=（a+b+c）rr=（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；（2）理解應(yīng)用：如圖（3），在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=21，CD=11，AD=13，O1與O2分別為ABD與BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2

8、，求的值【考點】：圓的綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】：（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個小三角形，且每個三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似仿照證明過程，r易得（2）（1）中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們再相比即得結(jié)果但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過點D作AB垂線，進一步易得BD的長，則r1、r2、易得【解答】：（1）如圖2，連接OA、OB、OC、ODS=SAOB+SBOC+SCOD+SAOD=+=，r=（2）如圖3，過點D作DEAB于E，梯形ABCD為等腰梯形，AE=5，EB=ABAE=2

9、15=16在RtAED中，AD=13，AE=5，DE=12，DB=20SABD=126， SCDB=66，=【點評】：本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識的能力，同時考查了解直角三角形及等腰梯形等相關(guān)知識這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點，是一道值得練習(xí)的基礎(chǔ)題，同時要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)【題4】（2014.福州20題）如圖，在ABC中，B=45°，ACB=60°，點D為BA延長線上的一點，且D=ACB，O為ABC的外接圓.（1）求BC的長；（2）求O的半徑.【解析】.（2）由（1）得，在RtACE中，EAC=30°，EC=，AC=.

10、D=ACB，B=B，BACBCD. ，即.DM=4.O的半徑為2.【考點】：1. 銳角三角函數(shù)定義；2.特殊角的三角函數(shù)值；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.圓周角定理；5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；6.含30度角直角三角形的性質(zhì)；7.勾股定理.【題5】（2014.廣州25題）如圖7，梯形中，,，點為線段上一動點（不與點 重合），關(guān)于的軸對稱圖形為，連接，設(shè)，的面積為，的面積為（1）當(dāng)點落在梯形的中位線上時，求的值；（2）試用表示，并寫出的取值范圍；（3）當(dāng)?shù)耐饨訄A與相切時，求的值【答案】解：（1）如圖1，為梯形的中位線，則，過點作于點，則有：在中，有 在中， 又 解得：（2）如圖2，交于點，與關(guān)于對

11、稱，則有：，又 又與關(guān)于對稱，（3）如圖3，當(dāng)?shù)耐饨訄A與相切時，則為切點.的圓心落在的中點，設(shè)為則有，過點作，連接，得 則又解得：（舍去） 【題6】（2014湖州24題）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，以P（1，1）為圓心的P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點PEPF交y軸于點E，設(shè)點F運動的時間是t秒（t0）（1）若點E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（2）在點F運動過程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；（3）作點F關(guān)于點M的對稱點F，經(jīng)過M、E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于

12、點Q，連接QE在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由【分析】：（1）連接PM，PN，運用PMFPNE證明，（2）分兩種情況當(dāng)t1時，點E在y軸的負(fù)半軸上，0t1時，點E在y軸的正半軸或原點上，再根據(jù)（1）求解，（3）分兩種情況，當(dāng)1t2時，當(dāng)t2時，三角形相似時還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時間t【解答】：證明：（1）如圖，連接PM，PN，P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，PMMF，PNON且PM=PN，PMF=PNE=90°且NPM=90°，PEPF，NPE=

13、MPF=90°MPE，在PMF和PNE中，PMFPNE（ASA），PE=PF，（2）解：當(dāng)t1時，點E在y軸的負(fù)半軸上，如圖，由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1，ba=1+t（t1）=2，b=2+a，0t1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，同理可證PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t，b+a=1+t+1t=2，b=2a，（3）如圖3，（）當(dāng)1t2時，F(xiàn)（1+t，0），F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)（1t，0）經(jīng)過M、E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q（1t，0）OQ=1t，由（1）得

14、PMFPNE NE=MF=t，OE=t1當(dāng)OEQMPF=，解得，t=，當(dāng)OEQMFP時，=，=，解得，t=，（）如圖4，當(dāng)t2時，F(xiàn)（1+t，0），F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)（1t，0）經(jīng)過M、E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q（1t，0）OQ=t1，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1當(dāng)OEQMPF=，無解，當(dāng)OEQMFP時，=，=，解得，t=2±，所以當(dāng)t=，t=，t=2±時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似【點評】：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是把圓的知識與全等三角形與相似三角形相結(jié)合找出線段關(guān)系【題7】（2

