1、第七章第七章 習題課習題課平面點集平面點集和區域和區域多元函數多元函數的極限的極限多元函數多元函數延續的概念延續的概念極極 限限 運運 算算多元延續函數多元延續函數的性質的性質多元函數概念多元函數概念一、主要內容一、主要內容全微分全微分的運用的運用高階偏導數高階偏導數隱函數隱函數求導法那么求導法那么復合函數復合函數求導法那么求導法那么全微分方式全微分方式的不變性的不變性偏導數在偏導數在經濟上的運用經濟上的運用多元函數的極值多元函數的極值全微分全微分概念概念偏導數偏導數概念概念1.1.區域區域 設設),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數數，與與點點),(0

2、00yxP距距離離小小于于 的的點點),(yxP的的全全體體，稱稱為為點點0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，1鄰域鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 3n維空間維空間 設設 n為取定的一個自然數，我們稱為取定的一個自然數，我們稱 n元數元數組組),(21nxxx的全體為的全體為 n維空間，而每個維空間，而每個 n元數組元數組),(21nxxx稱為稱為 n維空間中的一個維空間中的一個點，數點，數 ix 稱為該點的第稱為該點的第 i個坐標個坐標. 2區域區域連通的開集稱為區域或開區域連通的開集稱為區域或開區域2.2.多元函數概念多元函數概念

3、。上上）的的圖圖形形（或或圖圖像像）（在在為為函函數數中中的的子子集集的的值值域域，并并且且稱稱稱稱為為函函數數的的定定義義域域，稱稱為為函函數數稱稱為為因因變變量量，稱稱為為自自變變量量，其其中中或或值值）函函數數，記記作作元元（實實上上的的一一個個稱稱為為定定義義在在的的任任一一映映射射到到實實數數集集的的一一個個非非空空子子集集，從從是是設設DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定義3.3.多元函數的極限多元函數的極限定定 義義 設設 函函 數數),(yxfz 的的 定定 義義 域域 為為),(,00

4、0yxPD是是其其內內點點或或邊邊界界點點， 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ，總總存存在在正正數數 ，使使得得對對于于適適合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的一一切切點點，都都有有 |),(|Ayxf成成立立，則則稱稱 A A 為為函函數數),(yxfz 當當0 xx ，0yy 時時的的極極限限， 記記為為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( Ayxf這這里里|0PP ）. 闡明：闡明：1定義中定義中 的方式是恣意的；的方式是恣意的；0PP 2二元函數的極限也叫二重極限二元函數的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx3二元函數的

5、極限運算法那么與一元函數類似二元函數的極限運算法那么與一元函數類似4.4.極限的運算極限的運算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時，時，設設5.5.多元函數的延續性多元函數的延續性定定 義義 設設 函函 數數),(yxf的的 定定 義義 域域 為為 點點 集集)(,0,00yxPD是是D的的內內點點或或邊邊界界點點且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱函函數數),(yxf在在點點0P處處連連續續. . 如如果果),(yxf在在點點),(000yxP處處不不連連續續， 則則

6、稱稱0P是是函函數數),(yxf的的間間斷斷點點. . 6.6.閉區域上延續函數的性質閉區域上延續函數的性質 在有界閉區域在有界閉區域D D上的多元延續函數，在上的多元延續函數，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值2最大值和最小值定理最大值和最小值定理1有界性定理有界性定理 有界閉區域有界閉區域D D上的多元延續函數是上的多元延續函數是D D上的上的有界函數有界函數 在有界閉區域在有界閉區域D D上的多元延續函數，假設上的多元延續函數，假設在在D D上獲得兩個不同的函數值，那么它在上獲得兩個不同的函數值，那么它在D D上上獲得介于這兩值之間的任何值至少一次獲得介于這兩值之間的任

7、何值至少一次3介值定理介值定理定定義義 設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內內有有定定義義，當當y固固定定在在0y而而x在在0 x處處有有增增量量x 時時，相相應應地地函函數數有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx處處對對 x的的偏偏導導數數，記記為為 7.7.偏導數概念偏導數概念同理可定義函數同理可定義函數),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數，的偏導數， 為為yyxfyyxfy ),()

8、,(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函數數),(yxfz 在在區區域域D內內任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導導數數都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導導數數就就是是x、y的的函函數數，它它就就稱稱為為函函數數),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導導數數， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數同理可以定義函數),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數，記作數，記作yz ，yf ，y

9、z或或),(yxfy. .高階偏導數高階偏導數),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數數),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數數為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義定義 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數導數. 的的相相對對改改變變量量函函數數對對存存在在處處偏偏導導數數在在設設函函數數xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之之比比的的相相對對改改變變量量與與自自變變量量xxx xxzzx .,兩兩點點間間的的彈彈性性到到從從對對稱稱為為函函數數xxx

