1、Grape project 的【復數】中1難題訓練.填空題(共2小題)1 .已知 zn= (1 + i) (1+) (1+_)(1+_) (n2+),貝U |Z2017z2018|的值是 囂 TH 近2.設復數z滿足條件|z|=1,那么|Z"H回式|取最大值時的復數 z為.解答題(共8小題)3,已知關于x的方程x2- (2i-1) x+3m - i = 0有實數根，求實數 m的值.4 .若關于x的二次方程x?+z1x+z2+m= 0的兩根為a, 3滿足| a- 3|= 2-J7 .2(1)右zi , z2, m是頭數，且 z1 - 4z2= 16,求m的值；(2)若z1，z2, m是

2、復數，且z12 - 4z2= 16+20i,求|m|的最大值和最小值.5 . (1)已知z1 = 1 - 2i, z2=3+4i,求滿足工=工+1 的復數 乙七勺%(2)已知z, 3為復數，(1+3i)?z為純虛數，3=,且|3|=515.求復數 w.2+16,已知復數z滿足1工1=近，z2的虛部為2.(1)求復數z;(2)設z、z2、z- z2在復平面上的對應點分別為A、B、C,求 ABC的面積.7 .設復數z= cos 0- sin Q+Vs+i (cos什sin。)，當。為何值時，|z|取得最大值，并求此最大 值.8 .設復平面上點 Z1, Z2,，Zn,分別對應復數 z1, z2,，z

3、n,；(1)設 z= r (cos o+isin a), (r>0,a R),用數學歸納法證明:zn= rn (cosn a+isinn a),+ nCZ(2)已知ztr4-j 1(cos a+isina) ( a為實常數)，求出數列 zn的通項公式;(3)在(2)的條件下，求 廠|乙工州；|+ |24的|+1乙 J工L 口下 1.9 .設 z=7；+-i (i 是虛數單位)，求 z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6. ,2 210 . (1)已知Z是復數，Z+2i, q1均為實數，且復數(Z+ai) 在復平面上對應的點在第(2)已知兩個向量鼻,一象限，求實數a的取值范圍.h對應的

4、復數是 zi=3和z2=- 5+5i,求向量與b的夾角.Grape project 的【復數】中1難題訓練參考答案與試題解析.填空題（共2小題）1 .已知 zn= ( 1 + i) (1+T=V2)(1+ 1<3)(1+i-) (nCZ+),則 |Z2017-z2018|的值是16(1 + 1) ?X Xn n+1VnT n lzn|= Vn+l.|z2017- z2018|= |z2017|?|1 1 -1|=2018V2018=1.X2 .設復數z滿足條件|z|=1,那么 反不g+i I取最大值時的復數 z為【解答】解：復數z滿足條件|z|=1,它是復平面上的單位圓，那么圓上的點到-

5、D的距離,要使此距離取最大值的復數z,就是"4，-1）和）（0, 0）連線和單位圓在第一象限.點后，-1）到原點距離是2.單位圓半徑是1,此連線與單位圓在第一象限交點是故答案為:二.解答題（共8小題）3,已知關于x的方程x2- （2i-1） x+3m - i = 0有實數根，求實數 m的值.【解答】解：設方程的實根為 X0,則 X02 (2i1) X0+3m - i = 0,2x0+x0+3m) (2x0+1) 1=0,因為X0、m CR ,所以方程變形為（4.5.故 m=_12若關于X的二次方程X2+ZlX+Z2+m= 0的兩根為a, 3滿足| a-日=2/7.(1)若zi, z2

6、, m是實數，且z12 - 4z2= 16,求m的值；2(2)右zi, z2, m是復數，且zi -4z2= 16+201,求|m|的最大值和最小值.【解答】 解：(1)由z1, z2, m是實數，可得：a+ 3= - Z , a的z2+m.而 | a 31= 21/7? | a-岡2 = 28? | (a 3) 2|= 28? ( a+ 3) 2 - 4 a 際28,.2 z1 - 4z2 - 4m= 28, 1- 16 - 4m = 28,解得 m=3.(2)設 m = a+bi (a, b®).貝U z12 4z2 4m= 16+20i -4a- 4bi = 4 (4 a) +

