1、選考部分選考部分知識體系知識體系1.1.幾何證明選講幾何證明選講2.2.曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程3.3.參數(shù)方程參數(shù)方程4.4.坐標系與坐標變換坐標系與坐標變換5.5.框圖框圖6.6. 特征值與特征向量特征值與特征向量 矩陣的簡單應(yīng)用矩陣的簡單應(yīng)用7 7 逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣8.8.變換的復(fù)合與矩陣的乘法變換的復(fù)合與矩陣的乘法9.9.幾種常見的平面變換幾種常見的平面變換10.10.二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量11.11.微積分基本定理與應(yīng)用微積分基本定理與應(yīng)用12.12.曲邊梯形的面積與定積分曲邊梯形的面積與定積分1.1.幾何證明選講幾何證明選講 第一節(jié)第一節(jié) 三角形三

2、角形一考綱要求一考綱要求了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理。 二知識梳理二知識梳理1平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段 推論 1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 推論 2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于 ，并且等于 2平行線分線段成比例定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段 結(jié)論 1：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線

3、，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊 結(jié)論 2：三角形的一個內(nèi)角平分線分對邊所成的兩條線斷于這個角的兩邊 。 結(jié)論 3：若一條直線截三角形的兩邊（或其延長線）所得對應(yīng)線段成比例，則此直線與三角形的第三邊 3 相似三角形的判定定理：（1） （SAS） （2） (SSS) （3）(AA) 推論：如果一條直線與三角形的一邊平行，且與三角形的另兩條邊相交，則 相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形的對應(yīng)線段的比等于 ，面積比等于 4 直角三角形的射影定理：直角三角形一條直角邊的平方等于 ，斜邊上的高等于 三診斷練習三診斷練習1如圖 1，321/lll，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，則 DM

4、= ，EK= ，F(xiàn)K= 2如圖 2，AB 是斜靠在墻壁上的長梯，梯腳 B 距墻 80cm，梯上點 D 距墻 70cm，BD 長55cm，則梯子的長為 cm3如圖 3，ABC 中，1=B，則 此時若 AD=3，BD=2，則 AC= 4如圖 4，CD 是 RtABC 的斜邊上的高（1）若 AD=9，CD=6，則 BD= ；（2）若 AB=25，BC=15，則 BD= 四范例導析四范例導析例例 1 1 如圖 5，等邊DEF內(nèi)接于ABC，且DE/BC，已知BCAH 于點H，BC4，AH3，求DEF的邊長圖 5AMCEKFBDl1l2l3圖 1ADB圖 2ACBD1圖 3ABCD圖 4BCADFHE例例

5、 2 2 如圖 6，在 ABC 中，作直線 DN 平行于中線 AM，設(shè)這條直線交邊 AB 與點 D，交邊 CA的延長線于點 E，交邊 BC 于點 N求證：ADAB=AEAC 例例 3 3 如圖 7，E，F(xiàn) 分別是正方形 ABCD 的邊 AB 和 AD 上的點，且31ADAFABEB求證：AEF=FBD五當堂反饋五當堂反饋1如圖 8，ABC 中，點 D 為 BC 中點，點 E 在 CA 上，且 CE=21EA，AD，BE 交于點 F，則AF:FD= 2一個等腰梯形的周長是 80cm，如果它的中位線長與腰長相等，它的高是 12cm，則這個梯形的面積為 cm23兩個三角形相似，它們的周長分別是 12

6、 和 18，周長較小的三角形的最短邊長為 3，則另一個三角形的最短邊長為 4如圖 9，已知1=2，請補充條件： （寫一個即可） ，使得ABCADEABCDME圖 6NABCDFE圖 8ACB圖 9E12ABCDMFE圖 7第二節(jié)第二節(jié) 直線和圓直線和圓一考綱要求一考綱要求1理解圓周角定理及其推論；掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解弦切角定理及其推論；2掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理；理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理二知識梳理二知識梳理1圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 的度數(shù) 推論 1：同弧或等弧所對的圓周角 ；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的

7、弧 推論 2：半圓（或直徑）所對的圓周角是 ；90的圓周角所對的弦是 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的 2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角 ；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的 如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點 3切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的 推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 ；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的 4相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦， 的積相等。 割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線， 的兩條線段長的積

8、相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是 的比例中項。 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長 ；圓心和這點的連線平分 的夾角。三診斷練習三診斷練習1、如圖 10，點 P 是O 的直徑 BA 延長線上一點，PC 與O 相切于點 C，CDAB，垂足為D，連結(jié) AC、BC、OC，那么下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)有 個PC2=PAPB；PCOC=OPCD；OA2=ODOP；OA（CPCD）=APCD2、AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為P，若APPB14，CD8，則直徑AB的長是 AODPCB圖 103、如圖 11，AB 是O 的直徑，P 是 AB 延長線上一點，PC 切O

9、于點 C，PC=3，PB=1，則O 的半徑為 4、如圖 12，圓O上的一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為 四范例導析四范例導析例例 1 1 如圖 13，AB是O的直徑，C是O外一點，且ACAB，BC交O于點D已知BC4，AD6，AC交O于點E，求四邊形ABDE的周長例例 2 2 如圖 14，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交ABC的外接圓于點F，連接FB，F(xiàn)C（1）求證：FBFC；（2）若AB是ABC的外接圓的直徑，EAC 120，BC6，求AD的長例例 3 3 如圖 15，1和O2都經(jīng)過 A、B 兩點，經(jīng)過點 A 的直線 CD

