1、WORD格式整理版習(xí)題三一、填空題3441. 設(shè) X 與Y兩隨機(jī)變量,且 P(X_0,Y_0)=, P(X_0)：, P(Y_0)：,那么777P(max(X,Y) _0)5/7 .2. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率分布為專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)參考資料那么關(guān)于X的邊緣分布律為X12311/41/21/43假設(shè)(X, Y)的聯(lián)合分布律為12311/61/91/1821/3aP1:, -應(yīng)滿(mǎn)足條件是.假設(shè)X與Y相互獨(dú)立那么:-=2/9 ,- = 1/93 4. 設(shè)X與Y獨(dú)立同分布,且X的分布律為P(X =0) =0.5, P(X =1) =0.5,那么隨機(jī)變量Z 二maxX,Y的分布律為 P(Z=0)=

2、0.25, P(Z=1)=0.75;5. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,丫)的聯(lián)合概率密度為0 ： x : 1,0 ： y : 1其他那么概率 PX £0.5,Y v0.6=0.3.6.設(shè)(X,Y)聯(lián)合概率密度為f(x,y)Ae42xH3y),x,00,其他那么系數(shù)A= 6 ;7.設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為2七.ex y,f x,y =I 0,c=21/4.8. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y )的概率密度為f (x, y)=丿48y(2 - x)00_x_1,0_y_x其它0_x_1其它x2那么關(guān)于X的邊緣概率密度是fX(x) = d4.8y(2加"2也(2-x)09.

3、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,且 X在區(qū)間0,2上服從均勻分布,Y服從參數(shù)為11的指數(shù)分布,那么P：X Y V =1.2e10. 設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立,且均服從區(qū)間0, 3上的均勻分布,那么PmaxX,Y <1- 1/9 .11. 假設(shè)X N(7,r2), 丫NX.打),相互獨(dú)立,&X -k2Y服從分布為N(k* k2 巴,kg； +k；).12X1,X2,IH,Xn獨(dú)立且服從于相同的分布函數(shù)F(x),假設(shè)令二max( X1, X2l(,Xn),那么 的分布函數(shù) F(x)=Fn(x).、選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x, y),其邊緣分布函數(shù) Fx(x)是(B)

4、(A)yim/(x,y)； (B)yjmF(x,y); (C)F(x,0); (D)F(0,x).2.同時(shí)擲兩顆質(zhì)體均勻的骰子,分別以X,Y表示第1顆和第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),那么(A)1(B) PX =Y：361(D) P X 乞 Y.21(A) PX 二i,Y=j ,i,j =1,2,川6.361(C) PX -Y .23 設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立,它們的概率分布依次為X-11P1/21/2Y-11P1/21/2那么以下各式正確的選項(xiàng)是(C)(A) X=Y.( B) PX=Y=0 . (C)PX=Y=1/2. (D) PX=Y=1.24.設(shè)X,Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f x,y=.6x y,

5、 0 _ x _ 1,0 _ y _ 1 ,那么以下結(jié)0, 其他論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是B.(A) P(X,Y) G =f(x,y)dxdy.( B) P(X,Y) G = 6x2ydxdy.GG(C) PX _Y二 Odx 06x2ydy.( D) P( X _ Y) = f (x, y)dxdy.x_y1/ J!5.設(shè)二維隨機(jī)變量x八1,那么X,Y其它滿(mǎn)足C A獨(dú)立同分布.C不獨(dú)立同分布.B獨(dú)立不同分布D不獨(dú)立也不同分布.6.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且分別服從N 0,1 和 N 1,1,那么B1(A) P(X YO)1(C) P(X Y_0)1(B) P(X 丫 乞 1)1(D) P(X -丫叮

6、)匕.7. 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布函數(shù)分別為FX x , Fy y ,那么X,Y的聯(lián)合概率密度為 f x, y ='Z = min X Y的分布函數(shù)為D(A) Fz z =FX x .(B)fz z = fy y .(C) Fz z =minFx X ,Fy y (DFz z n IIJ-Fx X.1-Fy y .8. 假設(shè) X Nr,2,Y NJ,二；,且 X 與 Y 相互獨(dú)立,那么C(A) X Y N( j2,(匚1飛2)2) . ( B) X -Y N(" - 廿時(shí)一二；)(C) X -2丫 山討-22,時(shí) 4鳥(niǎo)).(D) 2X -丫 N?、-2,2J2

