1、勾股定理及逆定理 日期：一勾股定理驗證等面積法解題思路:將所給三角形拼成大圖形用等面積法：大圖形面積二各小圖形面積和 例1、如下圖,可以利用兩個全等的直角三角形拼出一個梯形借助這個圖形,例2、如圖矩形是由四個直角三角形拼成,題中已給出各邊長,試證實勾股定理b + siba例3、圖中的正方形均是由RtAABC拼成,試驗證勾股定理二、勾股數：滿足a2+b 2=c2的一組正整數叫做勾股數類型一：如何判斷勾股數關鍵詞：選擇題、三條邊、構成直角三角形、勾股數等一眼識別勾股數：可將較小兩數的個位數進行完全平方求和,將所得的新的個位 數與最大數的個位數的平方所得個位數 進行比擬,假設結果一樣一般滿足勾股數.

2、例1、判斷以下哪組數是勾股數A、58,4 4 ,6 0 B、8 ,15,17C、13, 14,1 9D、22 ,30,19類型二：大題中如何估算勾股數解題思路：先確定最高位的數字,再確定其它位數字例1、直角三角形的兩條直角邊分別是：48、5 5,試求斜邊長是多少？類型三：根據勾股數關系巧設未知數求邊長例1、在直角三角形中,一條直角邊為iicm另兩邊是兩個連續自然數,那么此直 角三角形的周長為多少？例2、直角三角形的三邊長是三個連續的整數,這樣的三角形共有個？A 1個 B 、2個 C、3個 D、 無數個例3、 ABC的兩邊a, b分別為5,12,另一邊c為奇數,且a +b+c是3的倍數, 那么c

3、應為多少？此三角形為何種三角形？類型四：勾股數與規律例1、觀察以下各組數:第一組：3 =2X 1+1,+1) + 1,第二組:5=2 X 2+1,X (2+1) + 1 ,第三組:7=2 X3+ 1,(3+1 )+1,第四組：9 =2X 4+1,X4X ( 4 + 1)+ 14=2 X 1X (1+1),12=2 X 2X (2+1 )24= 2X3X( 3+1),5=2X 1X(113 = 2X 225=2 X 3X4 0 =2X 4X (4 + 1),41=2觀察以上各組勾股數的組成特點,你能求出第七組勾股數的a, b, c,各是多少嗎？弟n組呢?例2、觀察以下每組勾股數,每行所給的三個數

4、a,b, c都滿足a<b <c,6, 8 , 10 62 82 1022 2 28,15,17815172 2 210,24, 2 61024261 2,35,37122 352 3722 . 2 220 , b,c20 b c試根據已有數的規律,寫出當a=20時,b , c的值,并把b,c用含a的代數式 表示出來.例3、：在Rt ABC中,C 90 , A, B, C的對邊分別為a ,b,c設ABC 的面積為S,周長為C.(1 )填表:三邊a、b、ca +b-cs/c3 4 525 1213481 5 176(2 )如果a+ b-c =m,觀察上表,猜測S/C=(用含有m的代數式

5、表示.(3)證實(2)中結論.三、最短距離問題：類型一:立體幾何中求點與點之間的最短距離關鍵詞：兩點、兩點分布在不同的面上、距離最短等解題思路：立體圖形一平面圖形一點、線、面一勾股定理例1、長方體中求線段長：如下圖是一個長8m寬6m高5m的倉庫,在其內壁的A 長的四 等分點處有一只壁虎,B 寬的三等分點處有一只蚊子,那么壁虎爬 到蚊子處的最短距離為多少米？例2、圓柱體中求線段長：注意所用線段與圓周之間的關系如圖一個圓柱,底圓周長6cm ,高4c m,只螞蟻沿外壁爬行,要從A 點爬到B點,那么最少要爬行多少cm?例3、為了美化校園,學校新近植了兩株雪松如圖,從地面到枝椏處高2米,樹粗一周是60c

6、m,現在要在樹身從底端到枝椏處均勻纏繞草繩2 那么草繩約為多長？精確到0.1米類型二： 關鍵詞：點到直線的距離問題： 最短、最省錢、動靜等解題思路:過點做直線的垂線段,一般與3 0角的直角三角形結合起來,利用30°所對的邊等于斜邊的一半例1、如圖,A城氣象臺測得臺風中央在 A城正西方向3 20k m的E處,以每小時40km的速度向北偏東.60°的BF方向移動,距離臺風中央200km的范圍內是受 臺風影響的區域.(1 )A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)假設A城受到這次臺風影響,那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？類型三：選址問題關鍵詞：兩點位于物體同側、一條河或鐵路