10、 與O1交于點 C，與O2交于點 D經(jīng)過點 B 的直線 EF 與O1交于點 E，與O2交于點 F求證：CEDFABPC圖 11OO2O1FEDCBA圖 15ADOCB圖 12ABOECD圖 13ABFCDE圖 14五當堂反饋五當堂反饋1、下列命題中錯誤的是 （1）過一個圓的直徑兩端點的兩條切線互相平行（2）直線 AB 與O 相切于點 A，過 O 作 AB 的垂線，垂足必是 A（3）若同一個圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)切點所得的線段是該圓的直徑（4）圓的切線垂直于半徑2、如圖 17，已知 AB 是O 的弦，AC 切O 于點 A，BAC=60，則ADB 的度數(shù)為 3、如圖 18，PA 與圓切于點

11、A，割線 PBC 交圓于點 B、C，若 PA=6，PB=4，AB 的度數(shù)為60，則 BC= ，PCA= ，PAB= 4、如圖 19，ABC是O的內(nèi)接三角形，PA是O的切線，PB交AC于點E，交O于點D，若PEPA，60ABC，PD1，BD8，則線段BC= 參考答案參考答案第一節(jié)第一節(jié) 三角形三角形三診斷練習三診斷練習1DM=7.5，EK=6，F(xiàn)K=10 24403ACD，ABC，15 4.4，9四范例導析四范例導析例 1 解: 設(shè)等邊DEF的邊長為x，則它的高為x23， 因為DE/BC，所以32334xx，解得x=34例 2 證明：AMEN， ADAB=NMMB，NMMC=AEAC MB=MC

12、， ADAB=AEAC例 3 證明：過點 F 作 FMBD 于點 M設(shè)正方形的邊長為 a，則 BD=2aBADCO圖 17BCAP圖 18APCBED圖 19 31ADAFABEB，EB=AF=31a，AE=DF=32a 在 RtDMF 中，EM=DM=22DF=32a，BM=2a32a=322a 在 RtAEF 和 RtMBF 中， 213231aaAEAF，21a232a32BMFM，A=BMF=90， AEFMBFAEF=FBD五當堂反饋五當堂反饋1.AF:FD=4:1 2.240 3.29 4.B=D（或C=E，或ABADACAE）第二節(jié)第二節(jié) 直線和圓直線和圓三診斷練習三診斷練習1.

13、4 2.10 3.4 4.10四范例導析四范例導析例 1 解: 因為AB是O的直徑，所以BCAD ，所以AD是ABC的中線，所以ABAC102BDDC2，由CBDEC，所以DEDC2由CECA=CDCB,得 CE5102，所以10585102102AE例 2 證明 :（1）因為AD平分EAC，所以EADDAC因為四邊形AFBC內(nèi)接于圓，所以FBCDAC，所以FCBFABEAD，所以FCBFBC，所以FBFC（2）因為AB是ABC的外接圓的直徑，所以90ACD因為EAC=120，所以1602DACEAC，30D在 RTACB中，因為BC6，60BAC，所以2 3AC 又在 RTACD中，30D，

14、2 3AC ，所以4 3AD 例 3 證明：連結(jié) ABABEC 是O1的內(nèi)接四邊形， BAD=E ADFB 是O2的內(nèi)接四邊形， BADF=180 EF=180 CEDF五當堂反饋五當堂反饋1.（4） 2.120. 3.5,30,30. 4.72 隨堂鞏固練習（隨堂鞏固練習（1 1）1 如圖 1，已知：ACAB，BDAB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，則 CO= cm，DO= cm2已知，如圖 2，AAEE，AB=BC=CD=DE，AB=BC=CD=DE，若AA=28mm，EE=36mm，則 BB= ，CC= ，DD= 3如圖 3，EFBC，F(xiàn)DAB，AE=1.8cm,BE

15、=1.2cm,CD=1.4cm則 BD= 4已知，如圖 4，在平行四邊形 ABCD 中，DB 是對角線，E 是 AB上一點，連結(jié) CE 且延長和 DA 的延長線交于 F，則圖中相似三角形的對數(shù)是 5如圖 5，在ABC 中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,則BD cm 6如圖 6，EDFGBC，且 DE，F(xiàn)G 把 ABC 的面積分為相等的三部分，若 BC=15，則 FG的長為 7如圖 7，已知矩形 ABCD 中，AEF=90，則下列結(jié)論一定正確的是 （1）ABFAEF （2）ABFCEF （3）CEFDAE （4）ADEAEF ABCDEEDCBA圖 2ABCD

16、FE圖 3AFEBCGD圖 4ADECBFG圖 6AOCBD圖 1圖 58如圖 8，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 中點，DEAB，垂足為E，B=30，AE=7則 DE 的長為 9若一個梯形的中位線長為 15，一條對角線把中位線分成兩條線段這兩條線段的比是3:2，則梯形的上、下底長分別是_10如圖 9，BD、CE是ABCV的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則:PQ BC= 11如圖 10，在ABC 中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F求證：ACAFABAE 12如圖 11，在梯形 ABCD 中，ADBC，E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點求證：GH=21（BCAD） 圖

