1、 3.3 函函 數數 的的 和、差、積、和、差、積、商商 的的 導導 數數 一、復習：一、復習：1.求函數的導數的方法是求函數的導數的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函數數的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函數數的的增增量量與與自自變變量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求極極限限，得得導導函函數數2.函數函數 y=f(x)在點在點x0處的導數的幾何意義處的導數的幾何意義,就是曲線就是曲線 y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率.3.常見函數的導數公式常見函數的導數公式:公式公式1:)(0為為常常數數

2、CC 公式公式2:)Qn(nx)x(nn1公式公式3:xcos)x(sin公式公式4:xsin) x(cos二、新課：二、新課： 由上節課的內容可知函數由上節課的內容可知函數y=x2的導數為的導數為y=2x,那那么么,對于一般的二次函數對于一般的二次函數y=ax2+bx+c,它的導數又是它的導數又是什么呢什么呢?這就需要用到函數的四則運算的求導法則這就需要用到函數的四則運算的求導法則.1.和和(差差)的導數的導數:法則法則1:兩個函數的和兩個函數的和(差差)的導數的導數,等于這兩個函數的導等于這兩個函數的導 數的和數的和(差差),即即:.)(vuvu 證證:),()()(xvxuxfy ; v

3、u)x( v)xx( v)x(u)xx(u)x( v)x(u)xx( v)xx(uy,xvxuxy );()(limlim)(limlim0000 xvxuxvxuxvxuxyxxxx 即即:.)(vuvuy 2.積的導數積的導數:法則法則2:兩個函數的積的導數兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數等于第一個函數的導數 乘第二個函數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數加上第一個函數乘第二個函數 的導數的導數 ,即即.)(vuvuuv 證證:),()()(xvxuxfy ),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy .)(

4、)()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 因為因為v(x)在點在點x處可導處可導,所以它在點所以它在點x處連續處連續,于是當于是當x0時時, v(x+x) v(x).從而從而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000 xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx 即即:.)(vuvuuvy 3.商的導數商的導數:推論推論:常數與函數的積的導數常數與函數的積的導數,等于常數乘函數的導數等于常數乘函數的導數,即即:.)(uCCu 法則法則3:兩個函數的商的導數兩個函數的商的導數,等于分子的導數與分母等于分子的導數與分母 的積的積,減去分母

5、的導數與分子的積減去分母的導數與分子的積,再除以分母再除以分母 的平方的平方,即即:).0()(2 vvvuvuvu考慮考慮:你能否仿照積的導數的推導過程你能否仿照積的導數的推導過程,證明商的導數證明商的導數 公式嗎公式嗎?有了前面學過的常見函數的導數公式與函數的四則有了前面學過的常見函數的導數公式與函數的四則運算的求導法則運算的求導法則,就可以直接運用這些公式求得由冪就可以直接運用這些公式求得由冪函數的和、差、積、商構成的函數函數的和、差、積、商構成的函數,而不必從導數定而不必從導數定義出發了義出發了.三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數的導數求下列函數的導數:.xxy)( ;xs

6、inxy)();x)(x(y)( ;xxxy)(;xxxy)( ;xsinxy)(3365233244532332122223243答案答案:; xcosxy)(231; 1-xxy)(2423;xxy)(56632;xsinxcosxxsinxy)(2225. )x(xxy)(2223366.xxy)(981842例例2:(1)命題甲命題甲:f(x),g(x)在在x=x0處均可導處均可導;命題乙命題乙:F(x)= f(x)+g(x)在在x=x0處可導處可導,則甲是乙成立的則甲是乙成立的( ) (A)充分不必要條件充分不必要條件 (B)必要不充分條件必要不充分條件 (C)充分必要條件充分必要條

7、件 (D)即不充分也不必要條即不充分也不必要條件件 A(2)下列函數在點下列函數在點x=0處不可導的是處不可導的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxxD(3)假設假設 則則f(x)可能是下式中的可能是下式中的( ),1)(2xxf 3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxA B(4)點點P在曲線在曲線y=x3-x+2/3上移動時上移動時,過點過點P的曲線的曲線的的 切線的傾斜角的取值范圍是切線的傾斜角的取值范圍是( ),432, 0)( 43,2()2, 0)(),43)( 43, 0)( DCBAD例例3:某運動物體

8、自始點起經過某運動物體自始點起經過t秒后的距離秒后的距離s滿足滿足 (1)此物體什么時刻在始點此物體什么時刻在始點? (2)什么時刻它的速度為零什么時刻它的速度為零?.16t4t -t s23441解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解解得得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的時刻運動物體在秒末的時刻運動物體在 始點始點. 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒時物體運動的速度為零秒時物體運動的速度為零.例

9、例4:已知曲線已知曲線S1:y=x2與與S2:y=-(x-2)2,若直線若直線l與與S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:設設l與與S1相切于相切于P(x1,x12),l與與S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).對于對于 則與則與S1相切于相切于P點的切線方程為點的切線方程為y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 對于對于 與與S2相切于相切于Q點的切線方程為點的切線方程為y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因為兩切線重合因為兩切線重合,.02204) 2( 2

10、22121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,則則l為為y=0;若若x1=2,x2=0,則則l為為y=4x-4.所以所求所以所求l的方程為的方程為:y=0或或y=4x-4.例例5:在曲線在曲線y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小的切線所對應求斜率最小的切線所對應 的切點的切點,并證明曲線關于此點對稱并證明曲線關于此點對稱.解解:由于由于 ,故當故當x=2時時, 有最小值有最小值.13) 2( 3112322 xxxyy 而當而當x=2時時,y=-12,故斜率最小的切線所對應的切點故斜率最小的切線所對應的切點為為A(2,-12).記曲線為記曲線為S,設設P(x,y)S,

11、則有則有y=x3-6x2-x+6.又點又點P關于點關于點A的對稱點為的對稱點為Q(4-x,-24-y),下證下證QS.將將4-x代入解析式代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即即Q(4-x,-24-y)的坐標是的坐標是S的方程的解的方程的解,于是于是QS.這就證明了曲線這就證明了曲線S關于點關于點A中心對稱中心對稱.例例6:用求導的方法求和用求導的方法求和:).1() 1(3221) 2();1(321)() 1 (212 xnxnxSx

12、nxxxxPnnnn對對(1)由求導公式由求導公式 可聯想到它是另一個和式可聯想到它是另一個和式x+x2+x3+xn的導數的導數.,)(1 nnnxx),1(1)1()1(32 xxxxxxxxnn解：解：.)1 () 1(1)1 ()1)()1 ()()1()()(21211132xnxxnxxxxxxxxxxxxxxxPnnnnnnn .)1(2)1()1(2)1( )()2(3121xxnnxnxnnxPSnnnnn 四、小結：四、小結：1:充分掌握函數的四則運算的求導法則充分掌握函數的四則運算的求導法則.2:先化簡先化簡,再求導是實施求導運算的基本方法再求導是實施求導運算的基本方法;是化難是化難 為易