1、平面向量數量積運算題型一平面向量數量積的基本運算例 1(1)(2014 ·天津 )已知菱形 ABCD 的邊長為 2， BAD 120°，點 E，F 分別在邊 BC，DC 上， BC 3BE ，DC DF.若AE ·AF 1，則 的值為 _. 的最小值為 ()(2)已知圓 O 的半徑為 1，PA，PB 為該圓的兩條切線， A，B 為切點，那么 PA·PBA.4 2B. 3 2C.4 2 2D.32 2變式訓練 1 (2015 ·湖北 )已知向量 OA AB，|OA| 3，則 OA·OB _.題型二利用平面向量數量積求兩向量夾角例 2(1

2、)(2015·重慶 )若非零向量a，b 滿足 |a|223|b|，且 (a b) (3a 2b) ，則 a 與 b 的夾角為 ()3A. 4B. 2C. 4D. (2)若平面向量a 與平面向量b 的夾角等于，|a| 2，|b| 3，則 2a b 與 a 2b 的夾角的余弦3值等于 ()1111A. 26B.26C.12D.12變式訓練與2 (2014 ·課標全國 ) 已知 A，B，C 為圓 O 上的三點， 若 AO1 AC)，則AB( AB2AC的夾角為 _.1題型三利用數量積求向量的模例 3(1) 已知平面向量a 和 b，|a| 1，|b| 2，且 a 與 b 的夾角為1

3、20°，則 |2a b|等于 ()A.2B.4C.25D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD BC， ADC 90°，AD 2，BC 1，P 是腰 DC 上的動點，則 |PA 3PB|的最小值為 _.1變式訓練3(2015 ·浙江 )已知 e1 ，e2 是平面單位向量， 且 e1·e2 2.若平面向量b 滿足 b·e1 b·e2 1，則 |b| _.高考題型精練1.(2015山·東 ) 已知菱形 ABCD的邊長為 a， ABC60°，則 BD ·CD 等于 ()3232A. 2aB. 4a3232C.

4、4aD.2a2.(2014浙·江 ) 記 max x，y x， x y，min x，y y， x y，y， x<y，設 a，b 為平面向量， 則()x， x<y，A.min| a b|， |a b| min| a|， |b|B.min| a b|， |a b| min| a|， |b|C.max| a b|2， |a b|2 |a|2 |b|22222D.max| a b|， |ab| |a| |b|23.(2015 湖·南 ) 已知點 A，B，C 在圓 x2 y21 上運動，且 AB BC.若點 P 的坐標為 (2,0)，則 |PA PB PC|的最大值為 (

5、)A.6B.7C.8D.94.如圖，在等腰直角 ABO 中， OA OB 1， C 為 AB 上靠近點 A 的四等分點，過C作 AB的垂線 l ，P 為垂線上任一點，設OA a， OB b， OPp，則 p·(b a)等于 ()11A.2B. 233C.2D.2 1)5.在平面上， AB 1 AB2，|OB1| |OB2| 1，AP AB1 AB2.若 |OP|<，則 |OA |的取值范圍是 (2557A.(0， 2 B.(2 ，25， 2D.(7， 2C.( 22 )6.如圖所示， ABC 中， ACB 90°且 AC BC 4，點 M 滿足 BM 3MA，則CM

6、·CB等于 (A.2B.3C.4D.67.(2014 安·徽 )設 a， b 為非零向量， |b| 2|a|，兩組向量x1， x2，x3 ，x4 和 y1， y2， y3， y4 均由2 個 a 和 2個 b 排列而成 .若 x1·y1 x2·y2 x3·y3 x4·y4 所有可能取值中的最小值為4|a|2，則 a與 b 的夾角為 ()2A. 3B.3C.6D.08.(2014 江·蘇 ) 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，已知 AB 8， AD 5， CP3PD， AP·BP 2，3則 AB·AD的值是

7、 _.9.設非零向量a， b 的夾角為 ，記 f(a， b) acos bsin .若 e1， e2 均為單位向量，且e1·e2 3，則向量 f(e1， e2)與 f(e2 ， e1)的夾角為 _. 210.如圖，在 ABC 中，O 為 BC 中點，若 AB 1，AC 3，AB，AC 60°，則 |OA| _.3211.已知向量a (sin x， 4)， b (cos x， 1).當 a b 時，求 cos x sin 2x 的值；12.在 ABC 中， AC 10，過頂點 C 作 AB 的垂線，垂足為5 D， AD 5，且滿足 AD DB .11(1)求 |AB AC|；

