1、一元二次方程應用題經典題型匯總同學們知道， 學習了一元二次方程的解法以后， 就會經常遇到解決與一元二次方程有關的生活中的應用 問題，即列一元二次方程解應用題，不少同學遇到這類問題總是左右為難，難以下筆，事實上，同學們只要 能認真地閱讀題目，分析題意，并能學會分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時可 以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關系，找到一個或幾個相等的式子，從而列出方 程求解，同時還要及時地檢驗答案的正確性并作答.現就列一元二次方程解應用題中遇到的常見的十大典型題目，舉例說明 .一、增長率問題例 1 恒利商廈九月份的銷售額為 200 萬元，十月份的銷售

2、額下降了 20% ，商廈從十一月份起加強管理， 改善經營，使銷售額穩步上升，十二月份的銷售額達到了 193.6 萬元，求這兩個月的平均增長率 .解 設這兩個月的平均增長率是X.,則根據題意，得 200(1 20%)(1+x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解這個方程，得xi= 0.1 ,X2= 2.1 (舍去).答 這兩個月的平均增長率是 10%.說明 這是一道正增長率問題, 對于正的增長率問題, 在弄清楚增長的次數和問題中每一個數據的意義, 即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mvn.對于負的增長率問題，若經過兩次相等下降后，則有公式m(1x)2=n即可求解，其中mn.二

3、、商品定價例 2 益群精品店以每件 21 元的價格購進一批商品,該商品可以自行定價,若每件商品售價a元,則可賣出( 350 1 0a)件,但物價局限定每件商品的利潤不得超過20% ,商店計劃要盈利 400 元,需要進貨多少件？每件商品應定價多少？解 根據題意，得(a 21)(350 10a) = 400，整理，得a2 56a+775 = 0,解這個方程，得a1= 25 ,a2= 31.因為 21 *1+20%) = 25.2，所以a2=31 不合題意，舍去.所以 350 10a= 350 10 X25 = 100 (件).答 需要進貨 100 件,每件商品應定價 25 元.說明 商品的定價問題

4、是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點三、 儲蓄問題例 3 王紅梅同學將 1000 元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的 500 元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的 90%，這樣到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款時的年利率.(假設不計利息稅)解設第一次存款時的年利率為X.則根據題意，得1000(1+x) 500(1+0.9x)= 530.整理，得 90 x2+ 145x-3 = 0.解這個方程，得xi 0.0204 = 2.04% ,X2 1.63.由于存款利率不能為負數，所

5、以將X2 1.63 舍去. 答第一次存款的年利率約是 2.04%.說明這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅四、 趣味問題例 4 一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4 米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2 米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？解 設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據題意，得2(x+0.1+x+1.4+0.1)x=1.8，整理，得x2+0.8x 1.8 = 0.解這個方程，得X

6、1= 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1= 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答 渠道的上口寬 2.5m，渠深 1m.說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關系，列出方程求解.五、 古詩問題例 5 讀詩詞解題：(通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡)大江東去浪淘盡，千古風流數人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？解 設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x，則十位數字為x- 3.則根據題意，得x2= 10(x 3)+x，即 x2-iix+30 = 0,解這個方程，得x= 5 或x= 6

7、.當x= 5 時，周瑜的年齡 25 歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x= 6 時，周瑜年齡為 36 歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡為 36 歲.說明 本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真口味六、 象棋比賽例 6 象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記 2 分，輸者記 0 分.如果平局，兩個選手各記 1 分，領司有四個同學統計了中全部選 手的得分總數，分別是 1979 , 1980 , 1984 , 1985.經核實， 有一位同學統計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加 .解 設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n 1)個選手比

8、賽一局，共計n(n 1)局，但兩個選手1的對局從每個選手的角度各自統計了一次，因此實際比賽總局數應為丄n(n 1)局.由于每局共計 2 分，所以全部選手得分總共為n(n 1)分.顯然(n 1)與n為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字 只能是 0,2 , 6，故總分不可能是 1979 , 1984 , 1985，因此總分只能是 1980，于是由n(n 1) = 1980 , 得n2n 1980 =0,解得門1= 45 ,n2= 44 (舍去).答參加比賽的選手共有 45 人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解七、 情景對話例 7 春秋

9、旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如圖1 對話中收費標準.某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000 元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？解 設該單位這次共有x名員工去天水灣風景區旅游 .因為 1000 疋 5 = 25000V27000，所以員工人數一定超過 25 人.則根據題意，得1000 20(x 25)x= 27000.整理，得x2 75X+1350 = 0,解這個方程，得xi= 45 ,X2= 30.當x= 45 時，1000 20(x 25) = 600V700，故舍去xi；當X2= 30 時，1000 20(x 25) = 9

10、00 700，符合題意.答：該單位這次共有 30 名員工去天水灣風景區旅游.說明求解本題要時刻注意對話框中的數量關系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結論.八、等積變形例 8 將一塊長 18 米，寬 15 米的矩形荒地修建成一個花園(陰影部分)所占的面積為原來荒地面積的三分之二(精確到 0.1m )(1 )設計方案 1 (如圖 2)花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路(2)設計方案 2 (如圖 3)花園中每個角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件？若能，請計算出圖 2 中的小路的寬和圖 3 中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.2解 都能.(1 )設小路寬為x，則 18X

