1、微專題之平面向量基本定理系數的等和線【適用題型】在平面向量基本定理的表達式中，研究兩系數的和差及線性表達式的范圍與最值。【基本定理】（一）平面向量共線定理已知 OAOBOC ，若1，則 A, B, C 三點共線；反之亦然（二）等和線平面內一組基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OPOAOB( ,R) ，若點 P 在直線 AB 上或者在平行于 AB 的直線上，則k （定值），反之也成立，我們把直線AB 以及與直線AB 平行的直線稱為等和線。（ 1）當等和線恰為直線AB 時， k 1 ；B1（ 2）當等和線在 O 點和直線 AB 之間時， k(0,1) ；BPlQ（ 3）當直線 AB 在點 O

2、 和等和線之間時，k(1,) ；（ 4）當等和線過 O 點時， k 0 ；OAA1（ 5）若兩等和線關于O 點對稱，則定值k 互為相反數；【解題步驟及說明】1、 確定等值線為1 的線； 22、 平移（旋轉或伸縮）該線，結合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、 從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達式中的三個向量的起點務必一致，若不一致，本著少數服從多數的原則，優先平移固定的向量；若需要研究的兩系數的線性關系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數式為基底的系數和。【典型例題】l例 1、給定兩個長度為1 的平面向量OA 和 OB ，它們的夾角

3、C1B為 1200 ，如圖所示，點 C 在以 O 為圓心的圓弧AB 上變動。C若 OC xOAyOB ，其中 x, yR ，則 xy 的最大值是 _ 。OA跟蹤練習：已知O 為ABC 的外心，若 cos ABC1ABAC ，則的最大值為， AO3_1例 2、在平面直角坐標系中，O 為坐標原點，兩定點A, B 滿足 | OA | | OB |OA OB2 ，則點集 P | OPOAOB,| 1, ,R所表示的區域面積為_.例 3、如圖，在扇形 OAB 中，AOB 600，C為弧AB 上不與 A, B 重合的一個動點，OC xOA yOB ，若 u xy(0) 存在最大值，則的取值范圍為 _.BC

4、OA跟蹤練習：在正方形ABCD 中， E 為 BC 中點， P 為以 AB 為直徑的半圓弧上任意一點，設 AExADy AP ，則 2xy 的最小值為 _.【強化訓練】1、在正六邊形ABCDEF 中， P 是三角形 CDE 內（包括邊界）的動點，設APxABy AF ，則 xy的取值范圍 _.2、如圖，在平行四邊形ABCD 中， M , N 為 CD 邊的三等份點，S 為 AM , BN 的交點， P 為邊 AB 上的一動點， Q 為SMN 內一點（含邊界） ，若 PQx AMyBN ，則 xy 的取值范圍 _.DNMCQSAPB3、設 D,E 分別是ABC的邊 AB ， BC 上的點，AD1

5、 AB ， BE 2 BC ，若 DE1AB2 AC232（1 , 2 為實數），則12 的值為 _.4、梯形ABCD 中， ADAB， ADDC1， AB3， P 為三角形BCD 內一點（包括邊界），APxABy AD ，則x y 的取值范圍 _.、已知|OA |1,| OB |3，OA OB0，點C在AOB內，且AOC300，設OC mOA nOB，5則 m 的值為 _.n6 、在正方形ABCD 中， E 為 AB 中點， P 為以 A 為圓心，AB 為半徑的圓弧上的任意一點，設AC xDEy AP ，則 x y 的最小值為 _.7、已知 |OM | |ON | 1， OPxOM yON ( x, y 為實數）。若PMN 為以 M 為直角頂點的直角三角形，則 xy取值的集合為 _。、平面內有三個向量 OA, OB, OC，其中 OA,OB 夾角為1200 ，OA,OC 的夾角為300 ，且 |OA| |OB| 1，8|OC| 23，若 OC mOAnOB ，則 m n 的值為 _ 。9、如圖， A,B,C 是圓 O上的三點， CO 的延長線與線段 BA 的延長線交于圓 O外的點 D ，若OCmOAnOB，則 mn 的取值范圍為 _。DBOAC10、已知O為ABC的外心，若A(0, 0),B (2, 0