1、1定積分的概念定積分的概念：特殊和式的極限：特殊和式的極限2定積分存在的定積分存在的必要條件必要條件和和充分條件充分條件( ) , ( ) , f xa bf xa b 若若在在上上 必必要要條條可可積積，則則件件在在上上有有界界. .充分條件充分條件23定積分的性質定積分的性質 （2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(. badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質性質1 1性質性質2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.性質性質3 3dxba 1dxba ab .性質性質4 4規定規定:3 , ( )( )0,0( )0baa bf

2、 xf xf x dx 若若在在 上上連連續續，且且但但不不恒恒為為 則則命題命題性質性質5 5的推論：的推論：則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區區間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba （2）性質性質5 54解解0ln1x 1, 2x 2ln(ln ) ,xx 21ln xdx 121(ln ),x dx 1, 2x ( ), ( ) , , ( )( ), f xg xa bf xg x 設設在在上上連連續續且且( )( ) , ( )d( )d . bbaaf xg xxa bf xxg xx，則則推

3、論推論5例例2 ( ), ( ) , f xg xC a b 設設 證證明明下下列列不不等等式式成成立立 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx(1) (1) 柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式 111222222( )( )( )( )bbbaaaf xg xdxfxdxg xdx ( (2 2) ) 閔可夫斯基不等式閔可夫斯基不等式6 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx(1) (1) 證證 2( )( )batf xg xdx 考考慮慮積積分分 222( )2( ) ( )( )0bbbaaat

4、fx dxtf x g x dxgx dx 2222( ) ( )4( )( )0bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 被積函數非負被積函數非負7 111222222( )( )( )( )bbbaaaf xg xdxfx dxgx dx ( (2 2) ) 2( )( )baf xg xdx 證證 122222( )( )2( )( )bbbbaaaafx dxgx dxfx dxgx dx 即證即證 12222( ) ( )2( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx

5、 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式8設設M及及m分分別別是是函函數數證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質可用于估計積分值的大致范圍）（此性質可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區區間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質性質6 69解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin3

6、1403 dxx10解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調調下下降降,11,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx12如如果果函函數數)(xf在在閉閉區區間間,ba上上連連續續，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區間上連續函數的介值定理知由閉區間上連續函數的介值定理知性質性質7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式13使使,)(1)( badxxfabfdxxfba

7、 )()(abf .)(ba 在區間在區間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區區間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。14解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 15第五章第五章 定積分定積分第二節第二節 微

8、積分基本公式微積分基本公式16變速直線運動中變速直線運動中路程函數路程函數與與速度函數速度函數的聯系的聯系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 一、問題的提出一、問題的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中17 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記( )( ).xaxf t dt 積分上限函數積分上限函數 如如果果上上限限x在在區區間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應應值值

9、，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數數，二、積分上限函數及其導數二、積分上限函數及其導數18Oxyabx x)(xfy 積分上限函數的幾何意義積分上限函數的幾何意義( )( ).xaxf t dt 19abxyo積分上限函數的性質積分上限函數的性質xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x20 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x

10、 x21推論推論（1）( )( )( )( )( )axxaF xf t dtFxf t dtf x 則則（2）( )( )( )( )( )( )( ( )( )xaxaF xf t dtFxf t dtfxx 則則22(3) )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF23例例1 1 已知已知sin(ln1)bxyttdt 求求dydx解解)(sin1sinlnsin( xxxxxxcos)1sinlnsin(

11、sin(ln1)xbdyttdtdx 24202( )() ( ),( )xxxt f t dtf tx 設設 且且連連續續，求求 （ ）例例2 2解解222( )() () 20 xxxf xx 202( )() ( )xxxt f t dt 解解20022( )( )xxx f t dttf t dt20022( )( )xxxf t dttf t dt2202( )2( )()2xxxf t dtx f xx 22()2x f xx 022( )xxf t dt 25例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(c

12、os2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.26證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF27 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內內為為單單

13、調調增增加加函函數數.28證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調調增增加加函函數數., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令29定理定理2 2（原函數存在定理原函數存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續，則積分上限的函上連續，則積分上限的函數數dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數原函數. .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續函數的原函數是存在的）肯

14、定了連續函數的原函數是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系間的聯系.30定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續續函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數數, 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數，的一個原函數，CxxF )()(,bax 證證三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式31令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),

15、()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式32)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一一個個連連續續函函數數在在區區間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個個原原函函數數在在區區間間,ba上上的的增增量量.注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.33例例6 6 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin

16、2 xxx .23 例例7 7 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規規定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12 2sincos2sin0cos0022234例例7 7 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy yx 122 35例例8 8 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數數是

17、是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 111dxx 11ln000 x 36 0 1cos2d xx 計計算算 2 0 0 1 cos2 d 2cosdx xx x 02 |cos|dxx 2 0 22 cosd2 ( cos )dxxxx 2022sin 2sin 2 2 xx 怎么辦？怎么辦？ 例例9 9 解解3721200( )( )2( )f xxxf x dxf x dx 例例10 10 已知已知 求求()fx解解2100( ),( )af x dx bf x dx設設，2201208(2 )24 (1)31(2 )2b (2)32axaxb dxababxaxb dx 由由（1）（）（2）解之解之得得24142,( )3333abf xxx2( )2f xxaxb則則38內容小結內容小結( ) , ,( )( ),f xC a b