1、數值計算方法復習試題有(2n 1 )次代數精度、填空題:答案:14 154115 40156 152、已知f(1)31f (x)dx1.0,f(2)1.2,f(3) 1.3,則用辛普生(辛卜生)公式計算求得,用三點式求得f (1)1、,則A的LU分解為3、MD 1, f(2) 2, f(3) 1 ,則過這三點的二次插值多項式中x2的系數為拉格朗日插值多項式為11答案：-1L2(x)(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) (x 1)(x 2),224、近似值x* 0.231關于真值x 0.229有(2 )位有效數字;5、設f(x)可微，求方程x f(x)的牛頓迭代格式是()xn 1 xn

2、答案xn f(xn)1 f (xn)6、對 f(x)x3 x 1,差商 f0,1,2,3 ( 1 ),f0,1,2,3,4 (。)；7、計算方法主要研究( 截斷)誤差和( 舍入)誤差;9、求解一階常微分方程初值問題8、用二分法求非線性方程 f (x)=0在區間(a, b)內的根時，二分n次后的誤差限為y = f (x, y) , y(x°)=y0的改進的歐拉公式為h,yn 1 ynf(Xn,yn) f(4 1, Yn 1)、(2)；10、已知f(1) =2, f(2) =3, f(4)=,則二次Newton插值多項式中x2系數為()；11、1兩點式高斯型求積公式0 f(x)dx/ 0

3、=(1. 3 1. 3 1f(x)dx -f() f( )22V32v,3)，代數精度為(5 )；12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均 不為零)。346y 10 - 2 313、為了使計算x 1 (x 1) (x 1)的乘除法次數盡量地少，應將該表1y 10 (3 (4 6t)t)t,t達式改寫為x 1 一為了減少舍入誤差，應將表達式2V2001 71999 改寫為J2001 J1999 14、用二分法求方程f(x) x3 x 1 0在區間0,1內的根，進行一步后根的所在區間為，1 ,進行兩步后根的所在區間為,。xdx15、計算積分0.5、，取4位有

4、效數字。用梯形公式計算求得的近似值為 ，用辛 卜生公式計算求得的近似值為 一,梯形公式的代數精度為，辛卜生公式的代數精度為f。3x1 5x21Q (1 5x2k)/316、求解方程組0.2x1 4x2 0斯高斯一塞德爾迭代格式為一41)婿1)/20 _ ,該迭1代格式的迭代矩陣的譜半徑(M)=12_017、設 f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,則 l1(x) l1(x) x(x 2)一 f(x)的二次牛頓插值多項式為_n2(x) 16x 7x(x 1)_。bnf (x)dxAkf (xk)18、求積公式ak 0的代數精度以(高斯型)求積公式為最高，具19、已知 f (1)=1

5、, f (3)=5, f5(5)=-3,用辛普生求積公式求1f (x)dx=(1220、設 f (1)=1 ,f(2)=2 , f(3)=0 ,用三點式求f (1)()21、如果用二分法求方程0在區間1，2內的根精確到三位小數，需對分(10次。22、S(x)已知3X2(X1)3a(x 1)2 b(x1) c 13是三次樣條函數，則a=( 3b=(c=(23、10(X),11(X),ln(X)是以整數點X0,X1,xn為節點的Lagrange插值基函數，則nlk(x)k 0Xklj (Xk)0Xj ),當n4(xkk 03)lk(x)f (X, y)0y n 1yn hf(Xn,yn)24、解初

6、值問題y(x。)Vo的改進歐拉法h _0yn - f(Xn, yn)f ( Xn 1, yn 12)是2 階方法。25、區間a,b上的三次樣條插值函數 S(X)在a,b上具有直到2 階的連續導數。26、變函數 f (x) 7x 1Mx ( x1 )的形式使計算結果較精27、若用二分法求方程0在區間1,2內的根，要求精確到第3位小數，則需要對分 10次。28、2x3,3X02axa= 3 , b= -3bxc, 1 X 2是3次樣條函數，則29、若用復化梯形公式計算0exdx6,要求誤差不超過10 ,利用余項公式估計，至少用477個求積節點。30方程組x1 1.6x20.4x1X22 的 Gau

7、ss-Seidel迭代公式kXk 乂231、設32、設矩陣1.6x0.4X1,k0,1,1.6,迭代矩陣為0.64,此迭代法是否收斂收斂33、若 f(x)3x434、數值積分公式35、線性方程組36、設矩陣、單項選擇題:，則 1Al2x 1 ,則差商 f 2,4,8,16,3211f (x)dx2f( 1) 8f(0) 93的最小二乘解為分解為A LU ,則U1、Jacobi迭代法解方程組Ax b的必要條件A的各階順序主子式不為零C.aii0,i1,2,n2、設則（川為（C ）C. 7（1）的代數精度為2(A)321410033210023、三點的高斯求積公式的代數精度為(B )。A.2B.