17、 11BCDAEFGHABCDEF圖 7DACBE圖 8圖 9圖 1013已知：如圖 12，ABC中，ABAC，90BAC，D、E、F分別在AB、AC、BC上，ACAE31，13BDAB，且13CFBC求證：（1）EFBC；（2）ADEEBC 隨堂鞏固練習（隨堂鞏固練習（2 2）1如圖 1，AB=BC=CD，E=40，則ACD= 2如圖 2，已知O 的切線 PC 與直徑 BA 的延長線相交于點 P，C 是切點，過 A 的切線交PC 于 D，如果 CDPD=12，DA=2，那么O 的半徑 OC= 3如圖 3，ABC 內(nèi)接于O，AD 切O 于 A，BAD=60，則ACB= 4如圖 4，已知 AD=

18、AB，ADB=350，則BOC 等于 5如圖 5，ABCD 是O 的內(nèi)接四邊形，AC 平分BAD 并與 BD 交于 E 點，CF 切O 于 C 交AD 延長線于 F，圖中四個三角形：ACF；ABC；ABD；BEC，其中與 CDF一定相似的是 6O 中，弦 AB 平分弦 CD 于點 E，若 CD=16，AEBE=31，則 AB= 7AB 是O 的直徑，OA=2.5，C 是圓上一點，CDAB，垂足為 D，且 CD=2，則 AC= 8如圖 6，PAB 是O 的割線，AB=4，AP=5，O 的半徑為 6，則 PO= 9半徑為 5 的O 內(nèi)有一點 A，OA=2，過點 A 的弦 CD 被 A 分成兩部分，

19、則 ACCD= 10如圖 7，已知O的半徑OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中點，則弦BD的長度是BACOD圖 4OABCDF圖 5ABPO圖 6ABCDE圖 1APDCOB圖 2DBAC圖 3圖 12 11設(shè)圓1O與圓2O的半徑分別為 3 和 2，124OO ，,A B為兩圓的交點，試求兩圓的公共弦AB的長度12如圖 8，已知AP是O的切線，P為切點，AC是 O的割線，與O交于BC，兩點，圓心O在PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點（1）證明APOM，四點共圓；（2）求OAMAPM的大小 13如圖 9，已知：C 是以 AB 為直徑的半圓 O 上一點，CHAB 于點 H，直線 AC 與過 B 點的

20、切線相交于點D，E 為 CH 中點，連接 AE 并延長交 BD 于點 F，直線 CF 交直線 AB 于點 G，（1）求證：點 F 是 BD 中點；（2）求證：CG 是O 的切線；（3）若 FB=FE=2，求O 的半徑參考答案參考答案圖 7圖 8圖 9隨堂鞏固練習（隨堂鞏固練習（1 1）1103.35，55.65； 2:30mm，32mm，34mm； 32.1cm45 5359cm 656 7CEFDAE 8357. 912，18 101：411證明：ADBC，ADB 為直角三角形，又DEAB，由射影定理知，ABAEAD2同理可得ACAFAD2，ACAFABAE12證明：由條件得 EF 是梯形

21、ABCD 的中位線，則有 EFADBC，由平行線等分線段定理得 AH=HC，BG=GD，F(xiàn)H=21AD，F(xiàn)G=21BC，GH=FGFH=21（BCAD） 13證明：設(shè)3ABACa，則AEBDa，2CFa。 （1）.3232,32232aaCACFaaCBCE又C為公共角，故BACEFC，由90BAC得90EFC，EFBC （2）由（1）得2222 ,2222 2AEaADaEFaEFBFaa故，AEADEFBFDAE=BFE=90ADEFBE，ADE=EBC隨堂鞏固練習（隨堂鞏固練習（2 2）115 223 3120. 40140 563332. 75或 25. 89. 921 10. 10c

22、m11解：連AB交12OO于C，如圖,則12OOAB，且C為AB的中點，設(shè)ACx，則22129,4,OCxO Cx2212944OOxx，解得3 158x 故弦AB的長為3 1524x 12、 （1）連結(jié)OPOM，如圖因為AP與O相切于點P，所以O(shè)PAP因為M是O的弦BC的中點，所以O(shè)MBC于是180OPAOMA由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以APOM，四點共圓（2）連接OA，如圖由（1）得APOM，四點共圓，所以O(shè)AMOPM 由（1）得OPAP由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知90OPMAPM所以90OAMAPM13、解:(1)證明：CHAB，DBAB，AEHAFB，AC

23、EADF,FDCEAFAEBFEH，HEEC，BFFD (2)方法一：連接 CB、OC，AB 是直徑，ACB90F 是 BD 中點，BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACOOCF=90，CG 是O 的切線。方法二：可證明OCFOBF(略)(3)解：由 FC=FB=FE 得：FCE=FEC，可證得：FAFG，且 ABBG由切割線定理得：（2FG）2BGAG=2BG2 在 RtBGF 中，由勾股定理得：BG2FG2BF2 由、得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG16，F(xiàn)G22（舍去）ABBG24，O 半徑為 2。曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程【知識網(wǎng)絡(luò)】1. 曲線的極坐標方程的意義.2

24、. 直線、圓和圓錐曲線的極坐標方程.【典型例題】例 1.（1）化極坐標方程2cos0為直角坐標方程為 （C）A20y2x或1y B1x C20y2x或1x D1y 提示： 22(cos1)0,0,cos1xyx 或（2）在平面直角坐標系中，以點(1,1)為圓心，2為半徑的圓在以直角坐標系的原點為極點，以O(shè)x軸為極軸的極坐標系中對應(yīng)的極坐標方程為 （A）A2 2cos()4 B2 2sin()4C2 2cos(1) D2 2sin(1)提示：圓的直角坐標方程為22(1)(1)2xy，化為 極坐標方程為22(cos1)( sin1)2，2 2cos()04 ，曲線2 2cos()04也過極點，2