8、(2)存在實數t 1，使得向量x AB tAC， y tAB AC，令 kx·y，求 k 的最小值 .4平面向量數量積運算題型一平面向量數量積的基本運算例 1(1)(2014 ·天津 )已知菱形 ABCD 的邊長為 2， BAD 120°，點 E，F 分別在邊 BC，DC 上， BC 3BE ，DC DF.若AE ·AF 1，則 的值為 _.(2)已知圓 O 的半徑為 的最小值為 ()1，PA，PB 為該圓的兩條切線， A，B 為切點，那么 PA·PBA.4 2B. 3 2C.4 2 2D.32 2答案 (1)2 (2)D解析(1) 如圖，1

9、11 1 AE·AF (AB BE) ·(AD DF ) ( AB3BC) ·(ADDC ) AB ·AD AB·DC3BC ·AD BC·DC 2× 2× cos 120 °1× 2× 2 1×2× 2 1 × 2× 2×cos 120 ° 24 4 2 10 2， 3 3 3 3 33又 AE ·AF 1， 102 1， 2.3 313(2)方法一設 |PA| |PB| x， APB ， 1則 tan

10、2 x，21 tan 2x2 1從而 cos 2.2 x 11 tan 2 PA·PB|PA| |PB·| cos· 2 x2 1x4 x2 x ·22x 1x 1x2 1 2 3 x21 22x 1522 x 1x2 1 3 2 2 3，當且僅當 x2 1 2，即 x22 1 時取等號，故 PA·PB 的最小值為 2 23.方法二設 APB ， 0<<，1則 |PA| |PB |.tan 2 PA·PB|PA|PB|cos ( 1 )2cos tan22cos2·(1 2sin2 )sin222221 sin2

11、 12sin22.sin 22令 x sin 2， 0<x1， 1 x12x則 PA·PBx 2x1 3 2 2 3， x當且僅當2x1，即 x2時取等號 .x2 故 PA·PB的最小值為 2 2 3.方法三以 O 為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy，則圓 O 的方程為x2 y2 1，設 A( x1， y1)， B(x1， y1)， P( x0,0) ， 222則 PA·PB( x1 x0， y1) ·(x1 x0， y1) x1 2x1x0 x0 y1. 由 OAPA? OA·PA (x1， y1) ·(x1 x0， y1)

12、 0? x12 x1x0 y21 0，又 x21 y21 1，6所以 x1x0 1. 222從而 PA·PB x1 2x1x0 x0 y1 x12 2x20 (1 x21) 2x21 x20 3 2 2 3. 故 PA·PB的最小值為 2 2 3.點評 (1) 平面向量數量積的運算有兩種形式：一是依據長度和夾角，二是利用坐標運算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量 a，b 的數量積 a·b 與代數中 a，b 的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“·”.(2)向量的數量積運算需要注意的問題：a·b 0 時得不到 a 0 或 b 0，根

13、據平面向量數量積的性質有 |a|2 a2，但 |a·b| |a| ·|b|. 變式訓練1(2015 ·湖北 )已知向量 OA AB，|OA| 3，則 OA·OB _.答案解析32 9.題型二9 22因為 OAAB ，所以 OA·AB 0.所以 OA·OB OA·(OA AB) OAOA·AB |OA| 0利用平面向量數量積求兩向量夾角例 2(1)(2015 ·重慶 )若非零向量a，b 滿足 |a|223|b|，且 (a b) (3a 2b) ，則 a 與 b 的夾角為 ()A. 4B. 23C. 4D.

14、(2)若平面向量a 與平面向量b 的夾角等于，|a| 2，|b| 3，則 2a b 與 a 2b 的夾角的余弦3值等于()11A. 26B.2611C.12D. 12答案(1)A(2)B解析(1) 由(a b) (3a 2b)得 (a b) ·(3a 2b) 0，即 3a2 a·b 2b2 0.又 |a| 2 3 2|b|，設 a， b ，7即 3|a|2 |a| ·|b| ·cos 2|b|2 0， 8|b|2 2 2|b|2·cos 2|b|2 0.33 cos 22 .又 0 ， 4.(2)記向量2a b 與 a2b 的夾角為 ，又 (2

15、ab) 2 4× 22 32 4× 2× 3× cos 13，3(a2224× 2× 3×cos2b) 2 4×3 52，3(2a b) ·(a 2b) 2a2 2b23a·b 8 18 9 1，故 cos 2a b ·a 2b 1 ，|2ab| |·a 2b|26即 2a b 與 a2b 的夾角的余弦值是126.點評求向量的夾角時要注意：(1)向量的數量積不滿足結合律，(2)數量積大于0 說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于0 說明兩向量的夾角為直角，數量積小于0 且

