1、0錄點位精度評定Hanford2015年07月14日目錄第1章 點位精度評定11.1 簡介11.2期望11.3方差21.4 標準差21.5 協(xié)方差216 DRMS31.72DRMS318 CEP31.9 CEP9531.10 CEP9941 11對比41 12SEP41.13誤差橢圓51 14置信橢圓51 15誤差橢球61 16求解誤差橢球71.17置信橢球8第1帝點位精度評定第1帝點位精度評定第1章點位精度評定1.1簡介下圖顯示了一系列的散點。點位精度評定就是計算一些數(shù)值，用來評定這 些點的離散程度。楮度評定數(shù)值越小說明點的離散程度越小，精度越拓。*/ Z/V/1蠱VWL、lm、'1

2、i j fi丿%、場1.2期望上圖的圓心和橢圓中心，是散點的真實位置。假定其坐標為（以,那么 "、就是隨機變量x的期望，"、就是隨機變最y的期望。期琨的數(shù)值，有可能是己知的，也可能是未知的。在未知的情況下，需要 對期望進行估值。一般情況下，期望的估值采用的是算術(shù)平均值，即：A X + x, +“I = -=第1疏點位精度評定心心+幾13方差方差用來描述隨機變量的離散程度，它的數(shù)值越小說明離散度越低。隨機變最x的方差:E(-a)2vai(x)= n隨機變量y的方差:工br廣va【(y)= r 4- y + r注意：如果隨機變量X的期望心使用的是估計值債= ,貝IJ方差的估值為

3、工(兀一幾)O把畀改成"-1的原因在于：求出厶后，心兀，舛#第1疏點位精度評定n-1的自由度由"變成了 -11.4標準差標準差也叫中誤差，它是方差的平方根，即:隨機變量x的標準差:隨機變最y的標準差:或1.5協(xié)方差隨機變量x、之間的協(xié)方差：同樣的，如果期望心和"、使用的是估計值，則S按下式計算SU-A)(x-A)1.6 DRMS離散隨機變量/的均方根RMS (Root Mean Square)為:RMS,=嚴:點位誤差里的RMS其實是距離均方根差(DRMS),即:DRMS = . /+< + 4；ii將d；=(兀- “J + (x -代入上式，可得DRMS

4、= + =V nn1.7 2DRMS雙倍距離均方根2DRMS的計算公式如下:2DRMS =2x DRMS = 2 Jb + 員1.8 CEP圓概率誤差CEP (Cuculai Enoi Probable)的含義：以(仏,“J為圓心,CEP為半徑畫一個圓，點落入圓內(nèi)的概率為50%。其計算公式如下：CEP= 0.589( a+ 6)CEP953第L"點位梢度評定CEP95 （也被稱之為R95）的含義：以仏，“、）為圓心，CEP95為半徑畫一 個圓，點落入圓內(nèi)的概率為95%o其計算公式如下：CEP95 =1.2272（o + 6 ）1.9 CEP99CEP99的含義：以（/,、）為國t?,

5、 CEP99為半徑畫一個圓，點落入圓內(nèi) 的概率為99%o其計算公式如下：CEP99 = 1.5222（ o-t + o*v）1.11對比CEP、CEP95、CEP99之間是有嚴格的比例關(guān)系的：DRMS、2DRMS之間 也是有嚴格的比例關(guān)系的：那么CEP與DRMS有什么關(guān)系呢？假定 6 = 6=6 貝ij： CEP = 0.589x2x0, DRMS = d。此時DRMS = .2xCEP o換句話說就是CEP與DRMS之間有著近似的轉(zhuǎn)換公式：DRMS = 1.22EP 這兒個統(tǒng)計量從小到大依次為：CEP、DRMS、CEP95、2DRMS、CEP99。 以（“,、）為圓心，各個統(tǒng)計量為半徑，點落