15、014寧波26）木匠黃師傅用長AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計了四種方案：方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；方案二：圓心O1、O2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓（1）寫出方案一中圓的半徑；（2）通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0x1），圓的半徑為y求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；當(dāng)x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方

16、案中哪一個圓形桌面的半徑最大 【考點】：圓的綜合題【分析】：（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，由已知長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1（2）方案二、方案三中求圓的半徑是常規(guī)的利用勾股定理或三角形相似中對應(yīng)邊長成比例等性質(zhì)解直角三角形求邊長的題目一般都先設(shè)出所求邊長，而后利用關(guān)系代入表示其他相關(guān)邊長，方案二中可利用O1O2E為直角三角形，則滿足勾股定理整理方程，方案三可利用AOMOFN后對應(yīng)邊成比例整理方程，進而可求r的值（3）類似（1）截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，雖然方案四中新拼的圖象不一定為矩形，但直徑也不得超過橫縱向方向跨度則

17、選擇最小跨度，取其，即為半徑由EC為x，則新拼圖形水平方向跨度為3x，豎直方向跨度為2+x，則需要先判斷大小，而后分別討論結(jié)論已有關(guān)系表達式，則直接根據(jù)不等式性質(zhì)易得方案四中的最大半徑另與前三方案比較，即得最終結(jié)論【解答】：解：（1）方案一中的最大半徑為1分析如下：因為長方形的長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1（2）如圖1，方案二中連接O1，O2，過O1作O1EAB于E，方案三中，過點O分別作AB，BF的垂線，交于M，N，此時M，N恰為O與AB，BF的切點方案二：設(shè)半徑為r，在RtO1O2E中，O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=ABAO1CO2=32r，（2r）

18、2=22+（32r）2，解得 r=方案三：設(shè)半徑為r，在AOM和OFN中，AOMOFN，解得 r=比較知，方案三半徑較大（3）方案四：EC=x，新拼圖形水平方向跨度為3x，豎直方向跨度為2+x類似（1），所截出圓的直徑最大為3x或2+x較小的1當(dāng)3x2+x時，即當(dāng)x時，r=（3x）；2當(dāng)3x=2+x時，即當(dāng)x=時，r=（3）=；3當(dāng)3x2+x時，即當(dāng)x時，r=（2+x）當(dāng)x時，r=（3x）（3）=；當(dāng)x=時，r=（3）=；當(dāng)x時，r=（2+x）（2+）=，方案四，當(dāng)x=時，r最大為1，方案四時可取的圓桌面積最大【點評】：本題考查了圓的基本性質(zhì)及通過勾股定理、三角形相似等性質(zhì)求解邊長及分段函數(shù)的

19、表示與性質(zhì)討論等內(nèi)容，題目雖看似新穎不易找到思路，但仔細(xì)觀察每一小問都是常規(guī)的基礎(chǔ)考點，所以總體來說是一道質(zhì)量很高的題目，值得認(rèn)真練習(xí)【題8】（2014蘇州28）如圖，已知l1l2，O與l1，l2都相切，O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若O與矩形ABCD沿l1同時向右移動，O的移動速度為3cm，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設(shè)移動時間為t（s）（1）如圖，連接OA、AC，則OAC的度數(shù)為105°；（2）如圖，兩個圖形移動一段時間后，O到達O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點O1，A1，C1恰好在

20、同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO1的長）；（3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm），當(dāng)d2時，求t的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖）【考點】：圓的綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】：（1）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出OAD=45°，DAC=60°，進而得出答案；（2）首先得出，C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1OO12=t2，求出t的值，進而得出OO1=3t得出答案即可；（3）當(dāng)直線AC與O第一次相切時，設(shè)移動時間為t1，當(dāng)直線AC與O第二次相切時，設(shè)移動時間為t2，分別求出即可【

