1、-16 -中考數(shù)學(xué)幾何模型11 :阿氏圓最值模型名師點(diǎn)睛 撥開(kāi)云霧開(kāi)門(mén)見(jiàn)山在前面的 胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)了 “kPA+PB最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng) P點(diǎn)軌跡變?yōu)?圓時(shí)，即通常我們所說(shuō)的阿氏圓”問(wèn)題.【模型來(lái)源】“阿氏圓”又稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA: PB=k ( kl),則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏圓”【模型建立】2如圖1所示，O O的半徑為R,點(diǎn)A、B都在O O夕卜，P為O O上一動(dòng)點(diǎn)，已知R=-52 連接PA PB,則當(dāng)“ PA+PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？5OB,2

2、2解決辦法：如圖2,在線段 0B上截取0C使0C= R，則可說(shuō)明 BPO與厶PCO相似，則有PB=PC。552故本題求“ PA+PB ”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC ”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、5P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“ PA+PC”值最小。【技巧總結(jié)】計(jì)算PA kgPB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等構(gòu)造母子型相似三角形問(wèn)題：在圓上找一點(diǎn) P使得PA kgPB的值最小，解決步驟具體如下：1. 如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即 OP，OBOP2. 計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比kOB OCpc3. 在OB上取一點(diǎn)C,使得k ,即構(gòu)造 POMBOP，貝yk , PC

3、 kgPBOPPB4. 則PA kgPB=PA PC AC，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，在 RtAABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓 C,分別交AC、BC 于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 丄PA PB的最小值為2變式練習(xí)>>>APBP,1. 如圖1,在RTA ABC中，/ ACB=90, CB=4, CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接11求AP -BP，2AP BP，AP BP ,AP 3BP的最小值23AB5例題2.如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7,0）

4、,O C的半徑為.10 ,點(diǎn)B在O C上一動(dòng)點(diǎn)，OB的最小值為.變式練習(xí)>>>2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(6,-1), M(4,4)，以M為圓心，2 2為半徑畫(huà)圓，O為原點(diǎn),例題3.如圖，半圓的半徑為1,AB為直徑，AC、BD為切線，AC= 1, BD = 2, P為上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值.變式練習(xí)>>>3. 如圖，四邊形 ABCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，O B的半徑為2, P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PDPC的最小值 為；: PD+4PC的最小值為 .AD1例題4.如圖，已知正方 ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 P

5、D - PC的2最大值為.變式練習(xí)>>>4. (1)如圖1,已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為9，圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD的最小值為，PD -諛的最大值為.(2)如圖2,已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, / B = 60°圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么 丄二的最大值為 .1例題5.如圖，拋物線 y=- x2+bx+c與直線AB交于A (- 4, - 4), B (0, 4)兩點(diǎn)，直線 AC: y=- x- 62交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EF丄x軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn) G.(1 )求拋物線y= - x2+bx+

6、c的表達(dá)式；(2)連接GB, E0,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) G的坐標(biāo)；(3)在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH, HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以 A, E, F, H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn) E, H的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn) M為O E上一動(dòng)變式練習(xí)>>>5. 如圖1,拋物線y= ax2+ (a+3) x+3 (a0與x軸交于點(diǎn) A (4, 0)，與y軸交于點(diǎn)B,在x軸上有一 動(dòng)點(diǎn)E (m, 0) (Ov mv 4),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)N ,交拋物線于點(diǎn) P,過(guò)點(diǎn)P作PM丄AB 于點(diǎn)M .(1) 求a的值和直線A

7、B的函數(shù)表達(dá)式；(2) 設(shè)厶PMN的周長(zhǎng)為Ci, AEN的周長(zhǎng)為C2，若，求m的值；(3) 如圖2，在(2)條件下，將線段 0E繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 0E',旋轉(zhuǎn)角為a ( 0°< aV 90° ,連 接E A、EB，求EA+Ze'B的最小值.3領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.如圖，在RTAABC中，/ B=90°, AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓與 AC相切，圓C的半徑為、2，點(diǎn)P為圓B上的一動(dòng)點(diǎn)，貝U AP子PC的最小值OO, P是O O上一動(dòng)點(diǎn)，則 2PA+PB的最小值為6,內(nèi)切圓記為 O O, P是O O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PC的最小值

8、為AP - PB24. 如圖，在Rt ABC中，/ C=90° CA=3, CB=4, e C的半徑為2，點(diǎn)P是e C上的一動(dòng)點(diǎn)，則象限內(nèi)的5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A 2,0，B 0,2 ，C 4,0 ，D 3,2，P是厶AOB外部第一動(dòng)點(diǎn)，且/ BPA=135°，則2PD PC的最小值是多少？6. 如圖，Rt ABC, / ACB = 90° AC= BC= 2，以C為頂點(diǎn)的正方形 CDEF (C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆 時(shí)針?lè)较蚺帕?可以繞點(diǎn) C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且 CD =.-：,連接AF , BD(1)(2)當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出 BDAD的值;直接寫(xiě)出正方形 CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD+ ：(3)AD的最小值.求證： BDCAFC ;7. (1)如圖1，在 ABC中，AB= AC, BD是AC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線 CE，并證明BD = CE :(2) 如圖2