25、2cos()04 與2 2cos()04等價，對應(yīng)的極坐標方程為2 2cos()4.（3）極坐標方程cos2sin2表示的曲線為 （C）A一條射線和一個圓 B兩條直線C一條直線和一個圓 D一個圓提示：2cos4sincos ,cos0,4sin ,4 sin或即 則,2k或224xyy（4）極坐標方程分別為cos與sin的兩個圓的圓心距為_. 22 提示:圓心分別為1( ,0)2和1(0, )2（5）極坐標方程324cos表示的曲線是 . 雙曲線 提示：324cos等價于321 2cos，2e .例 2.設(shè)過原點O的直線與圓22(1)1xy的一個交點為P，點M為線段OP的中點，當點P在圓上移動

26、一周時，求點M軌跡的極坐標方程，并說明它是什么曲線.解：圓22(1)1xy的極坐標方程為2cos()22，設(shè)點P的極坐標為11(,) ，點M的極坐標為( , ) ，點M為線段OP的中點， 112 , ，將112 , 代入圓的極坐標方程，得cos. 點M軌跡的極坐標方程為cos()22，它表示原心在點1( ,0)2，半徑為12的圓.例 3. 過拋物線28yx的焦點F作傾斜角為4的直線，交拋物線于,A B兩點，求線段AB的長度.解：對此拋物線有1,4ep，所以拋物線的極坐標方程為41 cos，,A B兩點的極坐標分別為4和54，4|4(22)1 cos4FA， 4|4(22)51 cos4FB，

27、| | 16ABFAFB.線段AB的長度為16.例 4. 長為2a的線段，其端點在Ox軸和Oy軸正方向上滑動，從原點作這條線段的垂線，垂足為M，求點M的軌跡的極坐標方程（Ox軸為極軸） ，再化為直角坐標方程.解：設(shè)線段的端點分別為,A B且A在Ox軸正方向上， B在Oy軸的正方向上，設(shè)點M的極坐標為( , ) ，則OBMAOM ，且| 2 sinOAa，|cos2 sincossin2OAaa，點M的軌跡的極坐標方程為sin2 (0)2a.由sin2a可得322sincosa， 3222()2xyaxy其直角坐標方程為3222()2(0,0)xyaxy xy.【課內(nèi)練習】1.將極坐標方程2co

28、s216化為直角坐標方程是（C）A216x B216y C2216xy D2216yx提示：222222cos216(cossin)1616xy.2.極坐標方程cos20表示的曲線為 （D）A極點 B極軸 C一條直線 D兩條相交直線 提示：cos20,cos20,4k，為兩條相交直線3.圓5cos5 3sin的圓心坐標是 （A）A4( 5,)3 B( 5,)3 C(5,)3 D5( 5,)3 提示：圓的普通方程為2255 3()()2522xy，圓心為55 3( ,)22，半徑為5. 55 3cos,sin22 .4. 兩直線和cos()a的位置關(guān)系是（ ） A平行 B相交但不垂直 C垂直 D

29、重合提示：的直角坐標方程為tanyxcos()a化為直角坐標方程為cossin0 xya， 其斜率為cot，直線tanyx的斜率為tan，兩直線互相垂直（2時也成立）.5. 設(shè)曲線的普通方程為222xyR,則它的極坐標方程為 . R提示：用cos ,sinxy代入即得.6.直線cossin0 xy的極坐標方程為_. 2k 提示：直線的極坐標方程為cos()0.7.設(shè)直線過極坐標系中的點(2,)2M,且平行于極軸,則它的極坐標方程為 .sin2提示：在相應(yīng)的直角坐標系中，直線的方程為2y .8.從極點作圓2 cosa的弦,求各弦中點的軌跡方程.解:設(shè)所求曲線上的動點M的極坐標為( , ) ,圓2

30、 cosa上的動點的極坐標為11(,) 由題設(shè)可知,112,將其代入圓的方程得:cos ()22a.所求的軌跡方程為cos ()22ra.9.已知曲線的極坐標方程為1cosepe，求此曲線的直角坐標方程，并討論e在不同范圍內(nèi)取值時，方程表示的曲線的類型（其中e和p為正的實常數(shù)）.解：方程寫成coseep，將22xy和cosx代入，得22xyexep，即 22xyexep，兩邊平方，得22222222xye xe pxe p整理得，222222(1)20exype xe p.由上述方程可知，當1e 時，方程表示雙曲線；當1e 時，方程表示拋物線；當01e時，方程表示橢圓.10. 過橢圓22222

31、2b xa ya b的左焦點作直線，交橢圓于,A B兩點，證明：11|FAFB為定值.證明：橢圓222222b xa ya b方程可化為22221xyab， 2222,caacbepcaccc， 以橢圓的左焦點極點，x軸正方向為極軸的方向建立極坐標系， 則橢圓的極坐標方程為21cosbaca.設(shè)點A的極坐標為( , ) ，則點B的極坐標為( ,) ，2221cos1cos()112|ccaaabbFAFBbaa為定值.作業(yè)本作業(yè)本1.將直角坐標方程212yx化為極坐標方程1 cosa時，極點和a的值分別是（D）A坐標原點,12O B坐標原點,6O C焦點,12F D焦點,6F 提示：由直角坐標