8、5 C.3 D .44、求解線卜t方程組取力的LU分解法中，A須滿足的條件是(B )。A.對稱陣B.正定矩陣C.任意陣 D .各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是(A ) 產生的誤差。A.只取有限位數 B.模型準確值與用數值方法求得的準確值C.觀察與測量D .數學模型準確值與實際值6、是冗的有(B ) 位有效數字的近似值。A.6B. 5 C . 4 D .77、用1 + x近似表示ex所產生的誤差是(C ) 誤差。A.模型 B .觀測C.截斷 D .舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A )。A控制舍入誤差B .減小方法誤差C.防止計算時溢出D .簡化計算x39、用1 + 3

9、近似表示*1 x所產生的誤差是(D )誤差。A.舍入 B .觀測 C .模型 D.截斷10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效數字。A . 5 B . 6C. 7 D . 811、設f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數為(A )A.-0. 5 B .0.5 C.2 D .-212、三點的高斯型求積公式的代數精度為(C )。A. 3B . 4 C.5 D . 213、( D )的3位有效數字是X 102。(A) X 103 (B) X10- 2 (C)(D) X 10-114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x

10、)=0表示成x= (x),則f(x)=0的根是(B)(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(B) y=x與y= (x)交點的橫坐標15、16、17、(C) y=x與x軸的交點的橫坐標用列主元消去法解線性方程組(A) -4(B) 3 (C) 4拉格朗日插值多項式的余項是(A) f(x,x0,x1,x2,Rn (x)f(x)3x1(D) y=xx14x1x2 4x3 12x2 9x33x2 x3與y= (x)的交點01,第1次消元，選擇主元為(B)(C)f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f(x)(D)等距二點求導公式f(x1) f(x0)(A)x1Xo(D),牛頓插值多項式的余項是(C ),x

11、n)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),f (n 1)()Pn(x) (-2(n 1)!,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),f (n 1)()Pn(X) n 1(X)(n 1)!f (x1)( A )。(B)f(X1) f(X0)(C)f(X0) f(X1)(D)f(X1) f(X0)Xox1Xox1x1 Xo18、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A ),則它的 解數列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f(x) 0(C)f(x0)f(x) 0(D

12、) f (xj f (x) 019、為求方程x3x21=0在區間口內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相 應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A),，迭代公式:Xk1 x 1(B)1 4，迭代公式：Xk 1 x1 4 xk(C)1x2,迭代公式:xk 121/3(1 Xk)2x31 x2,迭代公式:Xk 1 12 xk(D)X2 xk1y f(x, y)20、求解初值問題y(x ) y歐拉法的局部截斷誤差是();改進歐拉法的局部截斷誤差是()；四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是(A )(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(k 1)21、解方程組Ax b的簡單迭代格式x(1)

13、(A) 1, (2)(B) 1 ,(3)bf(x)dx (b22、在牛頓-柯特斯求積公式：a穩定性不能保證，所以實際應用中，當(D)O(h5)(k)Bx g收斂的充要條件是()。(A) 1, (4)(B) 1na) C(n)f(xi)(n)1 0中，當系數Ci是負值時，公式的)時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(1) n 8,(2) n 7,(3) n 10,(4) n 6,23、有下列數表x012f(x)-2-12所確定的插值多項式的次數是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次24、若用二階中點公式yn 1yn一一 h h 一hf(xn, ynf(xn,yn)22求解初值問題y

14、2yly(0) 1 ,試問為保證該公式名對穩定，步長h的取值范圍為( 0 h 1, (2)0 h 1, ( 3)0 h 1, (4)0 h 125、取向1.732計算x(而1)4 ,下列方法中哪種最好(A) 28 1673.(B) (4 2圾2；(3xS(x)326、已知2(x 1)3 a(x 2) b_16_16_C (4 273)2 .電 1)4O0x22 x 4是三次樣條函數，則 a，b的值為()(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。27、由下列數表進行 Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數是()X123f(xi)-12。(C)( D)(B)4(A)5