7、等直線型物體解題思路：做其中一點的對稱點(依據：利用中垂線上任意一點到線段兩端的 距離相等)連接兩點利用兩點之間線段最短.例1、在礦野上,一個人騎著馬從 A到E ,半路上他必須在河邊飲馬一次,如圖他應該怎樣選擇飲馬地點P,才能使所走的路程AP+P B最短呢？A.例2、如下圖,A、B兩點在m的兩側,在m上找一點C,使C到A B的距離 之差最大.類型四：三點組成三角形周長最短問題關鍵詞：角、兩個點、構成三角形周長最短等解題思路：分別做兩點關于角的兩邊的對稱點一連接兩點那么與三角形兩邊的交 點即為所求依據：兩點之間線段最短例1、如圖,M是/ AO B內一點,求做兩點C、D,使點C、D分別在OA 0B

8、上, 且使 MCD勺周長最短.四、關于等底不等高三角形與等高不等底三角形的關系：關鍵詞：等底、等咼、等咼、等底、面積等解題思路：等底不等高兩個三角形面積比等于高之比；等咼不等底兩個三角形面積比等于底之比.例 1、如圖,：ABD C 90 , AD 12, AC BC , DAB 30 . 求: B C的長.五、三角形形狀判定：類型一:三邊關系判斷： 假設滿足a2+b2=c 2,那么此三角形為直角三角形；假設滿足a2+b2小于c 2,那么此三角形為銳角三角 形；假設滿足a2+b2大于c2,那么此三角形為鈍角三角 形；例1、 ABC中,BC = a,AC= b, AB=q假設/ C=90 ,如圖,

9、根據勾股定理,那么 有a2 +b2=c2,假設厶AB C不是直角三角形,如下圖,請你類比勾股定理,試猜測a2+b2與c2的關系,并證實你的結論A例2、如圖在 ABC中,EC =a=2 n +1,AC =b=2 n+2n, AB=c= 2 n +2 n+1, n為非零自然數,試證實厶AB C為直角三角形.C例3、設一個直角三角形的兩條直角邊分別是a、b ,斜邊上的高為h,斜邊為 c,那么以c+h、a+b、h為三邊構成的三角形形狀？例 4、a、b、cABC 的三邊,且滿足 a + b+c +338=10a+24b +2 6c,試判斷 ABC勺形狀.例5、a、b、c是 ABC的三邊,且a2c2 -b

10、2J=a 2- b 2,試判斷 ABC的形 狀.類型二：分別求各邊的長,看能否滿足勾股定理例 1、如圖,ADI AB ,B C丄 AB ,AB=2 O,AD= 8,B C=12 ,E 為 AB上 一點,且DE= CE求三角形DEC是直角三角形嗎？C類型三：直接求角度數(略)六、勾股定理與乘法公式(完全平方、平方差)：例1、直角三角形周長為222+2,斜邊長為2,求三角形的面積.例2、設直角三角形的三邊長分別為 a、b、c,假設c b=b a>0,那么(c- a)/(c + a)= ()A、1/2B、1 ?3C、1 ?4 D 、1/5例3、邊長為6、8、1 0的直角三角形的面積 S= 1/

11、2 * 6 *8=2 4 ,周長=6 + 8+ 10= 24 ,這個直角三角形的面積等于周長,同樣,邊長為5、12、13的直角三角形的面積等于3 0 ,周長等于30,它的面積也等于周長,試問：直 角三角形的三邊長a、b、c具有怎樣的數量關系它的面積和周長才相等？結論：當直角三角形兩直角邊的和與斜邊的差為 4時,它的面積等于周長.七、勾股定理與無理數在數軸上的做法解題思路：找適宜的直角三角形,利用勾股定理求出我們需要的無理數, 然后在 數軸上表示出來.例1、怎樣運用作圖的方法,在數軸上找出表示10的點.例2、右圖是由3 6個邊長為1的小正方形拼成的,連接小正方形中的點A、B C、D、E、F得線段

12、AB BC CD D E、EF、FA,請說出這些線段中長度是有理數的是哪些？長度是無理數的是哪些？并在數軸上作出表示12、3、4、5的點.八、勾股定理與格點問題：關鍵詞：格點、三角形、勾股定理、三角形面積、三角形形狀、三角形周長等 型三：求邊長、度數：例1、如圖是由邊長為1m的正方形地磚鋪設的地面示意圖,小明沿圖中所示的折 線從A BC所走的路程為.C類型二:判斷三角形的形狀或面積、周長：例1、如圖,正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,那么網格上的 ABC是什么三角形？該三角形面積是多少？九、勾股定理判斷圖形面積關系：關鍵詞：多邊形、面積、切割法、割補法、勾股數等解題思路：通過勾股定理邊與邊