7、V).9. X N(-3,1),丫 N(2,1),且 X,Y 相互獨(dú)立,記 Z =X - 2Y - 7, 那么 Z ( A)(A) N(0,5) .( B) N(0,12).( C) N(0,54).( D) N(-1,2).10.設(shè)X1,X2H,Xn相獨(dú)立且都服從 N(r2),那么下式成立的是(B)(A) Xj = X2 =|( = Xn .2(C) 2X1 3 N(2i 3,4二3).1CT(B) (Xi X2|( Xn)N(i, )nn2 2(D) X1 -X2 N (0,62) 三、計(jì)算以下各題1. 一個(gè)箱子裝有12只開(kāi)關(guān),其中2只是次品,現(xiàn)隨機(jī)地?zé)o放回抽取兩次, 每次取一只,以X和Y

8、分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù),試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合概率分布律.P(X =0,Y =0)=C10C945P(X =0,Y =1)二CCnCwC11C12 C11661066P(X =1,Y =0)=P(X =1,Y =1)二c2c；0血11C12C1110566662.袋中有1個(gè)紅色球,2個(gè)黑色球與3個(gè)白色球,現(xiàn)有放回地從袋中取兩次,每次取一球,以X,Y,分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù),求1二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率分布律；(2)X, Y的邊緣分布律.解：(1)X Y的取值范圍為0,1,2,故pfx =0,Y =0 - C3C1 =丄,卩浪=1 丫 -Ogjpfx =2,Y

9、 = 01c6c：463611PX =0,Y =1 ,p1x=1 Y=1 ,p1x =2,Y =1、0,39PX =0,Y =2,pfx =1丫 =2；=0,PX =2,Y =2；=0,9X012P25/365/181/36Y012P4/94/91/901201/41/61/3611/31/9021/900(2)3.設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4 四個(gè)整數(shù)中等可能取值,另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能取一個(gè)整數(shù)值,求1X,Y的聯(lián)合分布律；2X,Y的邊緣分布律.解：由題意1x=i,Y = j其中i =1,2,3,4, j乞i, j為整數(shù),那么由概率的乘法公式有px =i,Y = j = px =iP

10、Y = j X；,i =1,2,3,4, j< i.4i因此X-101P1/1/1/424Y01P1/21/21234Pj11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48PL1/41/41/41/414.隨機(jī)變量X,Y的概率分布:(2)問(wèn)X,Y是否獨(dú)立？為什么?且P(XY =0) =1. (1 )求X,Y的聯(lián)合分布,解 由于 P(XY =0) =1, 所以,有 P(X =-1,丫 =1) = P(X =1,Y =1) = 0,(1)設(shè)X,Y的聯(lián)合分布為-101P j0P11P21P311/210P2201/

11、2Pi.1/41/21/415.假設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立,都服從同一分布:X012P1/1/1/424Y012P1/41/21/4求概率PX二Y.解 注意,兩個(gè)隨機(jī)變量同分布,并不意味著它們相等,只說(shuō)明它們?nèi)⊥恢档母怕氏嗟扔扇怕使郊?X和Y相互獨(dú)立,可見(jiàn)PX =Y =PX =0,Y =0 PX =1Y =1 PX =2,Y=2= PX =0PY =0 PX =1PY =1 PX =2PY =21 21 21 2 92 4 2 166.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(xk6-x-y, "X 嘗：:：八 4 ,0,其它求：(1)系數(shù) k；(2) Plx ：1,Y ：3?;(

12、3) P：X Y<.-be r-bo rfLo解：(1)421(x,y)dxdy dy k(6-x-y)dx = 8k = 1二 k .831 13(2) P：X ：1Y ：3 dy (6 - x-y)dx208844_y12(3) P：X 丫乞42 ?dy o (6x y)dx837.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Ae0,0 ： x ： y其它,求(1)常數(shù)A ( 2)隨機(jī)變量X,Y的邊緣密度,(3)概率P(X Y _1).,-(2)=e», fx (x)e , x>°,同理 f丫(y)hx0,x 蘭0X 0, fx(x) a1ye *,

