1、平面向量數量積運算的解題方法與策略平面向量數量積運算一直是高考熱點內容，它在處理線段長度、垂直等問題的方式方法上尤為有突出的表現，而正確理解數量積的定義和幾何意義是求解的關鍵，同時平面向量數 量積的運算結果是實數而不是向量，因此要注意數量積運算和實數運算律的差異，本文僅舉數例談談求解向量數量積運算的方法和策略。1. 利用數量積運算公式求解在數量積運算律中，有兩個形似實數的完全平方和(差)公式在解題中的應用較為廣泛，即(a+ b)2 = a'+ 2 a b+b2,(a b)2 = a2 2 a b+b2上述兩公式以及(a+ b)( a b) = a2 b2這一類似于實數平方差的公式在解題

2、過程中 可以直接應用.例 1 已知| a |=2,| b |=5, a b=3，求| a+ b |,| a b | .解析：.T a+ b |2=( a+ b) 2 = a2 + 2 a b+ b2 = 2 2 + 2 x( 3 )+ 5 2 = 2 3 2 2 2 2 2'| a+ b |= 23 ,：(| a b |) =( a b) = a 2a b+ b = 2 2x( 3)2X5 = 35,例2 已知| 解析：(| s 0 + | b | 16a |= 8, a+ b | )1 b | = 10,2 =( a + b)I a+ b | = 16,求a與b的夾角0 (精確到1&

3、#176;).=a + 2a b+ b =| a |+ 2 | a| b |2=8XIOcos20+1O,co2340 '055例 3 已知 a=( 3, 4), b=( 4, 3),求 x, y 的值使(xa+yb)丄 a,且 | xa+yb | =1.分析：這里兩個條件互相制約，注意體現方程組思想解：由 a=( 3, 4), b=( 4, 3),有 xa+yb=(3 x+4y,4 x+3y) 又(xa+yb)丄 a：= (xa+yb) a=O ：= 3(3x+4y)+4(4 x+3y)=0即 25x+24y =O一 . . 2 2 2又 | xa+yb | =1= | xa+yb

4、| =1 = (3 x+4y) +(4 x+3y) =1 整理得：25x2 + 48xy+25y2 =1即卩 x(25 x+24y)+24xy+25y2 =1由有24xy+25y =1將變形代入可得:y=± 5再代回得:24x = x 35 和 |5|廠一 7 y24352. 利用定義直接求解.例4若向量a,b滿足a = b = 2 , a,b的夾角為45°,則a 1 + a b =0 解析：根據數量積的定義得aavb=2 2 2 2cos45 =4 2.2，例5設向量2te1 - 7e2與向量e ' te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍TWSTA解析：(2g7e

5、2)G te>) ： 0，故 2t2 15t 7：0,1解之-7 : t2.14另有 2t =，,7 = t，解之 t = 14 ,2-t"7,出2(2 2.141), 丿-一 2例6如圖，已知正六邊形RP2F3巳RF6，下列向量的數量積中最大的是（）RP2RP3(A)PP2PP4RP2 RP5(C)(B)(D)P1P2，RP6選A.3.利用數量積的定義、性質、運算律求解解析：選項中均有向量PP2 ,根據數量積的幾何意義，要找P巳，P R = 3, 4, 5, 6）最大值，只需求PP （i = 3,4,5,6）在PP2方向上的投影最大即可，畫圖可知只有PR在PP2方向上的投影最

6、大，故最大例7判斷正誤，并簡要說明理由0 = 0; 0 a = 0; 0- AB = BA :丨 a b | = | a | b | ;若 a豐0，則對任一非零 b有a b0;a b = 0,貝U a與b中至少有一個為 0;對任 意向量a, b , c都有（a，b） c = a （ b c ）;a與b是兩個單位向量，則 a 2 = b2分析：根據數量積的定義、性質、運算律，逐一判斷解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數量積是一個實數，應有0 a = 0;對于：應有0a = 0;對于：由數量積定義有| ab| = |a|b|cosB|w|a|b|,這里B是a與b的夾角，只有B=0或0 =

7、 n時，才有丨abl = l a I b I ; 對于：若非零向量 a、b垂直，有a b = 0;對于：由a b = 0可知a丄b可以都非零；對于：若a與c共線，記a =入c .貝 a b =(入 c ) b =入(cb)=入(bc),(ab)c =入(bc) c=(bc)入 c =( b c ) a若a與c不共線，則(a b ) c(bc) a .評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律4借助零向量.即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理使用向量的移項以及平方等變形，求解數量積例 8 已知 ABC 中，BC = a,CA = b, AB =c，若