13、之間的關系判斷三邊所引出的圖形面積之間的關系例1、是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是 S1、S 2、S 3、S4,那么SI+S2 +S3+S4 =.例2、如圖,分別以直角三角形AB C三邊為直徑向外作三個半圓,其面積分別 用S1、S2、S3表示,那么不難證實 S仁S2 +S3 .(1 )如圖,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形,其面積分 別用S1、S 2、S3表示,那么S1、S2、S3之間有什么關系？(不必證實)(2) 如圖,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形,其面積分別用S1、S 2、S3表示,請你確定S1、S2、S 3之間的關系并加以證實；(3) 假設分

14、別以直角三角形A BC三邊為邊向外作三個正多邊形,其面積分別 用S1、S2、S3表示,請你猜測S1、S2、S 3之間的關系?.十：折疊旋轉問題：(數形結合與方程思想)關鍵詞：折疊、點與點重合、沿那條邊折疊、對稱等.解題思路:角、邊一設未知數列一根據勾股定理列方程一解方程.詳細解題過程：找出邊與邊之間關系、角與角之間關系(或哪條邊與哪條邊相等、 哪個角與哪個角相等、邊與邊的和相加等于哪條邊長、角與角和等于90°等),根據邊角關系適當設未知數列方程求未知數.類型一：求線段長、度數例1、如圖,折疊矩形的一邊,使點D落在B C邊的點F處,其中AB 8cm,BC 10cm,你知道FC多長嗎？例

15、2、如圖,P是正方形ABCD內一點,將ABP繞B點順時針旋轉90° ,到BCP位置,假設BP a,求PP的長.例3、如下圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AB=6,BC=8將直角邊AE折疊 使它落在斜邊AC上,折痕為A D,那么BD=.例4、如圖在等腰直角三角形 ABC中,ZB AC=9 0° ,P是厶ABC內一點,PA=1, PB=3P C*7求Z CPA的大小.A類型二：求圖形面積例1、如圖,在厶AB C中Z C=RtZ ,ZCA B= 60° , AD為Z BA C的平分線,D 到AB的距離等于5. 6cm求三角形AB C的面積是多少？十一：等面積法求線段長

16、：關鍵詞：勾股數、內心、到三角形各邊距離相等等類型一：直角三角形中利用等面積法求線段長例1、：在ABC中,C 90 ,且AB:AC 13:12. ABC的周長為30.求 ABC的各邊長和斜邊上的高.類型二:普通三角形中利用等面積法求線段長常用三角形內心的性質：三角形內心到三角形各邊距離相等例2、如下圖,在 ABC中,B 90,兩條直角邊AB 7,BC 24,在三角形內有一點P到三邊的距離都相等,求這個距離內心到三角形個邊的距 離相等十二：航行問題中求線段長關鍵詞：方位角、直角三角形、相遇、受到影響等.解題思路：準確找出方位角添加輔助線構造直角三角形構造等腰直角三角形、30°角的特殊直

17、角三角形一勾股定理求線段長例1、甲、乙兩艘輪船同時離開港口,各自沿一固定方向航行,甲船每小時航行1 6海里,乙船每小時航行12海里,它們離開港口一個半小時候相距30海里,如果知道甲船沿東北方向航行,你能知道乙船沿哪個方向航行么？十三：線與線位置關系(平行或垂直)例1、如圖,C D是厶ABC的邊A B上的高,且cD=A D.D B,求證/ ACB=90例2、：如圖,在正方形 ABCD中 ,F為DC的中點,E為CB的四等分點且1CE CB,4 求證：A F丄FE.十四:證實等式解題思路：涉及有關線段長的關系式或計算時,常作高構造直角三角形,把 線段和要求的線段集中在一個三角形中,利用勾股定理來解決

18、問題 例1、：如圖,AAE C中,AB> AC,AD是E C邊上的高,求證:AB2 -ACBC (BD-DC).CAM例3、如下圖,在ABC 中,點.求證:AP2 BC2AP2 PB PC 25.十五：勾股定理解決實際問題：添加輔助線：高線、垂線,構建直角三角形 類型一:求建筑物的高度或物體長度例1、如圖,一鐵塔為AB在離鐵塔底部140m的C處測得BED 30 ,測角儀高為1-5m,求鐵塔高度.BAC例2、一工廠的大門如下圖,一輛裝滿貨物的汽車高2.5米,寬1.6米,你覺得 汽車能通過大門嗎？這可需要你認真考慮呀！例3、路燈需安裝在12. 5米高的燈柱頂端,電工師傅取了一架長13米的梯 子,斜靠在燈柱上如圖,這時梯子的下端距燈柱底端5米.你覺得電工師傅能將路燈安上去嗎？電工師傅下來后,把梯子的底端在水平方向上向外拉了 2米,那梯 子的上端沿燈柱也下降2米嗎？說說你的看法.例4、如圖,AB=5, AO 3,BC邊上的中線AD=2貝9厶AB C的面積為十六：勾股定理中常錯題型： 類型一:思維定勢定三邊： 例1、一個直角三角形的兩條邊長分別是 5和12,求第三邊的