32、方程212yx知，6p ，根據(jù)圓錐曲線的極坐標方程建立的方法知，極點是圓錐曲線的焦點.2. 設(shè)曲線的極坐標方程為2 sin (0)aa,則它表示的曲線是 （D）A圓心在點( ,0)a直徑為a的圓 B圓心在點(0, )a直徑為a的圓C圓心在點( ,0)a直徑為2a的圓 D圓心在點(0, )a直徑為2a的圓提示：曲線的直角坐標方程為2220 xyay，即222()xyaa.3.在極坐標系中與圓4sin相切的一條直線的方程為 （A）Acos2 Bsin2 C4sin()3 D4sin()3 提示：4sin的普通方程為22(2)4xy，cos2的普通方程為2x 圓22(2)4xy與直線2x 顯然相切4

33、. 設(shè)曲線的極坐標方程為4cos,則它的直角方程為 . 2240 xyx提示：4cos與24 cos等價.5.設(shè)直線過極坐標系中的點(2,0)M,且垂直于極軸,則它的極坐標方程為 .cos26. 過拋物線24yx的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于,A B兩點，求11|FAFB的值.解：拋物線24yx中，2p .在以拋物線的焦點F為極點，Ox軸為極軸的極坐標系中，拋物線的極坐標方程為21 cos，設(shè)A點的極坐標為( , ) ，則點B的極坐標為( ,) ，則111 cos1 cos1|22FAFB， 11|FAFB的值為1.7. 一顆慧星的軌道是拋物線，太陽位于這條拋物線的焦點上.已知這慧星距太

34、陽81.6 10千米時，極半徑和軌道的軸成3角.求這顆慧星軌道的極坐標方程，并且求它的近日點離太陽的距離.解：以太陽的位置為極點，軌道的軸為極軸，建立極坐標系，設(shè)軌道的極坐標方程為1 cosp，因為3時，81.6 10，81.6 1021 cos3pp， 78 10p ，軌道的極坐標方程為78 101 cos，當時，74 10.這顆慧星軌道的極坐標方程為78 101 cos，它的近日點離太陽的距離為74 10千米.8.從極點O引一條直線和圓2222cos0aar相交于一點Q，點P分線段OQ成比:m n，求點Q在圓上移動時，點P的軌跡方程，并指出它表示什么曲線.解：設(shè)點,P Q的極坐標分別為(

35、, ) 和11(,) ，由題設(shè)知11mnm，將其代入圓的方程，得222()2 ()cos0mnmnaarmm，整理得，22222()2()cos()0mnam mnm ar，點P的軌跡方程為22222()2()cos()0mnam mnm ar，它表示一個圓.參數(shù)方程參數(shù)方程【知識網(wǎng)絡(luò)】1. 參數(shù)方程的概念.2. 曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化.3. 利用曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題. 【典型例題】例 1.（1）3將參數(shù)方程222sin(sinxy 為參數(shù))化為普通方程為 （C）A2yx B2yx C2(23)yxx D2(01)yxy 提示：將2siny代入22sinx即可，但是20sin1.

36、 （2）參數(shù)方程為1(2xttty 為參數(shù))表示的曲線是 （D）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線提示：2y 表示一條平行于x軸的直線，而2,2xx 或，所以表示兩條射線（3）直線112(33 32xttyt 為參數(shù))和圓2216xy交于,A B兩點，則AB的中點坐標為 （D）A(3, 3) B(3,3) C( 3, 3) D(3,3) 提示：2213(1)( 3 3)1622tt ，得2880tt，12128,42tttt 中點為11432333 342xxyy （4）直線34(45xttyt為參數(shù))的斜率為_. 54 提示：455344ytkxt （5）拋物線241 4xtyt

37、 （t為參數(shù)）在x軸上截得的弦長為 .提示：令0y ，得12t .當12t 時，2x ；當12t 時，2x ，拋物線與x軸交于點(2,0),( 2,0).例 2.分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程1()cos21()sin2ttttxeeyee化為普通方程：（1）為參數(shù)，t為常數(shù)；（2）t為參數(shù)，為常數(shù)；解：（1）當0t 時，0,cosyx，即| 1,0 xy且； 當0t 時，cos,sin11()()22ttttxyeeee 而22sincos1，即2222111()()44ttttxyeeee（2）當,kkZ時，0y ，1()2ttxee ，即| 1,0 xy且；當,2kkZ時，0 x ，1

38、()2ttyee ，即0 x ；當,2kkZ時，得2cos2sinttttxeeyee，即222cossin222cossinttxyexye得222222()()cossincossinttxyxyee即22221cossinxy。例 3.求經(jīng)過點000(,)Mxy傾斜角為的直線l的參數(shù)方程. 解：設(shè)點( , )M x y為直線l上的任意一點，過點M作y軸的平行線，過點0M作x軸的平行線，兩直線相交于點Q.規(guī)定直線l向上的方向為正方向.當0M M與l同方向或0,M M重合時,因00|M MM M,由三角函數(shù)定義,有000cos ,sinM QM MQMM M;當0M M與l反方向時, 00,