8、 a b 二 b e 二 c a，求證： ABC 為正三角形證明： bc = ca , c(b-a)=O, 又t a b c = 0, e - -(a b),故-(a b)(b -a) =O例9已知平面上三點 A、B、C滿足=5 則 ABBCBCCA 怎盂的值等于解析：注意到toT T T TAB BC CA =O ,兩邊平方得22ABBC 2BCCA 2CAAB =O 所以 AB BCCACAAB=-255借助平行向量與垂直向量.即借助向量的拆分，將待求的數量積轉化為有垂直條件關系或平行向量關系的向量數量積，借助a _b，貝y a b =0等解決問題.例1O 已知向量 的值.a=( 3,-

9、4),b=( 2, x),c=(2, y)且a / b,a _ c .求 |b c|解析：t a / b,3x+ 8 = O. x =b =( 2, 6 4y= O.3y= 2c=( 2,而 b c =( 2,-8)-( 2, 3)32=(O,- 25), 知a=b,同理可知b=c , 故a=b=c , 得證. |b c|= 25 .6例11如圖，在Rt ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點AA為中心，問PQ與BC的夾角0取何值時的值最大？，并求出這個最大值解析:AB 丄 7C AB AC=o 又 7P=-忌,京=7P -忌"- BpCq=(AP- AB) (応-AC)=

10、7p £ -7P 忑-忑忌+7B 啟 當 cos 0=1,，即2=a AC +=a2+芯a2+1 花 BC.20=0 ( PQ 與方向相同)時,BP CQ最大，最大值為0.例 12 四邊形 ABCD 中，AB 二(6,1), BC 二(x, y),CD 二(-2,-3)(1 )若BC/DA，試求x與y滿足的關系式;(2)滿足(1)的同時又有 AC _ BD，求x,y的值及四邊形 ABCD的面積。解析：；BC =(x, y)DA - -AD - -(AB BC CD) - -(x 4, y - 2) = (-x - 4, -y 2)(1) BC/ DA 則有 x (-y 2) - y

11、(-x - 4) =0 化簡得：x 2y=0(2) AC 二 AB BC =(x 6,y 1), BD 二 BC CD = (x - 2, y - 3)又 AC _ BD貝U (x 6) (x2) (y 1) (y-3) = 0化簡有：x2 y2 4x2y15 = 0聯立丿x 2y = 0 x2 y2'4x - 2y -15 = 0解得x =-6、y =3BC / DAAC BD則四邊形ABCD為對角線互相垂直的梯形x 一 "時，AC = (0,4) BD = (8,0)此時 Sabcd2=31 AC BD =162X 一 2 時，AC = (8,0) BD = (0-4)

12、此時 Sabcd )=T1 AC BD =1626借助向量的拆分將待求向量的數量積轉化為題目中能求解的數量積例 13 如圖，在 ABC 中，.BAC=120° AB =2, AC = 1, D 是邊 BC 上一點,CDC =2BD，貝U ADBC =解析：直接利用定義求較困難，題目中給出了 NBAC=120° AB=2, AC=1,謂都用AB,AC形式表示.由DC2BD 得 AC - AD =2(AD -7B)即ADJAC 2忌BC啟厲33可以利用定義直接求出,這樣問題就轉化為能否將向量 adlbCJAC2 1AC 忌 2忌3337.建立坐標系，利用坐標運算求解數量積 例1

13、4 已知O為Rt ABC的內切圓的圓心,T t r T t TA. OA OB ：OB OC : OC OA B. OAAB=5,BC=4,CA=3下列結論正確的是()T T T T TOB OB OC OC OAC. OA OB =0B OC =OC OAD. OA OB ： OB OC =OC OA解析：建立如圖直角坐標系：設/ O為Rt ABC的內切圓的圓心O(1,1),-OA =(-1,2),A(0,3), B(4,0), C(0,0),T T T TOA OB = -5 , OA OC = 1 ,OB OC - -2 故選 AD是邊BC上一點,例15 如圖，在 ABC中,NBAC=1

14、20°, AB=2 AC=1,DC =2BD，貝y AD-BC =解析：建立以AB為x軸，過點A作AB的垂線為y軸的直角坐標系，如圖所示，則A(0,0)，B(2,0),5-丄，一)，由定比分點坐標公式得2 2AD=(26 6)，即 AD-BC7 .35 .3%,石)，所以BC十5盲)，三角恒等式證明的基本技巧三角恒等式的證明是三角函數中一類重要問題，這類問題主要以無條件和有條件恒等式出現。根據恒等式的特點，可采用各種不同的方法技巧，技巧常從以下各個方面表示出來。1 .化角觀察條件及目標式中角度間聯系，立足于消除角間存在的差異，或改變角的表達形式以 便更好地溝通條件與結論使之統一，或有