10、xyxf . .偏導數在經濟上的運用偏導數在經濟上的運用: :交叉彈性交叉彈性即即.lim0zxxzxxzzEExxxzx ,0時時當當 xxxzzx 記記作作的的彈彈性性處處對對在在的的極極限限稱稱為為,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的彈性的彈性處對處對在在類似地可定義類似地可定義yyxyxf, .,表表示示需需求求對對收收入入的的彈彈性性需需求求對對價價格格的的彈彈性性表表示示則則表表示示消消費費者者收收入入表表示示價價格格表表示示需需求求量量中中如如果果特特別別地地yxyxzyxfz 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全

11、增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關，有關，22)()(yx ，則稱函數則稱函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數稱為函數),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分，記為全微分，記為dz，即，即 dz=yBxA .10.10.全微分概念全微分概念多元函數延續、可導、可微的關系多元函數延續、可導、可微的關系函數可微函數可微函數延續函數延續偏導數延續偏導數延續函數可導函數可導11.11.全微分的運用全微分的運用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .)

12、,(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當當,yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計.12.12.復合函數求導法那么復合函數求導法那么定理如果函數定理如果函數)(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導，函數導，函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續偏導具有連續偏導數，則復合函數數，則復合函數)(),(ttfz 在對應點在對應點t可可導，且其導數可用下列公式計算：導，且其導數可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為全導數稱為全導數.dtdz 如如果果),(yxu 及及)

13、,(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數數，且且函函數數),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續續偏偏導導數數，則則復復合合函函數數),(),(yxyxfz 在在對對應應點點),(yx的的兩兩個個偏偏導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .13.13.全微分方式不變性全微分方式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數或中間的函數或中間變量變量 的函數，它的全微分方式是的函數，它的全微分方式是一樣的一樣的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隱函數存在定理隱函數

14、存在定理 1 1 設函數設函數),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內具有連續的偏導數，且某一鄰域內具有連續的偏導數，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數導數的函數)(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數的求導公式隱函數的求導公式14.14.隱函數的求導法那么隱函數的求導法那么隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數設函數),(zyxF在點在點,(0 xP),

15、00zy的某一鄰域內有連續的偏導數，且的某一鄰域內有連續的偏導數，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內恒能唯一確的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數定一個單值連續且具有連續偏導數的函數),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF15.15.多元函數的極值多元函數的極值 設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內內異異于于),

16、(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數數在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數數在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統稱為極值極大值、極小值統稱為極值.使函數取得極值的點稱為極值點使函數取得極值的點稱為極值點.定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數，且具有偏導數，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數必處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：然為零：

17、0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數獲得極值的條件多元函數獲得極值的條件 定義一階偏導數同時為零的點，均稱為多元定義一階偏導數同時為零的點，均稱為多元函數的駐點函數的駐點. .極值點極值點留意留意駐點駐點定定理理 2 2（充充分分條條件件）設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內內連連續續，有有一一階階及及二二階階連連續續偏偏導導數數，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：

18、處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時有極值，時有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值. .求求函函數數),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數數解解，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數數的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.拉拉格格朗朗

19、日日乘乘數數法法 要要找找函函數數),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，先先構構造造函函數數),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數數，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.條件極值：對自變量有附加條件的極值條件極值：對自變量有附加條件的極值二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求求極極限限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則

20、yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故1. 討論二重極限討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式時, 以下算法能否正確?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點的情況. 時例如xxy21lim2230

21、xxxx原式此時極限為 1 .第二步 未思索分母變化的一切情況, , 1,111xyxxy時例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的恣意性,時當4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 由于都不能保證自變量在定義域內以恣意方式趨于原點 .特別要留意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限, 但要留意在定義域內 r , 的變化應該是恣意的. 同時還可看到, 此題極限實踐上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yx

22、yx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故 f 在 (0,0) 延續;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知在點(0,0) 處延續且偏導數存在 , 但不可微 . 2. 證明證明:而)0 , 0(f,00時，當yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在點(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx例例1. 知知求出 的表達式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2

23、)()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下與解法1 一樣., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,那么xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數設設)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .24

24、22114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一階階連連續續偏偏導導數數設設 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯顯然然,dxdz求求得得的的導導數數兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試

25、求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設函數設函數 的函數的函數都看成是都看成是以及以及將方程組的變元將方程組的變元xzyu,得得求導求導方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入例例2. 設設其中 f 與F分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 2

26、3FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導數或偏導數, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(2019 考研)解法解法2 方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1例例3.3.設設),(zyxfu 有二階延續偏導數, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解:xu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1