1、1第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考綱傳真1.了解函數(shù)奇偶性的含義 2 會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函 數(shù)的奇偶性 3 了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周 期性.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè) x都有 f( x)= f(x)，那么函數(shù) f(x)是偶函數(shù)都有 f(X)= f(x)，那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于 y 軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱2.函數(shù)的周期性(1) 周期函數(shù)：對于函數(shù) f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù) T,使得當(dāng) x 取定義域 內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(x+ T)= f(x)，那么就稱函數(shù) f(x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個(gè)

2、 函數(shù)的周期.(2) 最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那 么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期.常用結(jié)論1. 函數(shù)奇偶性常用結(jié)論如果函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，那么 f(x) = f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū) 間上具有相反的單調(diào)性.課刖知識(shí)全通關(guān)夯實(shí)基礎(chǔ)*拒除盲點(diǎn)2(3) 如果一個(gè)奇函數(shù) f(x)在原點(diǎn)處有定義，即 f(0)有意義，那么一定有 f(0)= 0.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對 f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值 X：若 f(x+ a) = f(x)，貝 U T = 2a(a0).基礎(chǔ)自測1.(思考辨

3、析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).()(2) 若函數(shù) y= f(x+ a)是偶函數(shù)，貝 U 函數(shù) y=f(x)關(guān)于直線 x= a 對稱.()(3) 若函數(shù) y= f(x+ b)是奇函數(shù)，則函數(shù) y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱.()(4) 函數(shù) f(x)在定義域上滿足 f(x+ a)二一 f(x)(a0),貝 U f(x)是周期為 2a 的周期函數(shù).()答案X V VV2已知 f(x) = ax2+ bx 是定義在a 1,2a上的偶函數(shù)，那么 a+ b 的值是( )B 依題意 b= 0,且 2a= (a 1)，1 1b

4、= 0 且 a=3，貝 U a+ b = 3.3下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()2A. y=x+ sin 2xB . y=x cos x(2)若f(x+ a)則 T = 2a(a 0).(3)若 f(x+ a)=古,則 T = 2a(a 0).A.D.3C. y= 2x+1D. y=x2+ sin xDA 項(xiàng)，定義域?yàn)?R，f( x)= x sin 2x = f(x)，為奇函數(shù)，故不符合題意;B 項(xiàng)，定義域?yàn)?R, f(- x) = x2 cos x=f(x)，為偶函數(shù)，故不符合題意；1iC 項(xiàng)，定義域?yàn)?R, f( x)= 2x+x= 2x+ 2x= f(x)，為偶函數(shù)，故不符

5、合題意；D 項(xiàng)，定義域?yàn)?R，f( x) = x2 sin x， f(x)= x2 sin x，因?yàn)?f( X)M-f(x),且 f( x)工 f(x),故為非奇非偶函數(shù).4已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+ 4)= f(x),則 f(8)的值為()A1B . 0C. 1D. 2B f(x)為定義在 R 上的奇函數(shù)，二 f(0) = 0，又 f(x + 4) = f(x)，二 f(8) = f(0) = 0.5.(教材改編)已知函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，在(0，+)上是減函數(shù)，且在區(qū)間a，b(avbv0)上的值域?yàn)?,4，則在區(qū)間b， a上有()A .最大值 4B .最小值4C.

6、最大值3D .最小值3B 法一：根據(jù)題意作出 y= f(x)的簡圖，由圖知，選 B.法:當(dāng) x b， a時(shí)，一 x a， b，由題意得 f(b) f( x) f(a)，4即一 3 f(x)4, 4 f(x) 02“ x, XV0 x 1解由0 得 x 1 或 xv1,即函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?8, 1)U(1,x+ 1+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱.x 1 x+ 1 x 1+1 二lgx1 lgx+1 =f(x) f(x)為奇函數(shù).f(x)的定義域?yàn)?R, f(x)為奇函數(shù).X 10,3由2c 得 X= ,d x2 0, f(x)的定義域?yàn)?1,1.又 f(1)+ f( 1) = 0, f(1) f(

7、 1) = 0, f(x)= ( x). f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).4易知函數(shù)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),關(guān)于原點(diǎn)對稱，又當(dāng) X0 時(shí),2f(x) = X + X,則當(dāng) xv0 時(shí)，一 x0,故 f( X) = X2X= f(x)；當(dāng) xv0 時(shí)，f(x) = x2 x,則當(dāng) x0 時(shí)，一 xv0,f(x)=丿又 f( x) = lg1_：X2+ 1 + x+ 1 x)= In8故 f( x) = X2+ x= f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù).規(guī)律方法1判定函數(shù)奇偶性的 3 種常用方法(1) 定義法(2) 圖象法_慶丁廓點(diǎn)對稱卜十)為奇函數(shù)M前的圈魏丫、:Y爻于J軸對稱 卜*上)迪偶