15、利于公式的運用，化角是證明三角恒等式時一種常用技巧。例1求證:tan 3 x - tan12sinxx =2 cosx cos2x思路分析：本題的關鍵是角度關系:31x= x - x,可作以下證明:2 2231cos xcos x2223= tan x - tan22tan(A - B) + sin C2tan A sin A=1,求證:tanA、tanC、tanB順次成等比數列。313._.2sin(-xx) sin xcos-x-cos-xs in x右式=22=222_c 312cos xcosx222化函數三角函數中有幾組重要公式，它們不僅揭示了角間的關系，同時揭示了函數間的相互關系，

16、三角變換中，以觀察函數名稱的差異為主觀點，以化異為為同（如化切為弦等）的思路, 恰當選用公式，這也是證明三角恒等式的一種基本技巧。2思路分析：欲證tan C = tanA tanB，將條件中的弦化切是關鍵?？勺饕韵伦C明:sin2C=ta n2 C1 tan2 Csin 2A=tan2 A1 tan2 A2 2 2呼= tan2C(1 tan2A)由已知可得sin A tan A(1 tan C)sin2 C _ tan(A - B) _ tan B(1 tan2 A)2 =1-=2tan C = tanBtanA1 tan C 1 tan AtanBsin A tanA tan A(1 tan

17、 Atan B)tan B(1 +tan2 A)=tan2 C(1 +tan2 A)tan A(1 tan Atan B) tan2 A(1 tan2C)即 tan 2C = tanA tanB 命題成立。3 .化幕應用升、降幕公式作幕的轉化，以便更好地選用公式對面臨的問題實行變換，這也是三 角恒等式證明的一種技巧。例 3 求證 cos4 a -4cos2 a +3=8sin 4 a思路分析：應用降幕公式，從右證到左：a +1 一 COS4)=cos4 a -4cos2右邊=8( 1 一 cos? )2=2(1-2COS2 a +COS22 a )= 2(1-2cos22+3=左邊。4 化常數

18、 將已知或目標中的常數化為特殊角的函數值以適應求征需要，這方面的例子效多。女口. 2 2 2 2 2 21=sin a +COS a =SeC a -tan a =CSC a -cot a =tan a cot a =Sin a CSC a =COS a Sec a , 仁tan45 °=sin90°=cos0°等等。如何對常數實行變換，這需要對具體問題作具體分析。例4求證1-2sin ： cos：1-tan：2 2 =cos ： -sin ：1 tan：思路分析：將左式分子中“1”用“ Sin 2 a +COS2a ”代替，問題便迎刃而解。(sina -cosa

19、)2(cos ： - sin ： )(cos 黒亠 sin ：)-(sina cosa) =1 - tanacos篇川 sin ：1 tan：=右邊5.化參數用代入、加減、乘除及三角公式消去參數的方法同樣在證明恒等式時用到。例5已知2 2 2 2 2 2 2 2acos a +bsin a =mcos 3 , asin a +bcos a =nsin 3 , mtan a =ntan 3 ( n n )求證：(a+b)(m+n)=2mn思路分析：消去參數，當m=0時，由mtan2 a =ntan23得n=0,顯然成立。當 m 0時，只須222222消去 a、 3 即可。由 acos a +bs

20、in a =mcos 3 , asin a +bcos a =nsin 3 得asin2 二"bcos2 :acos2 一匚 1 bsin2 :n 222= tan 3 ,再由 mtan a =ntan 3 得 mas in2 二"bcos2: acos2 二 1 bs in2：=tan 2 a即可得atan2 -： b 22 =tan a abtan :-，解得2 2tan a =1，所以 sin a21=COS a =。2求得 cos2 3 =2msin2 a b3 =2n又由 cos2 3 +sin23 =1 不得。m=12m 2n即(a+b)(m+n)=2mn6.化比一些附有積或商形式的條件三角恒等式證明問題，常可考慮應用比例的有關定理。用等 比定理，合、分比定理對條件加以變換，或順推出結論，或簡化條件，常?？梢詾榻忸}帶來 方便。1 亠|. 例 6 已知(1+ cos a )(1- cos 3 )=1- 2(豐 0, 1)。求證：tan 2 =tan 2 2 1 一2思路分析：綜觀條件與結論，可考慮從條件中將分離出來，以結論中為向導，應用1 £合比定理即可達到論證之目的。由已知得 1+ COS a - COS 3 - 2COS a COS 3 =1-：2(COS a COS 3 -