1、導數題型分類（A）題型一：導數的定義及計算、常見函數的導數及運算法則（一）導數的定義：函數在處的瞬時變化率稱為函數在處的導數，記作或，即如果函數在開區間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數。稱這個函數為函數在開區間內的導函數，簡稱導數，也可記作，即導數與導函數都稱為導數，這要加以區分：求一個函數的導數，就是求導函數；求函數在處的導數，就是導函數在處的函數值，即。例1.函數處的導數為A，求。例2。（二）常見基本初等函數的導數公式和運算法則 ：； ； 法則1： 法則2： 法則3： （理）復合函數的求導：若，則如，_;_公式的特例：_; _, _.題型二

2、：利用導數幾何意義及求切線方程導數的幾何意義：函數在處的導數是曲線上點()處的切線的斜率.因此，如果存在，則曲線在點（）處的切線方程為_例1若函數滿足，則的值 例2設曲線在點處的切線與直線垂直，則 練習題1曲線在點處的切線方程是 2若曲線在P點處的切線平行于直線，則P點的坐標為 （1，0） 3若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 4求下列直線的方程：（注意解的個數） （1）曲線在P(-1,1)處的切線； （2）曲線過點P(3,5)的切線；解：（1） 所以切線方程為 （2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設切點為，則又函數的導數為，所以過點的切線的斜率為，又切線過、P(3,5)點，所以有，

3、由聯立方程組得，即切點為（1，1）時，切線斜率為；當切點為（5，25）時，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為5設P為曲線C：yx22x3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為0，則點P橫坐標的取值范圍為()A1， B1,0 C0,1 D，16.下列函數中，在（0，+）上為增函數的是（ ）A.y=sinx B. C. D.y=ln(1+x)x7. 設f(x),g(x)是R上的可導函數，分別為f(x),g(x)的導數，且，則當a<x<b時，有（ ）A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(x)>f(b)g(b)C.f(x)g(a)>f(

4、a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)題型三：利用導數研究函數的單調性1. 設函數在某個區間（a,b）內有導數，如果在這個區間內，則在這個區間內單調遞增；如果在這個區間內，則是這個區間內單調遞減.2. 求函數的單調區間的方法： （1）求導數； （2）解方程；（3）使不等式成立的區間就是遞增區間，使成立的區間就是遞減區間3.若函數在區間上單調遞增，則在恒成立.例：1.函數yxcosxsinx在下面哪個區間內是增函數（ ）（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）(2，3)2. 函數f(x)=xlnx(x>0)的單調遞增區間是_.3.已知函數在R上單調遞增,則的取值范圍

5、是_.題型四：利用導數研究函數的極值、最值。1 在區間上的最大值是 2 2已知函數處有極大值，則常數c 6 ；3函數有極小值 1 ,極大值 3 yxO12-14已知函數f (x)的導函數的圖象如右圖所示，那么函數f (x)的圖象最有可能的是( )yxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO12-2D5.已知函數有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是（ ）A.-1a2 B.a-3或a6 C.-3a6 D.a-1或a2作業和練習：1.已知函數在區間（，1）上有最小值，則函數在區間（1，+）上一定（ ）A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數 D.是增函數2已知函數在處取得極值，求過點A(

6、0，16)作曲線y=f(x)的切線，求該切線的方程.3已知函數（1）求f(x)的最小值（2）若對所有x1都有f(x)ax-1,求a的取值范圍.4 已知函數 其中a為大于零的常數. （1）當a=1時，求函數f(x)的單調區間和極值 （2）當 時，不等式 恒成立，求a的取值范圍.5已知函數的切線方程為y=3x+1 （）若函數處有極值，求的表達式； （）在（）的條件下，求函數在3，1上的最大值； （）若函數在區間2，1上單調遞增，求實數b的取值范圍 解：（1）由過的切線方程為： 而過故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）當 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上單調遞增，又由知2

