1、2 2. .4 4. .2 2 拋物線的簡單幾何性質拋物線的簡單幾何性質 雙基達標 限時 20 分鐘 1經過拋物線y22x的焦點且平行于直線 3x2y50 的直線l的方程是 ( ) a6x4y30 b3x2y30 c2x3y20 d2x3y10 解析 設直線l的方程為 3x2yc0， 拋物線y22x的焦點f(12， 0)， 所以 31220 c0， 所以c32，故直線l的方程是 6x4ya. 答案 a 2過點(1，0)作斜率為2 的直線，與拋物線y28x交于a，b兩點，那么弦ab的長為 ( ) a213 b215 c217 d219 解析 不妨設a，b兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2

2、)，其中x1x2.由直線ab斜率為2， 且過點(1，0)得直線ab的方程為y2(x1)，代入拋物線方程y28x得 4(x1)28x， 整理得x24x10， 解得x12 3，x22 3， 代入直線ab方程得y122 3， y22 3a(23，223)，b(23，232) |ab|x1x22y1y22215. 答案 b 3拋物線y22px(p0)，過其焦點且斜率為 1 的直線交拋物線于a，b兩點，假設線段ab的中點的縱坐標為 2， 那么該拋物線的準線方程為 ( ) ax1 bx1 cx2 dx2 解析 拋物線的焦點為f(p2，0)，所以過焦點且斜率為 1 的直線方程為yxp2，即xy p2，代入y

3、22px得y22p(yp2)2pyp2，即y22pyp20，由根與系數的關系得 y1y22p2(y1，y2分別為點a，b的縱坐標)，所以拋物線方程為y24x，準線方程為x 1. 答案 b 4拋物線頂點在坐標原點，以y軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為 16，那么拋物線方程為_ 解析 過焦點且與對稱軸y軸垂直的弦長等于p的 2 倍 所求拋物線方程為x216y. 答案 x216y 5o為坐標原點，f為拋物線y24x的焦點，a是拋物線上一點，假設oaaf4，那么點a的坐標是_ 解析 拋物線的焦點為f(1，0)，設a(y024，y0)， 那么oa(y024，y0)，af(1y024，y0)， 由o

4、aaf4，得y02， 點a的坐標是(1，2)或(1，2) 答案 (1，2)或(1，2) 6求適合以下條件的拋物線的標準方程： (1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，頂點到準線的距離為 4； (2)頂點是雙曲線 16x29y2144 的中心，準線過雙曲線的左頂點，且垂直于坐標軸 解 (1)由拋物線的標準方程對應的圖形易知：頂點到準線的距離為p2，故p24，p8.因此，所求拋物線的標準方程為y216x或x216y. (2)雙曲線方程 16x29y2144 化為標準形式為x29y2161，中心為原點，左頂點為(3，0)，故拋物線頂點在原點，準線為xy22px(p0)，可得p23，故p6.因此，所求拋物線

5、的標準方程為y212x. 綜合提高限時 25 分鐘 7直線yk(x2)(k0)與拋物線c：y28x相交于a，b兩點，f為c的焦點假設|fa|2|fb|，那么k ( ) a.13 b.23 c.23 d.223 解析 設a(x1，y1)，b(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20， 由ykx2，y28x，得k2x2(4k28)x4k20， x1x24， |fa|x1p2x12， |fb|x2p2x22，且|fa|2|fb|， x12x22. 由得x21， b(1，22)，代入yk(x2)，得k223.應選 d. 答案 d 8過拋物線y22px(p0)的焦點f的直線與拋物線相交于m，n兩

6、點，自m，n向準線l作垂線，垂足分別為m1，n1，那么m1fn1等于 ( ) a45 b60 c90 d120 解析 如圖，由拋物線的定義， 得|mf|mm1|，|nf|nn1|. mfm1mm1f， nfn1nn1f. 設準線l與x軸的交點為f1， mm1ff1nn1， mm1fm1ff1， nn1fn1ff1. 而mfm1m1ff1nfn1n1ff1180， 2m1ff12n1ff1180，即m1fn190. 答案 c 9邊長為 1 的等邊三角形aob，o為原點，abx軸，以o為頂點，且過a，b的拋物線方程是_ 解析 該等邊三角形的高為32.因而a點坐標為32，12或32，12.可設拋物線

7、方 程為y22px(p0)a在拋物線上，因而p312.因而所求拋物線方程為y236x. 答案 y236x 10設拋物線c的頂點在坐標原點，焦點為f(1，0)直線l與拋物線c相交于a、b兩點，假設ab的中點為(2，2)，那么直線l的方程為_ 解析 拋物線的方程為y24x， 設直線l與拋物線c的交點a(x1，y1)，b(x2，y2)， 那么有x1x2，y124x1，y224x2. 兩式相減得，y12y224(x1x2)， y1y2x1x24y1y21， 直線l的方程為y2x2，即yx. 答案 yx 11頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y2x1 截得的弦長為 15，求拋物線的方程 解 設拋物線

8、的方程為y22px， 那么y22px，y2x1，消去y，得 4x2(2p4)x10，設a(x1，y1)，b(x2，y2)， x1x2 p22，x1x214. |ab|1k2|x1x2| 5 x1x224x1x2 5p22241415. 那么p24p3，p24p120， p2 或 6.y24x或y212x. 12 (創新拓展)如圖， aob的一個頂點為拋物線y22x的頂點o，a、b兩點都在拋物線上，且aob90. (1)證明直線ab必過一定點； (2)求aob面積的最小值 (1)證明 設oa所在直線的方程為ykx(k0)，那么直線ob的方程為y1kx， 由ykx，y22x，解得x0，y0，或x2k2，y2k， 即a點的坐標為(2k2，2k) 同樣由y1kx，y22x，解得b點的坐標為(2k2，2k) ab所在直線的方程為y2k2k2k2k22k2(x2k2)， 化簡并整理，得(1kk)yx2. 不管實數k取任何不等于 0 的實數，當x2 時，恒有y0. 故直線過定點p(2，0) (2)解 由于ab所在直線過定點p(2，0)，所以可設ab所在直線的方程為xmy2. 由xmy2，y