1、智慧在這里綻放，狀元從這里起航數(shù)學(xué)思維方法講義之一 年級：九年級 §第1講 證明（三角形專題）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、牢記三角形的有關(guān)性質(zhì)及其判定；2、運(yùn)用三角形的性質(zhì)及判定進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明。【考點(diǎn)透視】1、全等三角形的性質(zhì)與判定；2、等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定；3、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性質(zhì)與判定。【精彩知識】專題一 三角形問題中的結(jié)論探索【例1】如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且DAB=30°。有以下四個(gè)結(jié)論：AFBC ；ADGACF； O為BC的中點(diǎn)； AG：DE=：4，其中正確結(jié)論的序號是 .AD

2、BCEO變式練習(xí)1如圖，ABD與AEC都是等邊三角形，ABAC，下列結(jié)論中：BE=DC；BOD=60°；BODCOE正確的序號是 考點(diǎn)感悟：專題二 三角形中的平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換問題探索【例2】如圖(1)，RtABC中，ACB=-90°，CDAB，垂足為DAF平分CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F（1）求證：CE=CF（2）將圖（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示試猜想：BE'與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論圖（1） 圖（2）【例3】ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作MDN=B（1）如圖

3、（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形（2）如圖（2），將MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)DEF的面積等于ABC的面積的時(shí)，求線段EF的長考點(diǎn)感悟：變式練習(xí)：如圖，O是正ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，下列結(jié)論：BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；點(diǎn)O與O的距離為4；AOB=1

4、50°；其中正確的結(jié)論是【 】A B C D 【例4】如圖1，ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BDCF成立（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)G求證：BDCF； 當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段BG的長考點(diǎn)感悟：專題三 幾何動態(tài)問題【例5】如圖，在ABC中，ABAC10 cm，BC12 cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以a cm/s(a0

5、)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)Q同時(shí)以1 cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動，其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為t s(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形若a，求PQ的長；是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)感悟：變式練習(xí)：已知線段AB=6，CD是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1，P是線段CD上一動點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動的路徑長度為 專題四 幾何與函數(shù)結(jié)合問題【例

6、6】如圖所示，在形狀和大小不確定的ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP，設(shè)BP=，PE=.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)CQ=CE時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)CQ=CE時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)CQ=CE（為不小于2的常數(shù)）時(shí)，求直接與之間的函數(shù)關(guān)系式。考點(diǎn)感悟：【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度均為每

7、秒1個(gè)單位運(yùn)動時(shí)間為t秒過點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)E作EFAD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請直接寫出t的值考點(diǎn)感悟：【課后測試】一、選擇題：1、下列判斷正確的是（ ）A.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等C.有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2、在平面

8、直角坐標(biāo)系xoy中，已知A（2，2），在y軸上確定點(diǎn)P，使AOP為等到腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C. 4個(gè) D.5個(gè)二、填空題：3、在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC， M、N分別是BD、BC上的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是 。4、如圖，RtABC的邊BC位于直線l上，AC=，ACB=90°，A=30°若RtABC由現(xiàn)在的位置向右滑動地旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為 （結(jié)果用含有的式子表示）三、解答題：5、在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB2，AP1將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的

9、兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖）。（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖），求PC的長；（2）探究：將直尺從圖中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止在這個(gè)過程中，請你觀察、猜想，并解答：的值是否發(fā)生變化？請說明理由；直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長。 圖 圖6、如圖（1），將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD與ECF疊放在一起。（1）操作：如圖（2），將ECF的頂點(diǎn)F固定在ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合）

10、。FE交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）。求證：BH·GD=BF2（2）操作：如圖（3），ECF的頂點(diǎn)F在ABD的BD邊上滑動（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過A，過點(diǎn)A作AGCE，交FE于點(diǎn)G，連接DG。探究：FD+DG=_。請予證明。 （1） (2) (3)學(xué)生對本次課的評價(jià)：特別滿意 滿意 一般 不怎么樣家長意見或建議： 家長簽字： 部分答案：【例3】解：（1）圖（1）中與ADE相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，證明如下：B+BDF+BFD=180°，EDF+BDF+CDE=180°，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=