13、y 00, yE/ 八/、y(D 二 一：f(X, y)dxdy 二 A0 dx x e dy=A,得1JJ f (x, y)dxdy = F dx edy =1 +e° 2e 2. y 1''x8.P(X Y E1)=x假設(shè)一微波線路有兩個(gè)中間站,它們無(wú)故障的時(shí)間X和Y是隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)=f-0.01x_e-0.01y4.01(x 切e e假設(shè) x_0, y _ 0, 假設(shè)不然.(1)解求兩個(gè)中間站連續(xù)100小時(shí)無(wú)故障的概率; 證實(shí)X和Y相互獨(dú)立.(1) 連續(xù)100小時(shí)無(wú)故障的概率PX 100,y 100=1 F(100, ；) F( ；,10

14、0)F(100,100)=1 -e-e飛2=1 -2e° e,0.1353.現(xiàn)在證實(shí)X和Y相互獨(dú)立以F1(x)和F2(y)分別表示X和Y的分布函數(shù),那么0.01xF<x) = F (x, - ) = 1 e , F2(y)二F( ;,y) =1 _e衛(wèi).01y;由于F (x, y)二F1(x) F2(y),可見(jiàn)X和Y相互獨(dú)立.2 19.設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的概率密度為lx2 + xy, 0 蘭 x 蘭1,0 蘭 y 蘭 2, (x,y)才30,其它.求：1關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù),并判斷 X與Y是否相互獨(dú)立?(2)P X Y _1 .解:( 1)2 20 豈 x 乞 1 2

15、x x,0 _ x _ 1才 3其它 .0, 其它0_y_2 丿1,0yE263其它 .0, 其它ff(-oOfX x =x, y )dy = < 02 xI Jn I2 1 xy dy 30,beH f xfY y = . . f X,y dx=01 xy dx,30,由于f (x, y) = fx(x)fY(y),所以X和Y不獨(dú)立.1_x*P X Y = f x,y dxdy Qdx.Dxy dy365729.雷達(dá)的圓形屏幕的半徑為R,設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)X,Y在屏幕上均勻分布,1 求X,Y的邊緣概率密度,2問(wèn)X,Y是否獨(dú)立?解 f(x, y)=«21/(二R ),0,x2 y2

16、豈 R2其它(1) fx(x)二說(shuō)佇丄dv = 2作_f(x, y)dy» T'R2/ 二 r2 y10,: R2 2-x二 R2|xR其它同理 fYy二2 2 .R2-x2,| y R其它(2) f (x,yp fX (x) fY (y),所以 X 和 Y不獨(dú)立.10. 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量 X與Y的分布律為P(X =1)=0.3, P(X =3) =0.7,P(Y =2) =0.6, P(Y =4)=0.4,求(1) Z =X Y的分布律,(2) W = X -Y的分布律解由獨(dú)立性可得Z357P0.180.540.28W-31-1P0.120.460.420 ： x ： 1

17、, 0 ： y ：. x 其它11.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率密度f(wàn) (x.yX,Y1, 21, 43, 23, 4P(X =x,Y =y)0.180.120.420.28X +Y3557X -Y-1- 31- 1所以Z =X Y的分布律與 W =X -Y的分布律分別為求z =X -Y的概率密度.0,FZ(z) =P(X Y 蘭z)z x0dx 0 3xdy1x3亠 idx 3xdy =z -x _z21 3zz21,0 乞 z1z _1所以,Z的密度函數(shù)為fZz t_iz2I0,0 ： z : 1 其它12.設(shè)二維變量x, y的概率密度為12 - x - yf(x, y)二 00 ： x ：

