1、第第3 3講講 等比數(shù)列等比數(shù)列1. 理解等比數(shù)列的概念理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項公式與前掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式項和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng) 的問題的問題4了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【考綱下載考綱下載】1等比數(shù)列的有關(guān)概念等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的比項起，每一項與它的前一項的比等于等于 ， 這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，其中常數(shù)叫做等比數(shù)列的這個數(shù)

2、列就叫做等比數(shù)列，其中常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ， 記作記作q. (2)通項公式：等比數(shù)列通項公式：等比數(shù)列an的首項為的首項為a1，公比為，公比為q，則稱，則稱an 為為數(shù)列數(shù)列 an的通項公式的通項公式 (3)等比中項：如果等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么 叫做叫做a與與b的等比中項，且的等比中項，且 ab.2同一個常數(shù)同一個常數(shù) a1qn1G公比公比G2提示：提示：等比數(shù)列的定義與等差數(shù)列的定義從字面上看相似，就是等比數(shù)列的定義與等差數(shù)列的定義從字面上看相似，就是“比比”與與“差差”的區(qū)別，但等比數(shù)列隱含著數(shù)列的各項不為零，公比不為零，項與公的區(qū)別，但等比數(shù)列隱含著數(shù)列

3、的各項不為零，公比不為零，項與公式的正負(fù)號有著密切的關(guān)系等等式的正負(fù)號有著密切的關(guān)系等等【思考思考】 推導(dǎo)等比數(shù)列的前推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式的方法是什么？你掌握了嗎？不項和公式的方法是什么？你掌握了嗎？不 妨看一下課本妨看一下課本 答案：答案：錯位相減法錯位相減法3等比數(shù)列的重要性質(zhì)等比數(shù)列的重要性質(zhì) (1)若若mnpq，則，則amanapaq(m，n，p，qN*) (2)ana1qn1可推廣為可推廣為anamqnm. (3)設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的首項為的首項為a1，公比為，公比為q. 當(dāng)當(dāng)q1，a10或或0q1，a11，a10或或0q0時，數(shù)列時，數(shù)列an為遞減數(shù)列；為遞減數(shù)列； 當(dāng)

4、當(dāng)q1時，數(shù)列時，數(shù)列an是是(非零非零)常數(shù)列；常數(shù)列； 當(dāng)當(dāng)q2pq，又，又a1、b1不為零，不為零， 因此因此c c1c3，故，故cn不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列.巧用性質(zhì)，可以減少計算量，同時需要有敏銳的觀察能力和應(yīng)對能力巧用性質(zhì)，可以減少計算量，同時需要有敏銳的觀察能力和應(yīng)對能力 【例例3】 等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項和等于項和等于2，緊接在后面的，緊接在后面的2n項和等于項和等于12，再緊接其后的，再緊接其后的3n項和為項和為S，求出，求出S.思維點撥：思維點撥：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解或利用整體代換，通過利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解或利用整體代換，通過求求 qn和和 來解決問題來解決問

5、題解：解法一：解：解法一：設(shè)依次設(shè)依次n項之和分別為項之和分別為：A1，A2，A3則有則有A12，A2A312，A4A5A6S，而數(shù)列而數(shù)列An為等比數(shù)列，公比為為等比數(shù)列，公比為qn，A2A32qn2q2n，2qn2q2n12，q2nqn60，qn2或或qn3.當(dāng)當(dāng)qn2時時，SA4A5A6223224225112；當(dāng)當(dāng)qn3時時，SA4A5A62(3)32(3)42(3)5378.所以所以S的值為的值為112或或378.解法二：解法二：由題意得由題意得q1，且且qn(qn1)6，qn2或或qn3.S223(123)112或或S (3)31(3)3378.拓展拓展3：將本例中條件改為前將本例

6、中條件改為前n項和為項和為2，前，前2n項為項為12，求前，求前3n項和項和解：解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列仍成等比數(shù)列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即即1022(S3n12)，S3n62.由于數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，所以在解決許多數(shù)列問題時，應(yīng)善于運由于數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，所以在解決許多數(shù)列問題時，應(yīng)善于運用函數(shù)與方程的思想方法解決問題用函數(shù)與方程的思想方法解決問題【例例4】 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an，a1 若以若以a1，a2，an為系數(shù)的二次方程為系數(shù)的二次方程an1x2anx 10(nN*且且n2)都有根都有根

7、、滿足滿足331. (1)求證：求證： 為等比數(shù)列；為等比數(shù)列； (2)求求an； (3)求求an的前的前n項和項和Sn.證明：證明：(1)將將 代入代入331，得得an 為定值為定值數(shù)列數(shù)列 是等比數(shù)列是等比數(shù)列(2)解：解：a1 an【方法規(guī)律方法規(guī)律】等比數(shù)列的定義，通項公式，前等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式是解決等比數(shù)列中的有關(guān)計算、討項和公式是解決等比數(shù)列中的有關(guān)計算、討論等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)的問題的基礎(chǔ)和出發(fā)點論等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)的問題的基礎(chǔ)和出發(fā)點1確定等比數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項確定等比數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項a1和公比和公比q.2在等比數(shù)列通項公式和前在等比數(shù)列通項公式和前n項