39、M M M Q QM同時改變符號,上式依然成立.設(shè)0M Mt,取t為參數(shù), 000,M Qxx QMyy,00cos ,sinxxtyyt, 即00cos ,sinxxtyyt,直線l的參數(shù)方程為00cossinxxtyyt.例 4.已知點( , )P x y是圓222xyy上的動點，（1）求2xy的取值范圍；（2）若0 xya恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：（1）設(shè)圓的參數(shù)方程為cos1 sinxy ，22cossin15sin() 1xy 515sin() 151 51251xy ,即2xy的取值范圍為51, 51.（2）cossin10 xyaa (cossin ) 12sin() 12

40、14a , 實數(shù)a的取值范圍為21,).【課內(nèi)練習】1.與參數(shù)方程為(2 1xttyt為參數(shù))等價的普通方程為 （D）A214y2x B21(01)4yx2x C21(02)4yy2x D21(01,02)4yxy2x提示：22222,11,1,44yyxttxx 而0,011,tt 得02y2.若曲線C的參數(shù)方程為21 cos2sinxy （為參數(shù)） ，則曲線C上的點的軌跡是 （D）A直線220 xy B以(2,0)為端點的射線 C圓22(1)1xy D以(2,0)和(0,1)為端點的線段提示：將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得220(02,01)xyxy3.曲線25(1 2xttyt 為參數(shù))

41、與坐標軸的交點是 （B）A21(0, ) ( ,0)52、 B11(0, ) ( ,0)52、C(0, 4) (8,0) 、 D5(0, ) (8,0)9、提示：令0 x ，得25t ，此時11 25yt ， 曲線與y軸的交點為1(0, )5； 令0y ，得12t ，此時1252xt ， 曲線與x軸的交點為1( ,0)2.4.直線2(1xttyt 為參數(shù))被圓22(3)(1)25xy所截得的弦長為 （C）A98 B1404 C82 D934 3提示：2222212122xtxtytyt ，把直線21xtyt 代入22(3)(1)25xy得222( 5)(2)25,720tttt 212121

42、2()441ttttt t，弦長為12282tt5.直線3(14xattyt 為參數(shù))恒過定點_. (3, 1) 提示：將參數(shù)方程化為乭方程得4(3)(1)0 xa y，當3x 且1y 時，此方程對于任何a都成立，所以直線恒過定點(3, 1).6. 直線122(112xttyt 為參數(shù))被圓224xy截得的弦長為_.14提示：直線為10 xy ，圓心到直線的距離1222d ，弦長的一半為222142()22，得弦長為14.7. 已知曲線22(2xpttypt 為參數(shù)，p為正常數(shù))上的兩點,M N對應(yīng)的參數(shù)分別為1t和2t，且120tt，那么MN=_. 14|p t提示：參數(shù)方程222xptyp

43、t 表示的曲線為拋物線22ypx，線段MN垂直于拋物線的對稱軸， 121| 2| 2|2 |MNp ttpt 8. 選取適當參數(shù)，把直線方程23yx化為參數(shù)方程.解：選tx，則23yt， 由此得直線的參數(shù)方程為23xtyt.也可選1tx，則21yt， 由此得直線的參數(shù)方程為121xtyt .可見，曲線的參數(shù)方程隨參數(shù)選取的不同而不同，同一條曲線可以有多種不同形式的參數(shù)方程.9.已知彈道曲線的參數(shù)方程為020cos1sin2xv tyv tgt.（1）求發(fā)射角3時，彈道曲線的普通方程和射程；（2）設(shè)0v是定值，可以變動，求證：當4時射程最大.解：（1）發(fā)射角3時，彈道曲線的參數(shù)方程為020123

44、122xv tyv tgt，由012xv t，得02xtv， 代入203122yv tgt并化簡，得22023gyxxv .令0y ，得2032vxg或0 x ，可知射程為2032vg.彈道曲線的普通方程為22023gyxxv ，射程為2032vg.（2）證明：由彈道曲線的參數(shù)方程020cos1sin2xv tyv tgt消去t，得到它的普通方程為22201tan2cosxyxgv，由（1）知，射程為20sin2vg， 02， 02，當4時射程最大，為20vg.10.在橢圓2211612xy上找一點，使這一點到直線2120 xy的距離的最小值.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為4cos2 3sinxy，4

45、cos4 3sin125d 4 54 5cos3sin32cos()3553 當cos()13，即53時，min4 55d，此時所求點為(2, 3).作業(yè)本作業(yè)本1.把方程1xy 化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是 （D）A1212xtyt Bsin1sinxtyt Ccos1cosxtyt Dtan1tanxtyt 提示：1xy ，x可取一切非零實數(shù)，而 A，B，C 中的x都取不到一切非零實數(shù).2. 直線：3490 xy與圓：2cos2sinxy（其中為參數(shù)）的位置關(guān)系是 （D）A相切 B相離 C直線過圓心 D相交但直線不過圓心提示：圓的普通方程為224xy，圓心(0,0)O到直線3490 xy的距離

46、為9,59025.3.橢圓42cos1 5sinxy （為參數(shù)）的焦距為 （B）A21 B221 C29 D229提示：橢圓的普通方程為22(4)(1)1425xy，橢圓可通過平移將其方程化為221425xy，5,21ac.4.直線l的參數(shù)方程為(xattybt為參數(shù))，l上的點1P對應(yīng)的參數(shù)是1t，則點1P與( , )P a b之間的距離是 . 12 |t提示：22211111|()()22 |PPatabtbtt距離為221112ttt.5.直線cossinxtyt與圓42cos2sinxy相切，則_. 6，或56提示：直線為tan0 xy，圓為22(4)4xy，圓心為(4,0)，由2si