11、+16xx2= X18 X15，即x2 34X+180 = 0 ,解這個方程，得x=，即x 6.6.例 10 一個長為 10m 的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等九、動態幾何問題例 9 如圖 4 所示，在厶ABC中，/ C = 90?/SPAN ,AC= 6cm ,BC= 8cm ,點P從點A出發沿邊AC向點C以 1cm/s 的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以 2cm/s 的速度移動(1)如果P、Q同時出發，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為 8 平方厘米？(2)點P、Q在移動過程中

12、，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由，所以 AB =汙卜腋匸=用 I 尸=10( cm )(1 )設xs 后，可使PCQ的面積為 8cm2,所以AP=xcm ,PC= (6 x)cm ,CQ= 2xcm.則根據題意，得(6 x) 2x= 8.整理，得x2 6x+8 = 0,解這個方程，得X1= 2 ,X2= 4.所以P、Q同時出發，2s 或 4s 后可使PCQ的面積為 8cm2.(2)設點P出發x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.1 1 1則根據題意，得2(6 x) 2x=2X?X6X8.整理，得x2 6x+12 = 0.由

13、于此方程沒有實數根，所以不存在使厶PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻.說明 本題雖然是一道動態型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據路程=速度 x 時間十、梯子問題(1)若梯子的頂端下滑 1m，求梯子的底端水平滑動多少米?(2)設扇形半因為/C= 90?/SPANQ(2)若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？(3) 如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米?解 依題意，梯子的頂端距墻角=8 (m ).(1 )若梯子頂端下滑 1m，則頂端距地面 7m.設梯子底端滑動xm.則根據勾股定理，列方程 72+(6+x)2= 102，整理，得x2

14、+12X 15 = 0 ,解這個方程，得X1疋1.14,X213.14 (舍去)，所以梯子頂端下滑 1m，底端水平滑動約 1.14m.(2)當梯子底端水平向外滑動1m 時，設梯子頂端向下滑動xm.則根據勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+1)2= 100.整理，得x2 16x+13 = 0.解這個方程，得X1 0.86 ,X2 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約 0.86m.(3) 設梯子頂端向下滑動xm 時，底端向外也滑動xm.則根據勾股定理，列方程(8 x)2+(6+x)2= 102，整理，得 2x2 4x= 0 ,解這個方程，得X1= 0 (舍去)，X2

15、= 2.所以梯子頂端向下滑動 2m 時，底端向外也滑動 2m.說明 求解時應注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構成直角三角形 十一、航海問題例 11 如圖 5 所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向 200 海里處有一重要目標B,在B的正東方向 200 海里處有一重要目標C,小島D恰好位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小 島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發，經B到C勻速巡航一艘補給船同時 從D出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦(1) 小島D和小島F相距多少海里？(2)已知軍艦的速度是補給船的 2 倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E

16、處，那么相遇時補給 船航行了多少海里？(精確到 0.1 海里)丄解(1)F位于D的正南方向，則DF丄BC因為AB丄BC,D為AC的中點，所以DF=2 AB= 100 海 里，所以，小島D與小島F相距 100 海里(2)設相遇時補給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE= 2x海里，EF=AB+BC (AB+BE)CF= (300 2x)海里在 Rt DEF中，根據勾股定理可得方程x2= 1002+(300 2x)2，整理，得 3x2 1200 x+100000 = 0.lOOV100/6解這個方程，得X1= 200 疋118.4 ,X2= 200+孑(不合題意，舍去)所以，相遇時補給船大

17、約航行了118.4 海里.說明 求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發現題目中的等量關系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運用勾股定理布列一元二次方程十二、圖表信息例 12 如圖 6 所示，正方形ABCD的邊長為 12，劃分成 12 X12 個小正方形格，將邊長為n(n為整數， 且 2 n 0，方程有兩個實數根，若b2 4ac 0,方程沒有實數根，本題中的b2 4ac= 16v0 即無解.十四、平分幾何圖形的周長與面積問題例 14 如圖 7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC= 5 ,AD= 4 ,BC= 10.點下底邊BC上，點F在腰AB上.(1 )若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設B

18、E長為x，試用含x的代數式表示BEF的面積；(2)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；(3) 是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成 1 : 2 的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由圖7解(1 )由已知條件得，梯形周長為 12，高 4，面積為 28.過點F作FG丄BC于G,過點A作AK丄BC于K.12-工則可得，FG= 行X4,224所以SABEF=BEFG= x2+ 號x(7 x 10 ).224(2)存在由(1 )得x2+庁x= 14，解這個方程，得X1= 7 ,X2= 5 (不合題意，舍去)=12，整理，得y2 20y+104 = 0,移項并配方，得(y 10)2= 4V0,所以此方程無解，即+所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE= 7.(3)不存在假設存在，顯然有SABEF:S多邊形AFECD= 1 : 2 ,2 16 28即侶E+BF) : (AF+AD+DC)= 1 : 2.則有一5 x2+ 予x=3,整理，得 3x2 24X+70 = 0,此時的求根公式中的b2 4ac= 576 840V0 ,所以不存在這樣的實數x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成 1 : 2 的兩部分.說明 求解本題時應注意：一是要能正確