11、C。BDFCED。BD=CD，即。又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。 （3）連接AD，過D點(diǎn)作DGEF，DHBF，垂足分別為G，HAB=AC，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BD=BC=6。在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=10262，AD=8。SABC=BCAD=×12×8=48，SDEF=SABC=×48=12。又ADBD=ABDH，。BDFDEF，DFB=EFD。 DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS）。DH=DG=。SDEF=·EF·DG=·EF·=12，EF=

12、5。例3變式：A。【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到。故結(jié)論正確。 連接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等邊三角形。OO=OB=4。故結(jié)論正確。在AOO中，三邊長為OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一組勾股數(shù)，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150°。故結(jié)

13、論正確。故結(jié)論錯(cuò)誤。如圖所示，將AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O點(diǎn)易知AOO是邊長為3的等邊三角形，COO是邊長為3、4、5的直角三角形。則。故結(jié)論正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：。故選A。【例4】解：（1）BD=CF成立。理由如下：ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90°。BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF。在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，BADCAF（SAS）。BD=CF。（2）證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)MBADCAF（已證），ABM=GCM。又BMA=

14、CMG，BMACMG。BGC=BAC=90°。BDCF。過點(diǎn)F作FNAC于點(diǎn)N。在正方形ADEF中，AD=DE=，。AN=FN=AE=1。在等腰直角ABC 中，AB=4，CN=ACAN=3，。在RtFCN中，。在RtABM中，。AM=。CM=ACAM=4，。BMACMG，即，CG=。在RtBGC中，。【例5】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點(diǎn)，BD=CD=BC=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）過點(diǎn)P作PEBC于E，四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。A

15、B=AC，PB=CM。PB=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t=（cm）。不存在理由如下：四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若點(diǎn)P在ACB的平分線上，則PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四邊形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化簡得：6at+5t=30

16、。把代入得，t=。不存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在ACB的平分線上。【例6】【解析】平行、角平分線、等腰三角形、相似、對應(yīng)邊成比例解：（1）E、F是AB、AC中點(diǎn)EFBC，EF=0.5BC=3EP=1EFBCDPEDBCEP：BC=1：6=1：36（2）延長BQ交射線EF于點(diǎn)GEFBCG=GBC又GBC=GBPG=GBPPG=BP=y即EG=x+yEFBCQEGQCBEQ：QC=EG：BC=1x+y=6 即y= x+6(3)同（2）中QEGQCBEQ：QC=EG：BC=2x+y=2×6y= x+12y= x+6(n1)【例7】解：（1）A（1，4）。由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x1）2+

17、4拋物線過點(diǎn)C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1。拋物線的解析式為y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3。（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，A（1，4），C（3，0），解得。直線AC的解析式為y=2x+6。點(diǎn)P（1，4t），將y=4t代入y=2x+6中，解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為。點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為。GE=（）（4t）=。又點(diǎn)A到GE的距離為，C到GE的距離為，。當(dāng)t=2時(shí)，SACG的最大值為1。（3）或。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形和菱形的性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點(diǎn)A得

18、到坐標(biāo)；由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a（x1）2+4，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）。（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=2x+6；由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4t），據(jù)此可以求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，將其代入直線AC方程可以求得點(diǎn)E或點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=、點(diǎn)A到GE的距離為，C到GE的距離為；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時(shí)，SACG的最大值為1。（3）因?yàn)榱庑问青忂呄嗟鹊钠叫兴倪呅危渣c(diǎn)H在直線EF上。分CE是邊和對角線兩種情況討論即可。 由題設(shè)和（2）知，C（3，0），Q（3，t），E（），設(shè)H（）。當(dāng)CE是對角線時(shí)，如圖1，有CQ=HE=CH，即，解得，