47、n|4|4tan|cos|4sin| 211tan|cos， 1sin2或1sin2 ，6或56.6. 動點M作等速直線運動，它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12，運動開始時，點M位于(1,1)A，求點M的軌跡的參數(shù)方程.解：設(shè)動點運動的時間為t，點M的坐標為( , )x y，由題設(shè)知，1 9 ,1 12 (0)xt yt t ，點M的軌跡的參數(shù)方程為1 91 12xtyt （0t ）. 7.設(shè)直線的參數(shù)方程為11xtyt ，求直線被圓224xy截得的弦長.解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得22(1)(1)4tt，得21t ， 1t 或1t ，分別代入直線方程，得121202,20 xx

48、yy， 直線與圓的交點為(0,2)A和(2,0)B，| 2 2AB ，即直線被圓所截得的弦長為2 2.8. 設(shè)直線:38720lxy，橢圓22:110025xyC.求橢圓C到直線l的最小距離（即橢圓上任意一點M到直線l的距離的最小值）.解：把橢圓方程化為參數(shù)方程10cos(5sinxy為參數(shù))，則橢圓上任意一點( , )M x y為(10cos ,5cos )，它到直線l的距離為22|30cos40sin72|50sin()72|7338d，2222 737373d ， 橢圓C到直線l的最小距離為22 7373.坐標系與坐標變換坐標系與坐標變換【知識網(wǎng)絡(luò)】1. 幾種常用的坐標系：直角坐標系、極

49、坐標系、球坐標系、柱坐標系及其相互轉(zhuǎn)化.2. 平面坐標系中幾種常見變換：平移變換、伸縮變換.【典型例題】例 1.（1）點M的直角坐標是( 1, 3)，則點M的極坐標為 （C）A(2,)3 B(2,)3 C2(2,)3 D(2,2),()3kkZ 提示：2(2,2),()3kkZ都是點M的極坐標.（2）在極坐標系中有下列各點：( , ), ( ,),( ,),( ,)ABCD ，(, )E ,(,)(F其中0).給出下列結(jié)論：,C D兩點關(guān)于極軸所在的直線對稱；,A E兩點關(guān)于過原點且垂直于極軸的直線對稱；,C E兩點重合；,B D兩點關(guān)于極點對稱；,A F兩點重合.其中正確的結(jié)論是 （A）A

50、B C D提示：在極坐標系中作出上述各點即可.（3）伸縮變換的坐標表達式為4XxYy，曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓22116YX ，則曲線C的方程為 （A）A221xy B224xy C2216xy D 2214yx 提示：直接將4XxYy代入的方程.（4）已知空間點A的球坐標為5(2,)44，則A點的空間直角坐標為_.( 1, 1,2) 提示：設(shè)一點的球坐標為( , , )r ，直角坐標為( , , )x y z，則sincos ,sinsin ,cosxryrzr.（5）在極坐標系中，若點,A B的坐標分別為(3,),(4,)36，則|AB _，AOBS .（其中O是極點） 5,6提示：2AO

51、B， AOB為直角三角形.例 2.設(shè)平面上伸縮變換的坐標表達式為32XxYy，求圓2216xy在此伸縮變換下的方程，并指出變換后的方程表示什么曲線.解：由32XxYy可得1312xXyY，代入圓的方程得221694XY，即22114464XY，它表示中心在原點、焦點在x軸上的橢圓. 例 3.證明：以(4,1,9), (10, 1,6),(2,4,3)ABC為頂點的三角形是等腰三角形.證明：(6, 2, 3),( 2,3, 6)ABAC .不存在實數(shù)滿足ABAC , , ,A B C三點不共線,即可以構(gòu)成三角形.又因為| | 7ABAC , ABC是等腰三角形.例 4.在x軸上求一點，使它到點(

52、 4,1,7)A 與到點(3,5, 2)B的距離相等.解:設(shè)所求的點為( ,0,0)C x,222|(4)1 7866ACxxx ,2222|(3)5( 2)638BCxxx , | |ACBC,22866638xxxx, 解之得2x . 所求的點為( 2,0,0).【課內(nèi)練習】1.在極坐標系中，點(4,)3和( 4,)3的位置關(guān)系是 （D）A. 表示同一點 B關(guān)于極點對稱C關(guān)于極軸對稱 D關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線對稱2.空間一點的直角坐標為(1,1,3)，則其在相應(yīng)的柱坐標系中的坐標為 （B）提示：設(shè)該點在相應(yīng)的柱坐標系中的坐標為( , , ) z ，則222,tan,yxyzzx.3.

