1、1利用定積分的定義計算下列積分:b xdx ( a b)；a【解】第一步：分割在區間a,b中插入na,b分為n個等長的小區間ab a1 個等分點：xk k，( k 1,2,L ,nn1),a，( knb a(k1,2,L ,n)，1)，將區間每個小區間的長度均為k b a，n取每個小區間的右端點Xkb ak，n(k 1,2丄,n)，第二步：求和對于函數f(x)構造和式Snnf(Xk)k 1nXkk 1n(ak 1b ak)bnn(ab ak)n(na nnb ak)k 1 nb a(n a nk) b anab a n(n 1)(b a)aK(b a)(b a (12a21)n1)n(ba)(

2、a第三步：取極限求極限lim Snnnlimf(xk)k 1k lim( bn/b aarb即得 xdxa1 x 0 e dx。【解】第一步：分割b a(b afb(b a)6b2a22 ，.2 2b a。在區間0,1中插入n 1個等分點：xkk-,(k 1,2丄，n 1),將區間0,1n分為n個等長的小區間J,k , ( k n ' n取每個小區間的右端點xk第二步：求和1,2丄，n 1)，每個小區間的長度均為k，(k 1,2,L , n)，nk由于數列 en為等比數列，其首項為1 1en，公比為q en，可知其前n項n k和為 enk 11en1 (en)n1en(1 e)第三步:

3、11 en1enSn取極限f (Xk)k 1n k1enn k 11en(1e)1en1 enen1 (1 e)en x對于函數f(x) e ,構造和式n kSnf (Xk)ken求極限lim Snnnlimf (Xk)n k 11-elim n 1n1 en(1e)X(1 e)譏光洛必達法則(1xee)lim 'x 0XxeXe=(11e)llm0" 1=(1 e)( 1)即得0 eXdx e 1。2 利用定積分的幾何意義，證明下列等式:1 02xdx 1;【證明】定積分2xdx的幾何意義是由直線y 2x , x 1及x軸圍成的三角形的面積,如圖可見即知，0 2xdx So

4、ab AB OB 2 11。證畢。1 . 1 x2dx04【證明】定積分1 1 x2dx的幾何意義是由圓弧0 F1 x2與x軸及y軸所圍成的四分之一圓形的面積，如圖可見1 1 1o#Vdx s半圓（oa）2 ：12。證畢。4 sin xdx 0 ；【證明】定積分sin xdx的幾何意義是由正弦曲線ysinx在,上的一段與x軸所圍成的圖形的面積,如圖可見圖形由兩塊全等圖形組成，sin xdx S S2，其中S1位于x軸下方，S2位于x軸上方，顯見 SS2，從而sin xdxS2 S20，證畢。 2 cosxdx22 2 cosxdx。0【證明】定積分2 cosxdx的幾何意義是由余弦曲線2yco

5、sx 在,上的一段與x軸2 2所圍成的圖形的面積，如左圖所示，為2 cosxdx2S1S2,而定積分 2cosxdx的幾何意義是由余弦曲線y cosx在0,上的一段與x軸0 2所圍成的圖形的面積，如右圖所示，為2 cosxdx S2,0由于曲線y cosx關于y軸對稱，可知 S S2，亦即S1 S2 2S?，即知 2 cosxdx 2 02cosxdx。證畢。1 11dx 01 x10(10101010101010101010111213141516171811111111111011121314151617181910時,In 210)3已知In 201 x4位小數)。dx，試用矩形法公式(

6、)，求出In 2的近似值(取n 10 ,計算時取b【解】矩形法公式()為a f(X)dXyn 1)，其中 yif(Xi)(i 0,1,L ,n 1)，而 X ( i1,L ,n 1)為區間a,b的n 1個等分點。曰是,在區間0,1 插入n 1個等分點x對于f(x)1，求出f(x)1 x11Xiin11 in(i 1丄,n 1)，(i 0,1,L ,n 1)，曰是,0.1 0.09091 0.08333 0.07692 0.07143 0.066670.06250 0.05882 0.05556 0.052630.71877 0.7188。4.證明定積分性質：bb kf (x)dx k f(x)

7、dx;【證明】在區間a,b中插入n 1個等分點:xk, ( k 1,2,L ,n1 ),每個小區間的長度aa均為對于函數F(x) kf (x)，有:kf(x)dxa F(x)dxF(x) kf(x)limnF(xQk 1b定積分 F(x)dx的定義aHm kf (xk) kk 1nlim k f (xk) kk 1F(x) kf(x)加法結合律k(a b) ka kbkHmf (xk)kk 1極限運算法則lim cf (x) climf(x)bk a f(x)dxb定積分af (x)dx的定義b1 dxabdxa【證明】在區間a,b中插入n 1個等分點:Xka b ak,n(k1,2,L,n

