1、38直接證明與間接證明導學目標： 1.了解直接證明的兩種根本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程及特點.2.了解間接證明的一種根本方法反證法，了解反證法的思考過程及特點自主梳理1直接證明(1)綜合法定義：利用條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的_，最后推導出所要證明的結論_，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(其中p表示條件，q表示要證的結論)(2)分析法定義：從_出發，逐步尋求使它成立的_，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(條件、定理、定義、公理等)這種證明的方法叫做分析法框圖表示：.2間接證明自我檢測1分析法是從要證的結論出發，尋求使它成立的()a充

2、分條件 b必要條件c充要條件 d既不充分又不必要條件2(·揭陽模擬)用反證法證明“如果a>b，那么>的假設內容應是()a. b.<c.且< d.或<3設a、b、c是互不相等的正數，那么以下不等式中不恒成立的是()a|ac|ab|cb|ba2ac.<d|ab|24(·廣東)在集合a，b，c，d上定義兩種運算和如下：那么d(ac)等于()aa bb cc dd5(·東北三省四市聯考)設x、y、zr，ax，by，cz，那么a、b、c三數()a至少有一個不大于2 b都小于2c至少有一個不小于2 d都大于2探究點一綜合法例1a，b，c都是

3、實數，求證：a2b2c2(abc)2abbcca.變式遷移1設a，b，c>0，證明：abc.探究點二分析法例2(·馬鞍山月考)假設a，b，c是不全相等的正數，求證：lg lg lg >lg alg blg c.變式遷移2a>0，求證： a2.探究點三反證法例3假設x，y都是正實數，且xy>2，求證：<2與<2中至少有一個成立變式遷移3假設a，b，c均為實數，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a，b，c中至少有一個大于0.轉化與化歸思想的應用例(12分)(·上海改編)假設實數x、y、m滿足|xm|ym|，那么稱x比y遠離m.(1)

4、假設x21比1遠離0，求x的取值范圍(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3b3比a2bab2遠離2ab.(2)第(2)小題，實質是證明不等式|a3b32ab|>|a2bab22ab|成立證明時注意提取公因式及配方法的運用【答題模板】(1)解由題意得1，即x211或x211.2分由x211，得x22，即x或x；由x211，得x.綜上可知x的取值范圍為(，)(，)4分(2)證明由題意知即證成立6分ab，且a、b都為正數，(ab)2，ab()2(ab)2，8分即證(ab)2(ab)20，即證(abab)(abab)0，需證0，10分即證(ab)(ab)20，a、b都為正數且ab，【突破

5、思維障礙】1準確理解題意，提煉出相應不等式是解決問題的關鍵2代數式|a3b32ab|與|a2bab22ab|中的絕對值符號去掉為后續等價變形提供了方便【易錯點剖析】1推理論證能力較差，絕對值符號不會去2運用能力較差，不能有效地進行式子的等價變形或中間變形出錯1綜合法是從條件推導到結論的思維方法，它是從條件出發，經過逐步的推理，最后到達待證的結論即由因導果2分析法是從待證結論出發，一步一步地尋求結論成立的充分條件，最后到達題設的條件或已被證明的事實即執果索因，用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫，這樣比擬有條理，叫分析綜合法3用反證法證明問題的一般步驟：(2)歸謬：將“反設作為條件，由此出發經過

6、正確的推理，導出矛盾與條件、的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導矛盾)(3)結論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設的謬誤既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立(結論成立)(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)ax2bxc0 (a0)有有理數根，那么a、b、c中至少有一個是偶數時，以下假設中正確的選項是()a假設a、b、c都是偶數b假設a、b、c都不是偶數c假設a、b、c至多有一個偶數d假設a、b、c至多有兩個偶數2(·濟南模擬)a，b，c為互不相等的正數，且a2c22bc，那么以下關系中可能成立的是()aa>b>c bb>c&

7、gt;acb>a>c da>c>b3設a、b、c(0，)，pabc，qbca，rcab，那么“pqr>0”是“p、q、r同時大于零的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分且必要條件 d既不充分也不必要條件4(·上海普陀2月統考)a、b是非零實數，且a>b，那么以下不等式中成立的是()a.<1 ba2>b2c|ab|>|ab| d.>5(·廈門月考)如果a1b1c1的三個內角的余弦值分別等于a2b2c2的三個內角的正弦值，那么()aa1b1c1和a2b2c2都是銳角三角形ba1b1c1和a2b2c2都是鈍角