7、 (5 b) i.而 | a 3|= 2/y? | a-岡2 = 28? | (a 3) 2|= 28? | ( a+ 3) 2 - 4 a |3= 28? |z12- 4z2- 4m|= 28? | (4a) + (5b) i|=7? (a 4) 2+ (b5) 2=72, 即表示復數m的點在圓(a - 4) 2+ ( b - 5) 2=72上，該點與原點距離的最大值為7+0可，最小值為7-值.（1）已知z1 = 1 - 2i, z2= 3+4i,求滿足工=' 1的復數 乙工工I5（2）已知z, 3為復數，（1+3i）?z為純虛數，3=工,且|co|=5歷.求復數 w.【解答】解：(

8、1)由 z1=12i, z2=3+4i,11.111 l+2i |3-4i+z z 1 工2 1-21 3+4i (1-21) (1+25.) (3+4i) (3-4i)5 5 1 25 2525 25 1則z=p125叼6i)小S+&i (8+1)(8-6i) 6 2( 1+3i)?z= ( 1+3i) (a+bi)=a - 3b+ (3a+b) i 為純虛數,(a+bi)(2'i)2a+b-(2b-a)i(2-d) (2-i)2a_+b 2b-a .5 + 5 ，|co|=5'/2 ,(2)設2=2+舊(a, bCR),J（竽）屋久30雙把 a = 3b 代入化為

9、b2=25,解得 b=±5,，a=±15.6 .已知復數z滿足|2|=6，z2的虛部為2.(1)求復數z;(2)設z、z2、z- z2在復平面上的對應點分別為 A、B、C,求 ABC的面積.【解答】解：(1)設2=2+舊(a, bCR),(2)當 z= 1 + i 時,z2=2i, z- z2= 1 - i, .A (1, 1) , B (0, 2) , C ( 1, - 1), 故 ABC 的面積 S=/x 2X1=1； 當 z= - 1 i 時，z2=2i, z z2= - 1 3i,A ( 1, 1), B (0, 2), C ( 1, - 3),故 ABC 的面積

10、S=/x 2X1=1.ABC的面積為1.【解答】 解7 .設復數z= cos 0- sin 9+V2+i (cos什sin。)，當。為何值時，|z|取得最大值，并求此最大 值.|z| =：1 ； '- - 1 .11V4+2V2tcos 9-sin9 ) =0式 gJT )=1時，即4，0= 2k 兀一(k CZ)時，|z|取得最大值為 班.8.設復平面上點 Z1, Z2,Zn,分別對應復數 z1, z2,，zn,;(1)設 z= r (cos o+isin a),(r>0, aR),用數學歸納法證明：zn=rn(cosn a+isinn a),nCZ +(2)已知工廠)20(c

11、os a+isina) ( a為實常數)，求出數列 zn的通項公式;(3)在(2)的條件下，求L 二 |7| + |第|+ 包/；|+.【解答】 解：(1)證明：當n= 1時，左邊=r (cosO+isinO),右邊=r (cosO+isinO),左邊=右邊，即n = 1等式成立；假設當 n=k 時等式成立，即：r (cosOisin。)k= rk (cosk0+isink 0),則當 n=k+1 時，r (cos 什isin® k+1 = r (cos 卅i sin。)kr (cos 卅isin=rk c cosk 0+isink 0) rk (cos 卅 isin。)=rk+1

12、(coskOcos。- sink Osin 0) +i (sink 0cos 卅cosk 0sin 0)= rk+1cos (k+1)卅isin (k+1) 0,即當n= k+1時，等式成立；綜上，對 n N + , zn= rn ( cosn o+isinn a);2i1LI)=1,且”* = (cosa+isina) ( a 為實常數), 數列zn是首項為Z1=1,公比為q=-j- (cosa+isina)的等比數列， 1 n，該數列的通項公式為Zn= Z1?qn = () ?cos (n-1) a+isin (n-1) «(3)在(2)的條件下，- 0Z= (ycosa- 1,

13、 sina)x -2" jL二|ZZ；| +|£丁1n二|+-=45-上小豈 x-=V5-4cosCl .1至9.設 z=77+2i (i 是虛數單位)，求 z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6.【解答】 解：設 S= z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6, zS= z2+2z3+3z4+4z5+5 z6+6z7,兩式相減得(1 - z) S= z+z2+z3+z4+z5+z6 - 6z7 =工-6z7,1-z+-+Jj,故 z6= 1 .10. (1)已知Z是復數，Z+2i,工一均為實數，且復數(Z+ai) 2在復平面上對應的點在第2-i一象限，求實數a的取值范圍.(2)已知兩個向量 乳，W 應的復數是 zi=3和z2=- 5+5i,求向量9與b的夾角.【解答】 解：(1)設z=c+di,貝U z+2i=c+ (d+2) I為實數,.d=-2,