8、1)，每個小區間的長度均為k b a ,n對于函數f (x)1，構造和式nf (xk) kk 1即由定積分定義得dx再由上的結論bkf (x)dxanlimnb綜上得： 1dxbdx ba5.估計下列積分的值:22 1 (2 x )dx ;【解】函數f (x)2lim(bna)f(x)dx ，證畢。2x在區間1,2上，有f '(x)2知f (x)2 x在區間1,2上單調減少,于是有f(2) f (x)f (1)，亦即 22x2即得2x從而得 2(21)21(22x )dx 1(21),亦即dxbdxabdxa0恒成立,2(22x )dx54 (1 sin2 x)dx ;4【解】函數f(

9、X)1 sin2x由x4從而125得421 cos2x2x1 cos2x2J，而知231 cos2x,2 21 cos2x 1 ,，即知231 31 cos2x2 2 2亦即11 sin2從而得1(544)54(14sin2 x)dx 2(544亦即54(14sin2 x)dx-.3 1 x arctan xdx ；【解】函數f(x) xarctanx在區間,3上，有 f '(x) arctan xx1 x20恒成立,1知f (x) xarctanx在區間產3上單調增加,V3'f(x) f( 3),亦即丄 arctan 丄 x arctan xV3 arctan 73，33整理

10、得=xarcta nx6 3從而得6 3( 3 Axarctan xdx ( 3V3亦即9r：31 xarcta nxdx3【解】注意到x2xdx2 2 x e 0xdx20(2ex x)dx，函數f(x)x在區間0, 2上，有f'(x)2(x1x22)ex，得唯一駐點無不可導點,對比f(0)1e4f(2)知在區間0, 2上有e21e4，1e 4(2 0)，22于是有e2(2 0)0( ex x)dx0 2 - 亦即2e2ex xdx 2e 4。26.設f(x)及g(x)在閉區間a,b上連續，證明:b若在a,b 上, f (x)0,且 f(x)dx 0，則在a,b上 f (x)0 ；a

11、【證明】反證法：設有c,da,b，使f (x)0不成立,則由題設在a,b 上, f (x)0,不妨設 x c,d時 f (x)0，于是，由于f(x)在c, da,b上連續，知f(x)在c,d上可積,即由曲邊梯形面積定義知,df(x)dx 0，c但由于在a,b上，f(x)0,即知在a,c和d,b上，有 f (x)0，于是由定積分性質知，有cf(x)dx 0，abdf(x)dx0亦即bf(x)dx 0，db從而由已知f(x)dxacdf(x)dx f(x)dxacdc得到 f(x)dx caf(x)dxbf(x)dx 0 ，dd這與上面的f (x)dxc0相矛盾，從而假設不成立,bf(x)dx 0

12、 ；a即使命題得證成立。若在a,b 上, f (x)0,且 f(x)/0，則【證明】由定積分性質，若在 a,b 上, f(x)0,則bf(x)dx 0 ，b因此，下面只須由 f(x) 0證明 f(x)dxb應用反證法，設 f(x)dx=0，a則由的已證命題，由在a,b 上,f (x)bf(x)dx=0，則在a,b上af(x) 0，這與已知f(x) 0相矛盾，可知假設bf (x)dx=0不成立，從而命題得證。abg(x)dx，則在a,b上 f (x) g(x)。ab若在a,b上，f (x) g(x)，且 f (x)dxa【證明】設F(x) g(x) f(x)，即由題設f(x) g(x )得F(x

13、) 0 ,于是，待證命題轉換成為：b在a,b上，F(x) 0,且 f(x)dx二 0,則在a,b上 F(x) 0 ,a而這是已證命題，從而命題得證成立。7 根據定積分的性質及上題的結論比較下列各組積分的大小:1 2 1 3 0 x dx,0x dx ;【解】當0 x 1時，對不等式x 1兩端同乘x1 20，得 x32 2 x，亦即x即由定積分的性質(推論)得10xdx130xdx。1 1 0xdx ,0ln(1 x)dx ;【解】令f (x)x ln(1 x)，即有 f '(x)1易見當0 x 1時，成立f '(x)0 , 知函數f(x) x ln(1 x)在0,1上單調增加,又因 f(0)0 ln(1 0)0 ,知當 0 x 1 時，有 f(x) x ln(1 x) 0,亦即當0 x 1時，成立x ln(1 x),1 1即由定積分的性質(推論)得0xdx01n(1 x)dx。亦即當0 x 1時，ex(x 1)，即由定積分的性質（推論）1得0exdx10(x 1)dx。0 - sin xdx ,2 sin xdx。02002sin udu002s inxdx，【解】由于sin xdx x u(sinu)(du)22而當0 x 時，sinx 0，使得2 sin xdx 0，2