21、解答】：解：（1）l1l2，O與l1，l2都相切，OAD=45°，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，AD=4cm，tanDAC=，DAC=60°，OAC的度數(shù)為：OAD+DAC=105°，故答案為：105；（2）如圖位置二，當(dāng)O1，A1，C1恰好在同一直線上時，設(shè)O1與l1的切點為E，連接O1E，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，C1A1D1=60°，在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60°，A1E=，A1E=AA1OO12=t2，t2=，t=+2，OO1=3

22、t=2+6；（3）當(dāng)直線AC與O第一次相切時，設(shè)移動時間為t1，如圖，此時O移動到O2的位置，矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置，設(shè)O2與直線l1，A2C2分別相切于點F，G，連接O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2G2，由（2）得，C2A2D2=60°，GA2F=120°，O2A2F=60°，在RtA2O2F中，O2F=2，A2F=，OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+3t1=2，t1=2，當(dāng)直線AC與O第二次相切時，設(shè)移動時間為t2，記第一次相切時為位置一，點O1，A1，C1共線時位置二，第二次相切時為位置三，由題意知，從位

23、置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等，+2（2）=t2（+2），解得：t2=2+2，綜上所述，當(dāng)d2時，t的取值范圍是：2t2+2【點評】：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵【題9】（2014泰州25題）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x+b（b為常數(shù)，b0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方（1）若直線AB與有兩個交點F、G求CFE的度數(shù)；用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍；（2）設(shè)b5，在線段AB上是否存在點P，使CPE=

24、45°？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】：圓的綜合題【分析】：（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對的圓周角相等求行CFE=45°，（2）作OMAB點M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標(biāo)，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根據(jù)式子寫出b的范圍，（3）當(dāng)b=5時，直線與圓相切，存在點P，使CPE=45°，再利用兩條直線垂直相交求出交點P的坐標(biāo)，【解答】：解：（1）連接CD，EA，DE是直徑，DCE=90°，CODE，且DO=EO，ODC=OEC=45°，CFE=ODC=45°，（2）如圖，作OMA

25、B點M，連接OF，OMAB，直線的函數(shù)式為：y=x+b，OM所在的直線函數(shù)式為：y=x，交點M（b，b）OM2=（b）2+（b）2，OF=4，F(xiàn)M2=OF2OM2=42（b）2（b）2，F(xiàn)M=FG，F(xiàn)G2=4FM2=4×42（b）2（b）2=64b2=64×（1b2），直線AB與有兩個交點F、G4b5，（3）如圖，當(dāng)b=5時，直線與圓相切，DE是直徑，DCE=90°，CODE，且DO=EO，ODC=OEC=45°，CFE=ODC=45°，存在點P，使CPE=45°，連接OP，P是切點，OPAB，OP所在的直線為：y=x，又AB所在的直

26、線為：y=x+5，P（，）【點評】：本題主要考查了圓與一次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，明確兩條直線垂直時K的關(guān)系【題10】(2014年江蘇徐州28) 如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點E從點A出發(fā)，沿射線AD移動，以CE為直徑作圓O，點F為圓O與射線BD的公共點，連接EF、CF，過點E作EGEF，EG與圓O相交于點G，連接CG（1）試說明四邊形EFCG是矩形；（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中，矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；求點G移動路線的長【考點】：圓的綜合題；垂線段最短；直

27、角三角形斜邊上的中線；矩形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】：（1）只要證到三個內(nèi)角等于90°即可（2）易證點D在O上，根據(jù)圓周角定理可得FCE=FDE，從而證到CFEDAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到S矩形ABCD=2SCFE=然后只需求出CF的范圍就可求出S矩形ABCD的范圍根據(jù)圓周角定理和矩形的性質(zhì)可證到GDC=FDE=定值，從而得到點G的移動的路線是線段，只需找到點G的起點與終點，求出該線段的長度即可【解答】：解：（1）證明：如圖1，CE為O的直徑，CFE=CGE=90°EGEF，F(xiàn)EG=90°CFE=CGE=FEG=90°四邊形EFCG是矩形（2）存在連接OD，如圖2，四邊