6、入這個圓的概率見下表：統(tǒng)計量概率CEP50%DRMS63% 68%CEP9595%2DRMS95%98%CEP9999%1.12 SEPSEP的含義：以為球心，SEP為半徑畫一個圓球，點落入球內(nèi) 的概率為50%。其計算公式如下：SEP =0.51(6 + 6+ 6)1.13誤差橢6第L"點位梢度評定#第L"點位梢度評定在二維平而內(nèi)，點位沿著任意方向l = cosa sma'的方差按下式計算:a; + a; +cos（2a-（p）K2>ICOS6Zsin a化簡后可得:#第L"點位梢度評定#第L"點位梢度評定上式中K = J（b；_E）2+4

7、云注意：atan 2(y,.v)表示原點到(x,刃的方位角。當a=(p+ nn時(畀=0,±1,±2,±3,)q取最大值丘=；:當 a =(p+ nn + y 時(“ =0,±1,±2,±3,)q 取最小值尸=+_"。這里E就是誤差橢圓的長半軸，尸就是誤差橢圓的短半軸，0是長半軸的 方位角。1.14置信橢圓長半軸為E、短半軸為F的橢圓被稱Z為標準誤差橢圓。置信橢岡是標準誤差橢圓的£倍。點落入置信橢圓內(nèi)的概率為將k = l代入上式可求出點落入標準誤差橢圓內(nèi)的概率為39.35%。也就是說 置信度39.35%的置信橢圓就

8、是標準誤差橢圓。1.15誤差橢球在三維空間，點位沿著任意方向/二/, I、丁的方差按下式計算： 硏=lTDlE 代：是隨機變量兀y，z的方差、協(xié)方差矩陣。o （T叮二上式中的=yxzx注意方向/是單位向量，即滿足廠/=1現(xiàn)在的問題是：b何時最大？何時最小？它的實質(zhì)就是在滿足廠/=1的條 件下，求出 = lrDl的極值。可根據(jù)拉格朗丨I乘數(shù)法求極值，其步驟為：構(gòu)造拉格朗口函數(shù)= /7D/-/l（/r/-l）,然后求解如下方程組:竽=0dL dl:/r/ = l記竽=竽竽竽（即一個數(shù)對-個列向量求導(dǎo)），則 dl dlx 01、 dlz竽=2D/- 2刀。根據(jù)上式可知of収極值時咚= On（D -征

9、）/ = 0。 ellal滿足（D-AE）l=O的2是矩陣D的特征值，而/是與2對應(yīng)的特征向星。 廠表示需要將特征向量單位化。求出矩陣D的特征值和特征向量后，矩陣D可被對角化，即：D=PAPTA上式中A是由特征值組成的對角陣，即人= 人 oA矩陣P的第i列是4對應(yīng)的單位特征向最。此時：=/TD/ = （/rP）A（/TP）T記HP,它的兒何意義為：對向量心卩 ly /：丁做正交變換，得到向 量r叩；/；.丁,此時：bm（/：）' +人（/；）' +人這里揚，姨，揚就是誤差橢球的三個半軸，從大到小依次為長半軸、中 半軸、短半軸。這三個半軸的方向就是特征向量的方向，它們是相互垂直的

10、。以橢球的三個半軸分別為軸建立一個新的三維直角坐標系X'yh, 坐標系可乙到“yw的正交變換矩陣就是p o1.16求解誤差橢球本節(jié)將求解矩陣D的特征值、特征向星D-AE =注意上式中：= bayy =（ry 兮b展開后可以得到一個一元三次方程：加+加+必+c = 0,其中9第1疏點位精度評定#第1疏點位精度評定yz zx可以去除這個一元三次方程的二次項，如下式所示:其中-元三次方程的三個根為:上式中心1231aiccos3#第1疏點位精度評定#第1疏點位精度評定這三個根就是矩陣D的特征值。因為D是正定的，所以這三個特征值必定 都是大于零的實數(shù)。下而是矩陣D-AE的伴隨矩陣:（氐-兄）（4-可-兀（0-久）（兀-幾）-尤一）%.氐-6（冬.-久）60.-氐（久-2）（兀-久）（Oyy - 2） - 或?qū)⑨艽肷鲜剑恳涣芯褪?amp;對應(yīng)的一個特征向量，請選用長度最大的特 征向暈并將其單位化。1.17置信橢球三個半軸為施，疑，阿的橢球是標準