8、三角形ca1b1c1是鈍角三角形，a2b2c2是銳角三角形da1b1c1是銳角三角形，a2b2c2是鈍角三角形二、填空題(每題4分，共12分)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)，如果對于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|<.那么他的反設應該是_7對于任意實數a，b定義運算a*b(a1)(b1)1，給出以下結論：對于任意實數a，b，c，有a*(bc)(a*b)(a*c)；對于任意實數a，b，c，有a*(b*c)(a*b)*c；對于任意實數a，有a*0a.那么以上結論正確的選項是_(寫出你認為正確的結論的所有序號

9、)8(·揭陽模擬)三棱錐sabcbc平面sac；平面sbc平面sab；sbac.三、解答題(共38分)9(12分)非零向量a、b，ab，求證：.10(12分)(·寧波月考)a、b、c>0，求證：a3b3c3(a2b2c2)(abc)11(14分)(·寧波月考)a、b、c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同時大于.38直接證明與間接證明自主梳理1(1)推理論證成立(2)要證明的結論充分條件2不成立矛盾自我檢測1a由分析法的定義可知2d因為>的否認是，即或<.3dd選項成立時需得證ab>0.a中|ab|cb|(ab)(cb

10、)|ac|，b作差可證；c移項平方可證4a由所給的定義運算知acc，dca.5cabcxyz6，因此a、b、c至少有一個不小于2.課堂活動區例1解題導引綜合法證明不等式，要特別注意根本不等式的運用和對題設條件的運用這里可從根本不等式相加的角度先證得a2b2c2abbcca成立，再進一步得出結論證明a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，三式相加得a2b2c2abbcca，3a23b23c2(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.a2b2c2(abc)2；a2b2c2abbcca，a2b2c22(abbcca)abbcca2(abbcca)，(abc)23(abbcca)變式遷移

11、1證明a，b，c>0，根據根本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)即abc.例2解題導引當所給的條件簡單，而所證的結論復雜，一般采用分析法含有根號、對數符號、絕對值的不等式，假設從題設不易推導時，可以考慮分析法證明要證lglglg>lg alg blg c，只需證lg>lg(a·b·c)，只需證··>abc.(中間結果)因為a，b，c是不全相等的正數，那么>0，>0，>0.且上述三式中的等號不全成立，所以··>abc.(中間結果)所以lglglg>lg a

12、lg blg c.變式遷移2證明要證 a2，只要證 2a.a>0，故只要證 22，即a24 4a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而該不等式顯然成立，故原不等式成立與條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器(2)利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用此題的結論證明的定理，否那么，將出現循環論證的錯誤證明假設<2和<2都不成立，那么有2和2同時成立，因為x>0且y>0，所以1x2y，且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2，這與條件xy>

13、;2相矛盾，因此<2與<2中至少有一個成立變式遷移3證明假設a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.ax22y，by22z，cz22x，x22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)2(3)0，又(x1)2(y1)2(z1)20，3>0，(x1)2(y1)2(z1)2(3)>0.式與式矛盾，假設不成立，即a，b，c中至少有一個大于0.課后練習區1b2c由a2c2>2ac2bc>2acb>a，可排除a、d，令a2，c1，可得b，可知c可能成立3c必要性是顯然成立的，當pqr>0時，假設p、q、r不同時大于零，那么其中兩個為負，一個為正，不妨

14、設p>0，q<0，r<0，那么qr2c<0，這與c>0矛盾，即充分性也成立4d<1<0a(ab)>0.a>b，aba可能大于0，也可能小于0，因此a(ab)>0不一定成立，即a不一定成立；a2>b2(ab)(ab)>0，ab>0，只有當ab>0時，a2>b2成立，故b不一定成立；|ab|>|ab|(ab)2>(ab)2ab>0，而ab<0也有可能，故c不一定成立；由于>>0(ab)a2b2>0.a，b非零，a>b，上式一定成立，因此只有d正確5d由條件知，a

15、1b1c1的三個內角的余弦值均大于0，那么a1b1c1是銳角三角形，假設a2b2c2是銳角三角形，由得那么，a2b2c2，這與三角形內角和為相矛盾，所以假設不成立，所以a2b2c2是鈍角三角形6“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，那么|f(x1)f(x2)|7解析按新定義，可以驗證a*(bc)(a*b)(a*c)；所以不成立；而a*(b*c)(a*b)*c成立，a*0(a1)(01)1a.所以正確的結論是.8解析由三視圖知，在三棱錐sabc中，底面abc為直角三角形且acb90°，即bcac，又sa底面abc，bcsa，由于saaca，bc平面sac

16、.正確由推證不出.9證明ab，a·b0.(2分)要證，只需證：|a|b|ab|，(4分)平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22a·b)，(8分)只需證：|a|2|b|22|a|b|0，(10分)即(|a|b|)20，顯然成立故原不等式得證. (12分)10證明a2b22ab，a、b、c>0，(a2b2)(ab)2ab(ab)，(3分)a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.(6分)同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，將三式相加得，2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.(9分)3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2