15、;3;28、形如ba f(x)dxAif (Xi)A2f (X2)A3f (X3)的高斯（Gauss）型求積公式的代數精度為(A)9;(B)7C)5;(D)3。29、計算J3的Newton迭代格式為（xk 1(A)xk 32xk30、用二分法求方程次數至少為（）(A)10 ;(B)12xk 1；(B)32x 4x；(C)8100在區間xk(C)Xk ； (D)xk1,2內的實根,要求誤差限為10(D)9。31、經典的四階龍格一庫塔公式的局部截斷誤差為(A)(B)_2O(h )；_5(C) O(h );(D)O(h3)。32、設li（x）是以xkk（k 0,1,L為節點的Lagrange插值基函

16、數，則9kli(k)k 0(A)(D) 1。33、5個節點白牛頓-柯特斯求積公式，至少具有次代數精度(A)5；(B)4(C)6；(D)334、已知(A)6, 6;S(x)35、已知方程(B)62(x1)3a(x 2)4是三次樣條函數，則a,b的值為（8；(C)8，6;(D)8, 8。x3 2x0在x 2附近有根，下列迭代格式中在x02不收斂的是(A) xk 1 V2xk5 ；xk 136、由下列數據(B)2 i (x3 xkxk(D)2x3x01234f(x)1243-55、矩陣A=X1(k1)1 (1142x2k)x2k1)-(18 4Xik 1)x3k1)1 -(22 52x；k 1)2x

17、3k)確定的唯一插值多項式的次數為()(A) 4 ;(B)2;(C)1;(D)3。37、5個節點的Gauss型求積公式的最高代數精度為()(A)8 ;(B)9 ;(C)10;(D)11。三、是非題(認為正確的在后面的括弧中打，否則打 )1、已知觀察值(Xi，yi)(i0，3、(X1 X0)(X1 X2)表示在節點X1的二次(拉格朗日)插值基函數。()4、牛頓插值多項式的優點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。3112 5 3 25具有嚴格對角占優,四、計算題:4X1 2x2 x3 11X1 4x2 2x3 18 1、用高斯-塞德爾方法解方程組2X1 X2 5X3 22,取x(

18、0)(0,0,0)T，迭代四次(要 求按五位有效數字計算)。，m)，用最小二乘法求n次擬合多項式pn(x)時,Pn(x)的次數n可以任意取。()2X2、用1- 2近似表示cosx產生舍入誤差。()(x X0 )( X X2 )k(k)X1(k)X2(k)X3000012341f(x)dx A f(2、求A、B使求積公式11. 11) f(1) Bf(-)”二)的/q 臺.沖白22的代數精度盡量高，并求其代數精度；利用此公式求2-dx 1 x(保留四位小數)。19，B1f(x)dx求積公式為119f( 1)f(1)89f(12)1f(-)當f(x) x3時，公式顯然精確成立；當f(x)1右=4

19、。所以代，、,2答案：f(x) 1,x,x是精確成立，即2A 2B2A 1B2數精度為3。1 tdx x2x 3 1111dt 1t 391 311 38191/2 311 2 3970.69286140p3(x),并求 f(2)3、已知xi1345f (xj2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f (x)的三次插值多項式的近似值(保留四位小數)2(x3)(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x5)(13)(14)(1 5)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差12

20、36245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f(2)P3(2)5.54、取步長h 0.2,用預估-校正法解常微分方程初值問題y 2x 3y y(0) 1(0 x 1)yn 1yn 0.2 (2xn 3yn)答案.解，yn1yn0.1( 2xn3yn)(2xn13yn1)即yn 10.52xn 1.78yn 0.04n012345xn0yn15、已知xi-2-1012f (xi)42135求f(x)的二次擬合曲線P2(x),并求f (0)的近似值答案:解:ixiyi2 xi3 xi4 xixi y2xi yi0-

21、244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規方程組為10311 2P2（x） x x710145ao 10a2 1510al 310ao 34 a24110311ao -,a1 一色一71014311p2（x）而 7x_3f （0） P2（0）-6、已知sinx區間,的函數表xi yi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節點才能使誤差最小并求該近似值。答案：解： 應選三個節點，使誤差M3|R2（x）|3| 3（x）|3!盡量小，即應使| 3(x)|盡量小，最靠近插值點的三個節點滿足上述要求。即取節點