8、鬧數(shù)(3) 性質(zhì)法設(shè) f(x), g(x)的定義域分別是 Di, D2,那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇乂奇=偶，偶+偶=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇.2.判斷分段函數(shù)奇偶性應(yīng)注意的問題判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-X)與 f(x)的關(guān)系，只有對各段上的 x 都滿足相同關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性.如本例(2)第小題.跟蹤塚習(xí)(1)設(shè) f(x)= ex+ e-x，g(x) = ex-e-x，f(x)，g(x)的定義域均為 R，F(xiàn) 列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. |g(x)|是偶函數(shù)B. f(x)g(x)是奇函數(shù)C. f(x)|g(x)|是偶函數(shù)D. f(x) + g(x)是奇函數(shù)D f(-

9、x) = e-x+ ex= f(x)，f(x)為偶函數(shù).g(-x)= e_x ex=-g(x)，g(x)為奇函數(shù).9|g(- x)匸g(x)| = |g(x)|，|g(x)|為偶函數(shù)，A 正確；f(-x)g(-x) = f(x) g(x)二一 f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)為奇函數(shù)，B 正確;f( - x)|g( x)| = f(x)|g(x)|.所以 f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，C 正確；xf(x) + g(x) = 2e ,f(-x) + g(-x) = 2ex工-(f(x) + g(x),且 f(- x) + g(-x)= 2e-豐f(x) + g(x),所以 f(x) +

10、g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，D 錯(cuò)誤，故選 D.判斷下列函數(shù)的奇偶性1f(x) = In (e + x) + In (e- x)； 2x+12f(x)= 2x-1 ；3f(x)=Je+ x 0,解由e- x 0,即函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?-e, e),關(guān)于原點(diǎn)對稱.又 f( x) = In(e- x) + In(e+x) = f(x),所以函數(shù) f(x)是偶函數(shù).由 2x-1 工 0 得XM0,即函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?一,o)u(0,+x)，關(guān)于 原點(diǎn)對稱.2-x+ 1 1+ 2x2x+ 1又 f( x) = x=- x=- f(x),得一 evxve,102-x- 1 1-2x2

11、x- 1所以函數(shù) f(x)是奇函數(shù).函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,0)U(0,+x)， 關(guān)于原點(diǎn)對稱. 當(dāng) x0 時(shí)， 一xv0,貝U f( x) = ( x)2- 1 = x2- 1 = - f(x),11【例 2】(1)(2018 全國卷川)已知函數(shù) f(x)= In( 1+x2 x) + 1,f(a)= 4,則f( a)=_.2(2)已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) = x 4x,貝 U f(x)=函數(shù) f(x) = xxa為奇函數(shù)，貝Ua=_得 ln(-：.；：1 + a a) = 3,所以 f( a) = In(；1 + a + a) + 1=In j+

12、 1 = In(寸 1 +a a) + 1 = 3+ 1 = 2.：1 + a2+ a(2)vf(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，二 f(0) = 0.又當(dāng) xv0 時(shí)，一 x0, f( x) = x2+ 4x.又 f(x)為奇函數(shù),二f(x)= f(x),即 f(x)= x24x(xv0),x24x, x0,-f(x)=2廠 x 4x, x 0-x2 4x，x 0,貝 U f( x)= ( x)2+ 1 = x2+ 1= f(x), 綜上所述，f( x)二一 f(x)因此函數(shù) f(x)是奇函數(shù).122 求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出3 求解析式中的參數(shù)：利用待

13、定系數(shù)法求解，根據(jù) f x 當(dāng)一 x =0 得到關(guān)于 參數(shù)的恒等式，由多項(xiàng)式恒等列出關(guān)于參數(shù)的方程或方程組， 進(jìn)而得出參數(shù)的值， 也可利用特殊值求解如利用 f 11 直接求參數(shù)的值4 畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象 .跟蹤練習(xí)設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 f(x)=Jlog3x+ 1 ，x 0，:則 g(f(8)戸()gx，xv0，A1B2C.1D. 2(2) 已知函數(shù) f(x) = x3+ sin x+ 1(x R)，若 f(a)= 2,則 f( a)的值為( )A.3B . 0C. 1D. 2(3) 已知 f(x)為偶函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x) = ex

14、1 x，則 f(x) =_ .設(shè)f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x) = 2x+ 2x+ b(b 為常數(shù))， 則 f(1)=_ .ex1 x，x 028)= f(8)= Iog39= 2，所以 g(f( 8) = g(2) = f( 2)= f(2)二一 Iog33 二一 1.3設(shè) F(x) = f(x) 1 = x + sin x，顯然 F(x)為奇函數(shù)，又 F(a) = f(a) 1= 1,所 以 F( a) = f( a) 1 = 1，從而 f( a) = 0.故選 B.13(3)當(dāng) x0 時(shí)，一 xv0，則 f(x) = ex 1+ x，又 f( x) = f(x)