16、兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角 .變式訓練2 1 (2014 ·課標全國 ) 已知 A，B，C 為圓 O 上的三點， 若 AO ( AB AC)，則AB 與2AC的夾角為 _.答案90°解析1 AO(AB AC)，2 點 O 是 ABC 中邊 BC 的中點， BC 為直徑，根據圓的幾何性質得 AB與 AC的夾角為 90°.題型三利用數量積求向量的模例 3(1) 已知平面向量 a 和 b，|a| 1，|b| 2，且 a 與 b 的夾角為120°，則 |2a b|等于 ()A.2B.4C.25D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD BC， ADC 9

17、0°，AD 2，BC 1，P 是腰 DC 上的動點，則 |PA 3PB|的最小值為 _.8答案(1)A(2)5解析(1) 因為平面向量a 和 b，|a| 1， |b| 2，且 a 與 b 的夾角為 120°，所以 |2a b|2a 2 b2 2× |2a|× |b|cos 120 ° 22×12 22 2× 2× 1× 2× 12 2.(2)方法一以 D 為原點，分別以DA、DC 所在直線為x、 y 軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設 DC a，DP x. D(0,0)， A(2,0)， C(0

18、， a)， B(1，a)，P(0， x)，PA (2， x)， PB (1， a x)， PA 3PB (5,3a 4x)，22|PA3PB| 25 (3a 4x) 25， |PA 3PB|的最小值為 5.方法二設 DP xDC (0< x<1) ， PC (1 x)DC，PA DA DP DA xDC，1 PB PC CB (1 x)DC DA ，25 PA 3PB DA (3 4x)DC，2225 25 2 22 2|PA3PB| 4 DA2×2× (34x) DA·DC (3 4x) ·DC 25 (3 4x) DC 25， |PA 3

19、PB|的最小值為 5.點評(1) 把幾何圖形放在適當的坐標系中，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a (x， y)，求向量 a 的模只需利用公式|a|x2 y2即可求解 .(2)向量不放在坐標系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數量積公式，關鍵是會把向量a 的模進行如下轉化：|a|2a .91變式訓練3(2015 ·浙江 )已知 e1 ，e2 是平面單位向量， 且 e1·e2 2.若平面向量b 滿足 b·e1 b·e2 1，則 |b| _.答案233解析因為 |e121 211 與 e2 的夾角為60°

20、;.又因為 b·e1 b·e2 1，所以 b·e1| |e | 1且 e ·e2.所以 e b·e2 0，即 b·(e1 e2) 0，所以 b(e1 e2).所以 b 與 e1 的夾角為 30°，所以 b·e1 |b| ·|e1|cos30° 1.2 3 所以 |b| 3 .高考題型精練1.(2015 山·東 ) 已知菱形 ABCD 的邊長為 a， ABC60°，則 BD ·CD 等于 ()3232A. 2aB. 4a3232C.4aD.2a答案D解析如圖所示，由題

21、意，得BC a， CD a， BCD 120°.BD 2 BC2 CD 2 2BC·CD·cos 120 ° a2 a2 2a·a× 1 3a2，2 BD 3a.2332 BD ·CD |BD |CD |cos 30 ° 3a ×a .222.(2014 浙·江 ) 記 max x，y x， x y，y， x y，設 a，b 為平面向量， 則()y， x<y，min x，y x， x<y，A.min| a b|， |a b| min| a|， |b|B.min| a b|， |a b

22、| min| a|， |b|10C.max| a b|2， |a b|2 |a|2 |b|22222D.max| a b|， |ab| |a| |b|答案D解析由于 |a b|， |a b|與 |a|，|b|的大小關系與夾角大小有關，故A ，B 錯 .當 a，b 夾角為銳角時， |a b|>|a b|，此時， |ab|2>|a|2 |b|2；當 a，b 夾角為鈍角時， |a b|<|a b|，此時，|a b|2>|a|2 |b|2；當 a b 時， |a b|2 |ab|2 |a|2 |b|2，故選 D.3.(2015 湖·南 ) 已知點 A，B，C 在圓 x

23、2 y21 上運動，且 AB BC.若點 P 的坐標為 (2,0)，則 |PA) PB PC|的最大值為 (A.6B.7C.8D.9答案B解析 A，B， C 在圓 x2 y2 1 上，且 AB BC， ( 4,0)，設 B(x，y)，則 x2 y2 1且 x 1,1 AC 為圓直徑，故 PA PC 2PO，PB (x 2， y)， 12x 37， x 1時有最大值49 7， PA PB PC (x6， y).故 |PA PB PC|故選 B.4.如圖，在等腰直角 ABO 中， OA OB 1， C 為 AB 上靠近點 A 的四等分點，過C作 AB的垂線 l ，P 為垂線上任一點，設OA a，