22、0.5,0.607最好，實際計算結果sin0.63891 0.596274,sin 0.63891 0.5962740.6)(0.63891 0.7)1a (0.63891 0.5)(0.63891 9-40.55032 107、構造求解方程e10x 2 。的根的迭代格式xn 1(xn),n0,12，討論其收斂性，并將根求出來,I xn 1xn I10 4o答案：解：令f(x)10x2,f(0)2f (1) 10 e且 f (x) ex 10f(x) 0 在(0,1)內有唯一實根.將方程f(x) 0變形為x 110(2則當x (0,1)時(x)-(2 ex)| (x)|10，e10故迭代格式1

23、 x_xn 1(2 en)6*且滿足 |x7 x6 1 0.000 000 95 10 .所以 X10n0123xn127 872424 785877 325n4567xn595 993517 340525 950525 008收斂。取x0 0.5,計算結果列表如下:0.090 525 008Xi 2x2 3x3142x1 5x2 2x3 188、利用矩陣的LU分解法解方程組3x1 X2 5x3 2011 23答案：解:A LU 211424令 Ly b得 y (14, 10, 72)t, Ux y 得 x (1,2,3)T .3x1 2x2 10x3 1510x1 4x2 x3 59、對方程

24、組2x1 10x2 4x3 8(1)試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由;(2)取初值x(0)(0,0,0)T ,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k 1)x(k) |10 3。解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優10x1 4x2 x38152x1 10x2 4x33x1 2x2 10x3故對應的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為(k x11)(k x21)(k x31)1101101102x(k3x(k1)1)(k)4x22x2k 1)4x3k) 8)15)Mx(0) (0,0,0)T,經7步迭代可得:x* x(7) (0.999 991 459, 0.999 950

25、 326, 1.000 010)T10、已知下列實驗數據xif(Xi)試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數據。解：當 0<x<1 時，f (x) ex,則1f (x) e ,且0e dx有一位整數.要求近似值有5位有效數字，只須誤差R1(n)(f)*f()R1(n)(f)即可，解得Ri(n) (ex)12n212n210譚10267.30877所以 n 68,因此至少需將0,1 68等份。x1x21211、用列主元素消元法求解方程組x311o12解:1211r1r21112 一。5r 2r3 一151212113回代得12、取節點X00, X1解:1513525158579513

26、5151525795851213515513x30. 5, X2P2(x),并估計誤差。P2(x)ef(x) e x,f 又7955131,x26, x11,求函數(x 0.5)(x 1)(0 0.5)(0 1)2(x(xf(x)0.50)(x在區間0,1上的二次插值多項式(x0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)0.5)(1 0)(1 0.5)0 510.5)( x 1) 4e x(x 1) 2e 1x(x 0.5)(x) e X,M 3max | f (x) | 1x 0,1故截斷誤差|R2(x)| |e X H(X)|13!1x(x 0.5)( x 1)|o1 e Xk1.5Xk 1

27、(k0,1,2,)13、用歐拉方法求y(x)t2dt在點x O.5,1.0,1.5, 2.0處的近似值。X解：y(x) 0et20)記 f (x,y)X2,Mh0.5X00,Xi0.5,X21.0, X3 1.5, X42.0x2y ey(0) 0則由歐拉公式可得yny。y(0.5)yiy(i.5)yn0.5,y3hf(Xn,yn)y(i.0)y21.07334, y(2.0)n 0,1,2,30.88940y4 1.12604X ,14、給定方程 f(X) (X 1)e11）分析該方程存在幾個根;2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數字;3）說明所用的迭代格式是收斂的解：1）將方程(X 1

28、)eX(1)改寫為作函數f1（X）1f2(x) eX的圖形(略)（2）有唯一根*X (1,2) 0X03)k123456789xk(x) 1 e x (x) e當 x 1,2時，(x) (2), (1)1,2,且1I (x)| e 1 1所以迭代格式xk 1(xk) (k 0,1,2,)對任意 X0 1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求J3的近似值。取xo=,計算三次，保留五位小數。解：后是f(x) x2 3 0的正根，f(x)2x,牛頓迭代公式為xn3xn 1 一 (n 0,1,2,)22xnn123xnx2 3xn 1 xn -Z 2xn ,即取xo=,列表如下:16、已知f (-1)=

29、2 , f (1)=3 , f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多項式L2(x)及f (1 , 5)的近似值，取五位小數。(x 1)(x 2) c (x 1)(x 2) (x 1)(x 1)L2 (x) 234解：(1 1)( 1 2)(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)234-(x1)(x 2)-(x1)(x 2)-(x1)(x 1)323.1f(1.5)L2(1.5)0.04167241 e'dx17、n=3,用復合梯形公式求0e d的近似值(取四位小數)，并求誤差估計1 x _100_1 32 31_exdx T3e0 2(e e ) e1 1.7342解：02 3L Vf (