7、a+b=0。 依題意在2，1上恒有0，即 當；當；當 綜上所述，參數b的取值范圍是6已知三次函數在和時取極值，且(1) 求函數的表達式；(2) 求函數的單調區間和極值；(3) 若函數在區間上的值域為，試求、應滿足的條件解：(1) ，由題意得，是的兩個根，解得，再由可得(2) ，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，函數在區間上是增函數；在區間上是減函數；在區間上是增函數函數的極大值是，極小值是(3) 函數的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，所以，函數在區間上的值域為（）而，即于是，函數在區間上的值域為令得或由的單調性知，即綜上所述，、應滿足的條件是：，且7已知函數，（）設函

8、數，求函數的單調區間；()若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍8設函數（1）若的圖象與直線相切，切點橫坐標為，且在處取極值，求實數 的值；（2）當b=1時，試證明：不論a取何實數，函數總有兩個不同的極值點 解：（1） 由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）當b=1時，因故方程有兩個不同實根不妨設，由可判斷的符號如下：當；當；當因此是極大值點，是極小值點，當b=1時，不論a取何實數，函數總有兩個不同的極值點。題型五：利用導數研究函數的圖象1如右圖：是f（x）的導函數， 的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函數( A )xyo4-424-4

9、2-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3題型六：利用單調性、極值、最值情況，求參數取值范圍1設函數 （1）求函數的單調區間、極值.（2）若當時，恒有，試確定a的取值范圍.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-極小極大 在（a，3a）上單調遞增，在（-，a）和（3a，+）上單調遞減時，時， （2），對稱軸，在a+1，a+2上單調遞減 ，依題， 即解得，又 a的取值范圍是2已知函數f（x）x3ax2bxc在x與x1時都取得極值（1）求a、b的值

10、與函數f（x）的單調區間（2）若對xÎ1，2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f¢（x）3x22axb由f¢（），f¢（1）32ab0得a，b2f¢（x）3x2x2（3x2）（x1），函數f（x）的單調區間如下表：x（¥，）（，1）1（1，¥）f¢（x）00f（x）­極大值¯極小值­所以函數f（x）的遞增區間是（¥，）與（1，¥），遞減區間是（，1）（2）f（x）x3x22xc，xÎ1，2，當x時，f（

11、x）c為極大值，而f（2）2c，則f（2）2c為最大值。要使f（x）<c2（xÎ1，2）恒成立，只需c2>f（2）2c，解得c<1或c>2題型七：利用導數研究方程的根1已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同時為零的實數k和t，使=+(t23)，=-k+t，試求函數關系式k=f(t) ；(2) 據(1)的結論，討論關于t的方程f(t)k=0的解的情況.解：(1)，=0 即+(t2-3) ·(-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)·=0 =0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(

12、t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點個數. 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當t變化時，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當t=1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=函數f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當k或k時,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)當k=或k=時,方程f(t)k=0有兩

13、解；(3) 當k時,方程f(t)k=0有三解. 2已知函數的單調減區間為（0，4） （I）求的值； （II）若對任意的總有實數解，求實數的取值范圍。解：（I） 又4分 （II）且12分題型八：導數與不等式的綜合1設在上是單調函數.（1）求實數的取值范圍；（2）設1，1，且，求證：.解：（1） 若在上是單調遞減函數，則須這樣的實數a不存在.故在上不可能是單調遞減函數.若在上是單調遞增函數，則，由于.從而0<a3.（2）方法1、可知在上只能為單調增函數. 若1，則 若1矛盾，故只有成立.方法2：設，兩式相減得 1,u1，2已知為實數，函數（1）若函數的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2

14、）若，（）求函數的單調區間（）證明對任意的，不等式恒成立解：，函數的圖象有與軸平行的切線，有實數解 ，所以的取值范圍是，由或；由的單調遞增區間是；單調減區間為易知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值對任意，恒有3已知函數(1)當時，判斷在定義域上的單調性; (2)若在上的最小值是，求的值;(3)設，若在上恒成立，求的取值范圍.題型九：導數在實際中的應用1請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設OO1為，則由題設可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：）故底面正六邊

15、形的面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導得。令，解得（不合題意，舍去），當時，為增函數；當時，為減函數。當時，最大。答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為。2統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗沒（升）。（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得令得當時，是減函數；當時，是增函數。當時