8、和公式中共涉及五個量項和公式中共涉及五個量an，a1，n，q，Sn， 可可“知三求二知三求二”3等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)的思想可用于等比數(shù)列與等差數(shù)列對應(yīng)項之積等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)的思想可用于等比數(shù)列與等差數(shù)列對應(yīng)項之積 構(gòu)成的數(shù)列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數(shù)列的前構(gòu)成的數(shù)列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數(shù)列的前n項和項和4在利用等比數(shù)列前在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比項和公式時，一定要對公比q1或或q1作出判斷；作出判斷； 計算過程中要注意整體代入的思想方法計算過程中要注意整體代入的思想方法5等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是： (1)若一個數(shù)列既

9、是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列； (2)若若an是等比數(shù)列，且是等比數(shù)列，且an0，則，則lg an構(gòu)成等差數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列【高考真題高考真題】(2009山東卷山東卷)等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，已知對任意的，已知對任意的nN*，點，點 (n，Sn)均在函數(shù)均在函數(shù)ybxr(b0且且b1，b，r均為常數(shù)均為常數(shù))的圖象上的圖象上(1)求求r的值；的值；(2)當(dāng)當(dāng)b2時，記時，記bn (nN*)，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前n項和項和Tn.【規(guī)范解答規(guī)范解答】解：解：(1)由題意由題意，Snbnr，當(dāng)當(dāng)

10、n2時時，Sn1bn1r，所以所以anSnSn1bn1(b1)，由于由于b0且且b1，所以當(dāng)所以當(dāng)n2時時，an是以是以b為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，又又a1br，a2b(b1)，(2)由由(1)知，知，nN*，an(b1)bn1，當(dāng)當(dāng)b2時，時，an2n1，所以，所以bn兩式相減得兩式相減得故故Tn (nN*)【探究與研究探究與研究】創(chuàng)新是高考命題的要求，創(chuàng)新是高考命題的要求，考試大綱考試大綱提出命題要提出命題要“創(chuàng)設(shè)比較新穎的問題情創(chuàng)設(shè)比較新穎的問題情境境”，同時，同時，“在知識的交匯點處設(shè)計命題在知識的交匯點處設(shè)計命題”是近年來高考命題的一種趨勢，是近年來高考命題的一種趨勢，本題

11、將數(shù)列的遞推關(guān)系式以點在函數(shù)圖象上的方式給出，體現(xiàn)了這種命題理念，本題將數(shù)列的遞推關(guān)系式以點在函數(shù)圖象上的方式給出，體現(xiàn)了這種命題理念，也滲透了數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)觀念第也滲透了數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)觀念第(2)問中對問中對b的賦值，旨的賦值，旨在使問題變得簡捷，也使設(shè)置的數(shù)列求和問題降低難度，達(dá)到在使問題變得簡捷，也使設(shè)置的數(shù)列求和問題降低難度，達(dá)到“不求在細(xì)節(jié)不求在細(xì)節(jié)上人為地設(shè)置障礙，而是在大方向上考查考生的數(shù)學(xué)能力上人為地設(shè)置障礙，而是在大方向上考查考生的數(shù)學(xué)能力”的命題指導(dǎo)思想的命題指導(dǎo)思想本題在設(shè)置等比數(shù)列的遞推關(guān)系式時，以點本題在設(shè)置等比數(shù)列的遞推關(guān)系式時，以點(n

12、，Sn)在函數(shù)在函數(shù)ybxr的圖象上的的圖象上的方式給出，這種命題方式與方式給出，這種命題方式與2008年福建一道文科題有相似之處：年福建一道文科題有相似之處：“已知已知an是是正數(shù)組成的數(shù)列，正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點，且點( an1)(nN*)在函數(shù)在函數(shù)yx21的圖象的圖象上上(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足滿足b11，bn1bn2an，求證：，求證：bnbn2 本題中增加了對參數(shù)本題中增加了對參數(shù)r的求解，因此，如何正確求出的求解，因此，如何正確求出r的值，的值，成為本題的解題思考點，這恰好需要對遞推關(guān)系式成為本題的解題思考點，這恰好需要對遞推

13、關(guān)系式an的正確理解的正確理解(理解題目的條件：數(shù)列理解題目的條件：數(shù)列an是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則a1S1滿足數(shù)列遞滿足數(shù)列遞推式推式)第第(2)問求數(shù)列問求數(shù)列bn的前的前n項和項和Tn，所用的方法是錯位相減法，也是，所用的方法是錯位相減法，也是課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式時所用的方法高考復(fù)習(xí)歷來提倡回歸項和公式時所用的方法高考復(fù)習(xí)歷來提倡回歸課本，理解教材，例題的求解方法、公式的推導(dǎo)方法，都需要我們在回課本，理解教材，例題的求解方法、公式的推導(dǎo)方法，都需要我們在回歸課本中積累知識，提煉方法，形成能力歸課本中積累知識，提煉方法，形成能力在解答本題容易出錯的地方：一是忽視了由在解答本題容易出錯的地方：一是忽視了由Sn求求an時的分段，沒有辦法求出時的分段，沒有辦法求出r的值；二是在用錯位相減求和時忽視了對的值；二是在用錯位相減求和時忽視了對“開頭的項開頭的項”和和“結(jié)尾的項結(jié)尾的項”的的仔細(xì)處理，計算漏項或添項在解決這類數(shù)列問題時一定要有分類的思想，仔細(xì)處理，計算漏項或添項在解決這類數(shù)列問題時一定要有分類的思想，在進(jìn)行計算時要注意做到不漏項也不添加項在進(jìn)行計算時要注意做到不漏項也不添加項【技巧點撥技巧點撥】已知已知