30、x) ex, f (x) ex, 0 x 1 時，| f (x) | e|R| |exT3|12 321080.0250.05至少有兩位有效數字。301xi513 1X218、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組取X(0)=(0,0,0) T,列表計算三次，保留三位小數。解：Gauss-Seidel迭代格式為:x(k1)1(x3k)5)3x2k 1)；( x(k 1)x3k) 1)x3k 1)，x1(k 1)x2k 1)8)4系數矩陣11 4嚴格對角占優，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0) T,列表計算如下：kxik)x2k)x3k)123y x y19、

31、用預估一校正法求解y(0) 1 (0 x 1), h=0o 2,取兩位小數。解：預估一校正公式為yn 1yn1(k1k2)k1 hf(xn,yn)k2 hf(xn h,ynk1)n 0,1,2,n12345xn0,123,4,代入上式得:其中 f (x, y) x y, y01 , h=, nyn（8分）用最小二乘法求形如 y a bx2的經驗公式擬合以下數據:x19253038小20、解:AT1192解方程組1252AT AC13121238Ty19.032.3 49.0 73.3其中T 4ATA 339133913529603ATy173.6179980.7C 解得：0.92555770.

32、0501025 所以0.9255577b 0.050102521、（15分）用n 8的復化梯形公式1、一，一 e xdx .（或復化 Simpson公式）計算o時，試用余項估計其誤差。用n 8的復化梯形公式（或復化Simpson 公式)計算出該積分的近似值。解:RTfT(8) hf(a)72f(xk)k 11102 e 12 8210.001302 768f(b)span1, x222、（15分）方程x3對應迭彳t格式xn 11xn 1x對應迭代格式3 x-1xVxn1 ； (2)11xn ; (3)x x3 1對應3迭代格式xn1 xn。判斷迭代格式在x01.5的收斂性，選一種收斂格式計算

33、x1.5附近的根,11 2 (0.8824969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207) 0.36787947 0.6329434精確到小數點后第三位。21) 3（1.5）0.18 1,故收斂;(x)(2)2x21 x(1.5)0.17 1,故收斂;選擇（1）：xo 1.5 x1 1.3572 x2(3)(x) 3x2 ,(1.5)3 1.51 ,故發散。1.3309 X3 1.3259 x4 1.3249 ) )x5 1.32476x6 1.3247223、（8分）已知方程組AX f ,其中24 3024(1)列出Jacobi

34、迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2)求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。娟。1(24 3x2k)4x"1(30 3個 x3k)4x3k1)1(24 x2k)4解：Jacobi 迭代法：k 01,2,3,x1(k1)-(24 3x2k)4x2k1)1(30 3x1(k1)x3k)4k0,123,Gauss-Seidel 迭代法:_ 1BjD (L U)034 03403403400.79056924、1、（15分）取步長h0.1 ,求解初值問題dy d y 1dxy（0） 1用改進的歐拉法求y（0）的值；用經典的四階龍格一庫塔法求 y（0.1）的值。y：0)iynhf

35、(Xn,yn) 0.9yn 0.1h(0)yn 1yn - f(Xn, yn) f 仰 1, y：)0.905yn 0.095解：改進的歐拉法：2所以 y(0.i)yi 1；經典的四階龍格一庫塔法：hyn 1 ynk1 2 k2 2k3k46k1f (Xn, Yn)h h. xk2f (Xn -,yn - k1)hhk3f (xn , ynk2)22k4f (Xn h, yn hk3)kk2 k3 k4 0 所以 y(0.1)y1125、數值積分公式形如10Xf(X)dX S(x)Af(0)BfCf (0) Df (1)試確定參數A, B,C, D使公式代數精度盡量高；(2)設f(x) C40

36、,1,推導余項公式R(X)10Xf(X)dX S(X),并估計誤差。2 3 . A解：將f(x) 1,X,X ,X分布代入公式得：,B 30,D120山(為)f(Xi)構造 Hermite 插值多項式 H3(x)滿足 H3(Xi)f (Xi) i 0,1 其中 x00,x1 1則有:1o xH3( x)dx S(x)£f(4)()f(X) H3(X)22X (X 1)R(x)110Xf(X) s(x)dx0f(4)(4!)x3(x1)2 dx(4)1x (x 1) dx4!026、用二步法產()4! 60f(4)()1440yn 10yn求解常微分方程的初值問題h f(Xn,yn)