18、 1,0 ： y ： 1其他求(1) PX 2Y ； (2) z=X Y的概率密度.解：(1) PfX 2Y (2-x-y)dxdy,其中 D為 0 ： x ： 1,0 ： y ： 1 中 x 2y 的那部D分區(qū)域；f】1丄X求此二重積分可得 P 1X 2Y f = p dx ： (2 - x - y)dy(x x )dx0 8=7_24(2) FZ(z)二 P'：Z Ezl = Plx Y < z:當(dāng) z 乞0 時(shí),Fz(z)=O ;當(dāng) z_2時(shí),Fz(z)=1 ；zZ-X1 3Fz(z) = 0dx 0 (2x y)dy = -§z當(dāng)1 ： z 2時(shí),Fz( Z)

19、=1 -1 1“dxz,2-x-y)dy】z3 -2z2 4z-§33r22z -z ,0 cz c12于是 fZ (z) = z 4z 4,1 ： z ： 2 0,其他13.隨機(jī)向量(X,丫)的概率密度為f (x, y)x y,假設(shè) 0 _ x, y _ 1,0,其他.求隨機(jī)變量U二X Y的概率密度f(wàn)(u).解 對(duì)于u : 0和u 2,顯然f (u) =0.(1)設(shè)0 _u _1 .注意到,當(dāng)x u時(shí)f(x,u-x)=0.因此,由二隨機(jī)變量之和的概率 密度公式,有:uf (u)二 f (t ,u -t)dt (t u - t)dt 二 u2 .0(2)設(shè)1 _u _2 .注意到當(dāng)x

20、 : u -1時(shí)f (x,u -x) =0 .由二隨機(jī)變量之和的概率密度公 式,有: 1f(u)f(t,u-t)dt(t ut)dt = u(2u).u于是,隨機(jī)變量U二X Y的概率密度u2 ,假設(shè) 0 Eu 乞1,f (u) = u(2 -u),假設(shè) 1 込u 込2,.0 ,其他.14. 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度為d, t>0 f (t)=<0 t0并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的,試求(1)兩周(2)三周的需要量的概率密度.解：(1)設(shè)第一周需要量為 X,它是隨機(jī)變量設(shè)第二周需要量為 Y,它是隨機(jī)變量且為同分布,其分布密度為te±, t>0

21、f (t) = *0 t乞0Z=X+Y表示兩周需要的商品量,由f(x, y)=丿xe公ye0x 0, y . 0其它z > 0當(dāng) z<0 時(shí),fz ( z) = 0當(dāng)z>0時(shí),由和的概率公式知fz(z)二 _；fx(z-y)fy(y)dy二 0(z-y)e3 yedy3ze6-zfz二 6i 0z乞0(2)設(shè)z表示前兩周需要量,其概率密度為fz(Z)二z 0z _0設(shè)E表示第三周需要量,其概率密度為: _Xcxe , x >0fE(X)= <0 x蘭0z與E相互獨(dú)立n = z + E表示前三周需要量當(dāng) u<0,f n ( U) = 0當(dāng)u>0時(shí)baJ(

22、u -y)fE (y)dy=0£(u -y)3e3)ye今dy -0 65U ue120所以n的概率密度為fn (U)fn (U)=i 0u 0u乞0X和Y的獨(dú)立性可知：X和Y的聯(lián)合分布是區(qū)域15. 假設(shè)G二(x,y):0乞x乞2, 0空y乞1是一矩形,隨機(jī)變量G上的均勻分布.考慮隨機(jī)變量0,假設(shè)X <Y,、/ _ 0,假設(shè)X<2X,=1,假設(shè) X Y;= 1,假設(shè) X 2Y.求U和V的聯(lián)合概率分布.解 易見(jiàn),假設(shè)(x,y). G,那么隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為f(x, y)=12 ,否那么f(x, y) =0.口f(x,y)二二21°,假設(shè)(x, y) G,假設(shè)(x, y) G.直線x = y和x =2y將G分為三局部(見(jiàn)插圖)：G,二x ： y,G2 = y : x : 2 y , G3 =x >2y.易見(jiàn)1PX :Y二 P(X,Y) G：41PY : X ： 2Y二 P( X ,Y) G：41PX 2Y二P(X,Y) G3 =2 01例3.19插圖x=