1、第3章 二階線性常系數(shù)微分方程1.考慮兩個(gè)參數(shù)的線性方程組若分別是鞍點(diǎn)、匯、源，試在平面上確定出相應(yīng)的區(qū)域。解：方程的特征方程為. 解得特征根為。需分類討論：（I）當(dāng)時(shí)，知。（i）當(dāng)，即時(shí)，是匯。（ii）當(dāng)，即時(shí)，是鞍點(diǎn)。（ii）當(dāng)，即時(shí)，是源。（II）當(dāng)時(shí)，知。（i）當(dāng)，即時(shí)，是匯。（ii）當(dāng)，即時(shí)，是鞍點(diǎn)。（ii）當(dāng)，即時(shí)，是源。圖3-12.求解下列給定二階微分方程的通解: （1）解：方程的特征方程為. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令得 由此得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。（2）解：特

2、征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。（3）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。（4）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得 由此得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。（5）解：特征方程：.

3、解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。（6）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。3. 求解下列初值問題: （1）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得 由此得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。由已知初

4、值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為 。（2）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。由已知初值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為 。（3）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。由已知初值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為 。（4）解：特征方程：. 解得特征根為.

5、因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得 由此得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。由已知初值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為 。（5）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。由已知初值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為 。（6）解：特征方程：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。 設(shè)為常數(shù)，使得 。將上式兩端求導(dǎo)得 。令，得。因此，與

6、線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，原方程的通解為 。由已知初值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為 。4.考慮簡諧振動(dòng)模型，考慮當(dāng)b變化時(shí)。軌線趨于原點(diǎn)速度的變化。解：齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為。下面分幾種情況討論。2（1）當(dāng)時(shí)，特征值為正實(shí)數(shù)或者為實(shí)部為大于零的復(fù)數(shù)，可知解的軌線遠(yuǎn)離原點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，特征值為，方程的通解為，軌線為以圓點(diǎn)為中心的圓。（3）當(dāng)時(shí)，特征值為，令，特征值為，則方程的通解為。令，則。解的周期為，其振幅隨時(shí)間的增長逐漸減少。此時(shí)，簡諧振的為小阻尼振動(dòng)，平衡點(diǎn)為螺旋匯。（4）當(dāng)時(shí)，特征值，方程的通解為。此時(shí)，簡諧振動(dòng)為臨界阻尼振動(dòng)，

7、軌線趨向原點(diǎn)并與特征向量所在直線相切，平衡點(diǎn)為臨界匯，不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象。（5）當(dāng)時(shí)，特征值為，方程的通解為。此時(shí)，簡諧振動(dòng)為大阻尼的振動(dòng)，平衡點(diǎn)為匯，不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象。5.求下列二階常系數(shù)微分方程的通解.（1）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解并且線性無關(guān)。則由二階齊次常系數(shù)微分方程解的線性原理知，齊次方程方程的通解為 。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端為冪函數(shù)，則取，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 （2）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：.

8、 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端為冪函數(shù)，令，代入方程后比較系數(shù)得 ，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 。（3）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端函數(shù)包括，而且2是二重根，則令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 。（4）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解

9、得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端函數(shù)包括，而且-3是二重根，則令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 。6.求下列二階常系數(shù)微分方程的通解.（1）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端包括，則取，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 （2）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解

10、齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程包括，令，代入方程后比較系數(shù)得則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 。（2）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。下求非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程包括，考慮右邊函數(shù)為時(shí)，令，代入方程后比較系數(shù)得則求得，對(duì)應(yīng)的實(shí)部函數(shù)為非齊次方程的一個(gè)特解。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 。（4）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次

11、方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。下求設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程包括，考慮右邊函數(shù)為時(shí)，由于為二重特征根，則令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得，對(duì)應(yīng)的虛部函數(shù)為非齊次方程的一個(gè)特解。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為。7.求下列二階常系數(shù)微分方程的通解.（1）解：（I）當(dāng)時(shí) 直接積分計(jì)算得方程得解為。（II）當(dāng)時(shí)，先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。下求設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原

12、方程包括，需要考慮以下兩種情況：（i） 當(dāng)時(shí)令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則原非齊次方程的通解為 。（ii） 當(dāng)時(shí) 令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得則原非齊次方程的通解為。（1）解：（I）當(dāng)時(shí) 直接積分計(jì)算得方程得解為。（II）當(dāng)時(shí)，先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為. 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。下求設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則原非齊次方程的通解為 。（3）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方

13、程的通解為 。下求非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端包括，考慮右邊為時(shí)，令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得，對(duì)應(yīng)的實(shí)部為非齊次方程的一個(gè)特解。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為 。（4）解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解齊次方程的特征方程為：. 解得特征根為 因此， 為齊次方程的兩個(gè)解。則二階齊次常系數(shù)微分方程的通解為 。下求非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端包括，令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為。8.求方程的解。解：先求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為。設(shè)非齊次方程的的一個(gè)特解為，由于原方程右端函數(shù)包括，則令，代入方程后比較系數(shù)得，則求得。則有非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)知，原非齊次方程的通解為。由已知初值條件，則有 由此得則原方程滿足初值條件的特解為。9.設(shè)是的解，其中為常數(shù)。函數(shù)在上連續(xù)。試證 （1）當(dāng)時(shí)，可以找到常數(shù)使得；（2）當(dāng)時(shí)，方程的通解可以表示為，其中為任意常數(shù)。證明：先考慮求原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為。齊次方程的特征方程為：. （1）當(dāng)時(shí)，解得特征根為一對(duì)共軛虛根。則二階齊次方程的通解為。用