37、(1)f(Xn1,yn 1)y f (x, y)y(X0)y。時，如何選擇參數0, 1,使方法階數盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的解:Rn,hy(xn 1) yn 1y(xn) hy (xn)0 y(xn)1(y(xn) hy (xn)h2萬h22?yy (xn) h-y (xn)3!(xn )(1hy(xn) (1)(y(4) hy (Xn)h22!yh3,、y (xn)3!h3 (4)(xn)y(xn)3!02 Jh(2l)y(Xn)h(1 11)y (xn)1所以2)y (Xn)3 ,1h(6三-)y (%) O(h4)10321主項：12(Xn)該方法是二階的。27、

38、(10 分)已知數值積分公式為:f(x)dx 畀 f(h)2 - ' _-'h f (0) f (h)，試確定積分公式中的參數,使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次數。解：f(x) 1顯然精確成立;f(x)x時,hxdx0202h h 1 1；f(x)2x時,hx2dx0h33MOh2h20 2h1 2 h2f(x)3x時,hx3dx0上0h3112h203h2f(x)4x時,hx4dx0h rc -0 2h4112h204h36 ;所以,其代數精確度為3。28、(8分)已知求Ja(a 0)的迭代公式為:1 , xk 12(xk-) xkx。0 k 0,1,2證明：又一

39、切k 12且序列xk是單調遞減的,從而迭代過程收斂。證明:1/xk 1(xk2馬Xk故對一切k 1,2,Xkxk 1又xk2(11)程收斂。29、(9分)數值求積公式30 f (x)dx多少解：是。因為f (x)在基點30 P(x)dx30、(6分)寫出求方程xn 1(6分)xnsinaxk xk所以Xk 1凱1、2處的插值多項式為a k 0,1,2xk,即序列xk是單調遞減有下界，從而迭代過f(2)是否為插值型求積公式為什么其代數精度是P(x)f(2)3f f (2)2。其代數精度為1。4x31、(12 分)以 100,121,144COSX 1在區間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂

40、性。1 cos xnn=0,1,2, -對任意白初值x0 0,1,迭代公式都收斂。為插值節點，用插值法計算 *115的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表:,11510+(115-100)(115-100)(115-121)f''' xf'''3!1 35100 268115 100 115 121 11515 6 29 0.0016332、（10分）用復化Simpson公式計算積分Si1440.94614588S2122f4fS2115 S2S10.39310-5S2或利用余項:7 2!sin x9 4!3!5!(4)f

41、x2880n4f (4)2880 5n40.533、（10分）用Gauss列主元消去法解方程組:1 sin x7!Xi4x22x3243xiX25x3342x1 6x2 x3 27dx5的近似值，要求誤差限為0.5 10 。10.946086930.946086939!10 5n 2, IS20.0 0000x 2.0000,3.0000,5.000034、（8分）求方程組3 6 x1AT Ax ATb6 14 x2XiX2521 的最小二乘解。81.3333x 202.0000若用Householder變換，貝U:A,b1.73205003.46410 4.618800.366031.520

42、731.366032.520731.732053.464104.61880最小二乘解:1.414212.828430.8165035、（8分）已知常微分方程的初值問題：dy. dx x y, 1 x 1.2y（1） 2用改進的Euler方法計算y（12）的近似值，取步長h 02k1f x0,y00.5k2 fx1,y0hk11.12 0.2 0.50.5238095hy1y0 - k1k22 0.10.50.52380952.1071429236、（6分）構造代數精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數精度：11° xf x dx A0 f - A1f 1取f（x）=1,x ,令公

43、式準確成立，得:AdA111AAi AAd A1Ad2,233,A1f(x)=x 2時，公式左右 =1/4; f(x)=x 3時，公式左=1/5, 公式右=5/24公式的代數精度=2A37、(15分)已知方程組 Ax b ,其中(1)寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)判斷(1)中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快;解：(1) Jacobi迭代法的分量形式(k 1)(k)(k)x；1 2x22x3x2k 1)2 x(k) x3k) ;k 0,1,2,Lx3k1)3 2x；k)2x2k)Gauss-Seidel迭代法的分量形式(k 1)x1x(k 1) x2(k 1)1 2x2k)2x1(k1)3 2x1(k 1)2x(k) 3x3k) ；k2 x2k 1)0,1,2,L(2) Jacobi迭代法的迭代矩陣