24、OB b， OPp，則 p·(b a)等于 ()11A.2B. 233C.2D.2答案A解析以 OA， OB 所在直線分別作為x 軸， y 軸，11O 為坐標原點建立平面直角坐標系，則 A(1,0) ，B(0,1)， C(34， 14)，直線 l 的方程為y1 x 3，44即 x y 1 0. 211設 P( x，x )，則 p( x， x )，22而 ba ( 1,1)，所以 p·(b a) x11(x ) .22 15.在平面上， AB 1 AB2，|OB1| |OB2| 1，AP AB1 AB2.若 |OP|<，則 |OA |的取值范圍是 ()2557A.(0，

25、 2 B.(2 ，2 5， 2D.(7， 2C.( 22答案D解析由題意，知 B1， B2 在以 O 為圓心的單位圓上，點P 在以 O 為圓心，1為半徑的圓的內2部 .又 AB1 AB2， AP AB1 AB2，所以點 A 在以 B1B2 為直徑的圓上，2，當 P 與 O 點重合時， |OA|取得最大值7，當 P 在半徑為 1的圓周上時， |OA|取得最小值22故選 D. 6.如圖所示， ABC 中， ACB 90°且 AC BC 4，點 M 滿足 BM 3MA，則CM ·CB等于 ()12A.2B.3C.4D.6答案C解析在 ABC 中，因為 ACB 90°且

26、AC BC 4，所以 AB 4 2，且 B A 45°.因為 BM 3 2 23 3 3MA，所以 BM BA .所以 CM·CB (CB BM) ·CB CB BM ·CB CBBA·CB 16444× 4 2× 4cos 135 ° 4.7.(2014 安·徽 )設 a， b 為非零向量， |b| 2|a|，兩組向量x1， x2，x3 ，x4 和 y1， y2， y3， y4 均由2 個 a 和 21 1 x22 x3 3 x4 4 所有可能取值中的最小值為4|a|2，則 a個 b 排列而成 .若 x

27、 ·y·y·y·y與 b 的夾角為 ()2A. 3B.3C.6D.0答案B4解析設 a 與 b 的夾角為，由于 xi，yi(i 1,2,3,4)均由 2 個 a 和 2 個 b 排列而成，記Si 1(xi·yi)，則 S 有以下三種情況：2222 S 2a 2b ； S4a·b； S |a| 2a·b |b| . |b|2|a |， 中 S 10|a|2， 中 S 8|a|2 cos ， 中 S5|a|2 4|a|2cos .易知 最小，即 8|a|2cos 4|a|2， cos 1，可求 ，故選 B.238.(2014 江

28、·蘇 ) 如圖，在平行四邊形ABCD 中，已知 AB 8， AD 5， CP3PD， AP·BP 2，則 AB·AD的值是 _.答案22131111解析 由 CP 3PD，得DP 4DCAB，AP AD DP AD AB，BP APABAD AB444 32 1 32 AB AD 3 2，所以 (AD 1AB4AB.因為 AP·BPAB ) ·(ADAB) 2，即 ADAD ·AB1644222 2.又因為 AD 25，AB 64，所以 AB·AD 22.9.設非零向量 a， b 的夾角為 ，記 f(a， b) acosbs

29、in .若 e1， e2 均為單位向量，且e1·e2 3，則向量 f(e1， e2)與 f(e2 ， e1)的夾角為 _. 2答案2解析由 e1·e23，可得 cos e1， e2 e1·e2 3，2|e1|e2|25故 e1， e2 6， e2， e1 e2， e16 .f(e1， e2) e1cos31 e2sin2e1 e2，662f(e2， e1 ) e2cos551e13e2.( e1)sin6622f(e1， e2) ·f(e2， e1) (311e133 e1·e20，2e1 e2) ·(2e2)222所以 f(e1，

30、e2) f(e2， e1).故向量 f(e1， e2)與 f(e2， e1)的夾角為 2.10.如圖，在 ABC 中，O 為 BC 中點，若 AB 1，AC 3，AB，AC 60°，則 |OA| _.答案132解析 °1× 3×11因為 AB，AC 60°，所以 AB·AC |AB| |AC|cos· 603，又AO(AB AC)，222 21 21 22 211313.所以 AO (AB AC) (AB 2AB·AC AC )，即 AO (1 3 9)4，所以 |OA|2444311.已知向量a (sin x， 4)， b (cos x， 1).(1)當 a b 時，求 cos2x sin 2x的值；(2)設函數 f(x) 2(a b