15、，因此 f(x) = ex 1+ x.14e_x_ 1-x,xw0 所以 f(x)=(x-1e-+ x, x0k7(4) 由題意知 f(0) = 2+ 2X0+ b= 0,解得 b= 1.所以當(dāng) x 0 時(shí)，f(x)二 2x+ 2x 1,所以15f(1)=-f(-1)=-2-1+2X(1)1=2.函數(shù)的周期性及應(yīng)1題型題型3|用【例 3】(1)(2019 沈陽模擬)函數(shù) f(x)滿足 f(x+ 1)= f(x)，且當(dāng) Owx1(1 1周期為 2,則 f 2 = f 2 =2XX1-2 = 2,故選A.1由 f(x+ 2)= 得 f(x+ 4) = f(x). f(x)所以函數(shù) f(x)的周期為

16、 4,所以 f(2 018) = f(2).當(dāng) x (0,2時(shí)，f(x) = 2x- 1.151 又 f(4) = f(2+ 2)= 二2 3,-f(2)1所以一 f(2)= 2+ 3,即 f(2)= 2- 3,故選 A.1f(x+2) &，1 f(x+ 4)=二 f(x),f(x+ 2)函數(shù) y=f(x)的周期 T = 4.又 x (0,2時(shí)，f(x)= 2x 1,1 1 1 f(1)= 1, f(2)= 3, f(3)=斤=1, f(4)= fy = 3. f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(2 018)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(504X4+1)+f(

17、504X4+2)1 348.規(guī)律方法1 判斷函數(shù)周期性的方法，定義法：判斷函數(shù)的周期性只需 證明fx + T = f xTM0 便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為 T.,結(jié)論法：對 fx 定義域內(nèi)任一自變量的值 x,i 若f(兀+a) = -/(x)，則T-2a(a0)；2 函數(shù)周期性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù) 的整體性質(zhì)，即周期性可將未知區(qū)間上的函數(shù)值、 解析式、圖象轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間 上，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若 T 是函數(shù)的周期，則 kTk Z 且 kM0 也是函數(shù)的50416周期.跟蹤練習(xí)(1)(2019 長沙模擬)已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足

18、f(x+ 1)= 1, 1vxw0,f(x),且 f(x)=則下列函數(shù)值為 1 的是()1,0vx1,A. f(2.5)B . f(f(2.5)C. f(f(1.5)D . f(2)(2)_設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+ 2)= f(x)，且當(dāng) x 0,2)時(shí)，f(x) = 2x x2,貝 U f(0) + f(1)+ f(2) + + f(2 019)=.(1) D (2)1 010 (1)由 f(x+ 1)= f(x)知 f(x+ 2)= f(x+ 1) = f(x)，于是 f(x) 是以 2 為周期的周期函數(shù)，從而 f(2.5)= f(0.5) = 1,f(f(2.5) = f(

19、 1)= f(1)= 1, f(f(1.5)= f(f( 0.5)= f(1) = 1, f(2) = f(0) = 1，故選 D.(2)vf(x+2)=f(x),函數(shù) f(x)的周期 T= 2.又當(dāng) x 0,2)時(shí)，f(x) = 2x x2,二 f(0)= 0, f(1)= 1, f(0)+ f(1)= 1. f(0)+ f(1) = f(2) + f(3) = f(4) + f(5)=f(2 018)+ f(2 019)= 1, f(0)+ f(1) + f(2) + + f(2 019)= 1 010.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)1題型題型4|用?考法 1 奇偶性與單調(diào)性結(jié)合【例 4】(2017 全

20、國卷I)函數(shù) f(x)在(x,+x)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若 f(1)=1,則滿足K f(x 2) 1 的 x 的取值范圍是()A. 2,2B . 1,1C. 0,4D. 1,317Df(x)為奇函數(shù)，二 f( x)= f(x). f(1)= 1, f( 1) = f(1) = 1.故由一 1wf(x 2) w 1,得 f(1)wf(x 2)wf( 1).又 f(x)在()單調(diào)遞減， 1wx21, 1wx 3.故選 D.?考法 2 奇偶性與周期性結(jié)合【例 5】(2017 山東高考)已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(x+ 4) = f(x2).若當(dāng) x 3,0時(shí)，f(x) = 6x

21、,則 f(919) =_.6f(x + 4) = f(x 2), f(x+ 2)+ 4) = f(x+ 2) 2), 即卩 f(x+ 6) = f(x), f(x)是周期為 6 的周期函數(shù)， f(919)=f(153X6+1)=f(1).又 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， f(1)=f( 1) = 6, 即卩 f(919) = 6.?考法 3 奇偶性、周期性與單調(diào)性結(jié)合【例 6】 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x 4)= f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則 ()A. f(25)f(11)vf(80)B. f(80)f(11)f( 25)C. f(11) f(80) f(

22、 25)D. f(25)f(80)f(11)D 因?yàn)?f(x)滿足 f(x 4)= f(x),所以 f(x 8) = f(x),所以函數(shù) f(x)是以 8 為周期的周期函數(shù)，則 f( 25)= f( 1),18f(80)= f(0), f(11)= f(3).19由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 且滿足f(x 4)二f(x),得f(11)=f(3)二f( 1)= f(1)因?yàn)?f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在 R 上是奇函數(shù)，所以 f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，所以 f( 1)f(0)vf(1), 即卩 f( 25)f(80)vf(11).故選 D.規(guī)律方法函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題方法(1) 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.(2) 周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題