53、 點(5,)6M為極坐標系中的一點，給出如下各點的坐標：( 5,)6；7(5,)6； ( 5,)6；7( 5,)6.其中可以作為點M關(guān)于極點的對稱點的坐標的是 （C）A. B C D提示：在極坐標系中畫出各點，或根據(jù)極坐標的意義.4.平面直角坐標系中，點( 4,3)P 按向量( 1, 5)a 平移至點Q，則點Q的坐標為（B）A. ( 3,8) B( 5, 2) C(3, 8) D(5,2) 提示：設(shè)點Q的坐標為( ,)x y，則 ( ,)( 4,3)( 1, 5)( 5, 2)x y 5. 點M的直角坐標為( 3, 1),在0,02的要求下,它的極坐標為 .11(2,)6提示：點M的直角坐標為

54、3,1xy ， 222xy，3tan3yx 6. 在直角坐標系中，點(2, 3)A關(guān)于直線10 xy 對稱的點是 .( 2,1)提示：設(shè)點A關(guān)于直線10 xy 對稱的點為( , )B x y，則AB的中點為23(,)22xyM，點M在直線10 xy 上，且直線AB與直線10 xy 垂直.7.雙曲線2291636321240 xyxy的焦點坐標為 ；將此雙曲線按向量a平移后，可化為標準方程，則a . ( 3,1),(7,1)；( 2, 1)提示：將2291636321240 xyxy配方，得229(2)16(1)1440 xy，即22(2)(1)1169xy. 雙曲線的中心為(2,1)，對稱軸平

55、行于坐標軸，又5c ，焦點坐標為( 3,1),(7,1).設(shè)( , )ah k，則有20,10hk.8.求直線:23120lxy按向量( 2,3)a 平移后的方程.解：設(shè)直線l上任意一點的坐標為( ,)x y，平移后的直線上任意一點的坐標為( , )x y，則有23xxyy， 即23xxyy ，代入直線l的方程，得2(2)3(3) 120 xy，化簡得2310 xy . 直線l平移后的方程為2310 xy .9.把圓224xy沿x軸方向均勻壓縮為橢圓. 2214YX ，寫出坐標變換公式.解： 設(shè)坐標變換公式為XmxYny，由此得11xXmyYn，將其代入圓的方程，得22224XYmn，即222

56、2144XYmn.與橢圓方程2214YX 比較，得2241,44mn， 1,12mn.坐標變換公式為2XxYy.10.已知三角形的三個頂點的極坐標分別為5(2,), (4,),(0,0)66ABO，設(shè)BD為AOB中OA邊上的高，求AOB的面積和D點的極坐標.解：522,4,663OAOBAOB， 22 4 sin4 33AOBS .又AOB為鈍角， 點D在AO的延長線上，且3BOD， 1| 22ODOB，點D的極坐標為7(2,)6.作業(yè)本作業(yè)本1.在直角坐標系中，點A的坐標為( 1, 3)，則在相應(yīng)的極坐標系中它的極坐標可以是（C）A.5(2,)6 B5(2,)3 C5( 2,)3 D11(

57、2,)62.設(shè)點M的直角坐標為(1,1,2)，則在相應(yīng)的球坐標系中，點M的坐標為 （D）A.(2,)4 3 B(2,)4 4 C( 2,)4 3 D( 2,)4 4 提示：由球坐標到直角坐標的坐標變換公式為：cos sinsinsincosxyz ，所以由直角坐標到球坐標的坐標變換公式為：2222costanxyzzyx.3. 將直角坐標系按向量( , )am n平移，新坐標系中的點B與原坐標系中的點(1,2)A有相同的坐標，且| 5AB ，則必有 （D） A.3,4mn B1,2 6mn C225mn D 2225mn 提示：設(shè)點B在原坐標系中的坐標為( , )x y，則有1,2xmyn，點

58、B在原坐標系中的坐標為(1,2)mn， 222(1) 1(2)25mn，即2225mn.（注意坐標系不變，點按向量平移與坐標系按向量平移的區(qū)別）4. 點M的極坐標為5(5,)6,則它的直角坐標為 . 5 3 5(, )225. 直線2310 xy 經(jīng)過變換可以化為10mxny ，則坐標變換公式是 .提示：設(shè)直線2310 xy 上任一點的坐標為( , )x y，直線6610 xy 上任一點的坐標為( ,)x y，坐標變換公式為xkxyhy ，即11xxkyyh，將其代入直線方程2310 xy ，得2310 xykh ，將其與6610 xy 比較，得11,32kh.6.在極坐標系中，求點5(4,)

59、12M關(guān)于直線3的對稱點的坐標.解：設(shè)點5(4,)12M關(guān)于直線3的對稱點為( , )M ，線段MM交直線3于點A，則512312M OAMOA ， 點M的極角3124，又點,M M的極半徑相等， 4， 點M的極坐標為(4,)4.7.（1）在極坐標系中，求點(6,)4M繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)6后的坐標；（2）在直角坐標系中，求點(6,2 3)A繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)3后的坐標.解：（1）點(6,)4M繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)6后，極半徑不變，極角變?yōu)?612，旋轉(zhuǎn)后點M的對應(yīng)點的坐標為(6,)128. 將圓224xy按向量( 1,2)a 平移后再按坐標變換公式1213xxyy 進行伸縮變換，求所

60、得圖形的中心坐標、焦點坐標及準線方程.解：圓224xy按向量( 1,2)a 平移后所得的方程為22(1)(2)4xy.設(shè)圓22(1)(2)4xy上任意一點的坐標為( , )x y，伸縮變換后對應(yīng)點的坐標為( ,)x y，坐標變換公式為1213xxyy ， 23xxyy ，將代入方程22(1)(2)4xy，得22(21)(32)4xy，化簡得，222()13()1429yx，即222()13()1429yx.此方程中，451,99abc，295ac.方程表示的曲線為橢圓，中心為1 2(, )2 3；焦點坐標為19 2(, )18 3和12(, )18 3；準線方程為2310 x 和1310 x