1、反比例函數與一次函數綜合經典例題解析在歷年中考試題中一次函數和反比例函數常以綜合題形式出現，這類試題不僅能考查兩個函數的基本性質，而且能考查同學們綜合分析問題的能力。現以以下典型例題為例，淺談這類問題的解法，供參考。. .探求同一坐標系下的圖象例 1.1.已知函數y mx與yn在同一直角坐標系中的圖象大致如圖1 1,則下列結論正確x的是（）分析：由圖知，一次函數y mx中，y y 隨 x x 的增大而增大，所以m 0;反比例函數y -x在第二、四象限，所以n 0。觀察各選項知，應選 B B。評注：本題要由所給圖象結合一次函數和反比例函數的性質，方能作出正確選擇。k例 2 2 在同一直角坐標系中

2、，函數y kx k與y （k 0）的圖象大致是（）xA.A.B.B.C.C.D.D.圖 2 2分析：本題可采用排除法。由選項 A A、B B 的一次函數圖象知，k 0即k 0,則一次A.A.m 0, n 0C.C.m 0,n0B.B.m 0, n 0函數y kx k圖象與 y y 軸交點應在 y y 軸負半軸，而選項 A A、B B 都不符合要求，故都排k除；由選項 D D 的一次圖象知，k 0即k 0,則反比例函數yk（k 0）圖象應在第x一、三象限，而選項 D D 不符合要求，故也排除；所以本題應選C C。評注：本題把一次函數和反比例函數的圖象在同一坐標系中給出，有較強的綜合性，解 決這類

3、問題常用排除法。二.探求函數解析式k例 3 3 如圖 3 3，直線y kix b與雙曲線y只有一個交點 A A（ 1 1，2 2），且與 x x 軸，y yx軸分別交于 B B，C C 兩點，ADAD 垂直平分 0B0B,垂足為 D D，求直線與雙曲線的解析式。解析：k2因為雙曲線y過點 A A（ 1 1，2 2），xk所以2乞,k2212得雙曲線的解析式為y -。xA A 點的坐標為（1 1，2 2）。所以 B B 點的坐標為（2 2，0 0）。因為 ADAD 垂直平分 0B0B ,所以直線的解析式為y 2x 4因為y k1xb過點 A A（ 1 1，2 2）和 B B（ 2 2，0 0），

4、所以k1b 22k1b 0解得k12評注：解決本題的關鍵是確定點 B B 的坐標，由 ADAD 垂直 0B0B 知，點 D D 和點 A A 的橫坐標應 相同，所以點 D D 的坐標為（1 1，0 0），又 ADAD 平分 0B0B 知，OB 20D 2，所以點 B B 坐 標為（2 2，0 0），進而求出一次函數解析式。三.探求三角形面積4例 4 4 如圖 4 4,反比例函數y的圖象與直線yxA.A. 8 8B.B. 6 641解析：把y代入y x，得x341xx 3整理得x212解得x12 . 3,x22、3把x12.3,X22 3分別代入4yx得y1joy?=33313X的交點為 A A

5、，B B，過點 A A 作 y y 軸3的平行線與過點 B B 作 x x 軸的平行線相交于點C C,貝U ABC的面積為（C.C. 4 4D.D. 2 2所以點 A A 的坐標為（2 3,2、3）3點 B B 的坐標為(2.3,23)3由題意知，點 C C 的橫坐標與點 A A 的橫坐標相同，點 C C 的縱坐標與點 B B 的縱坐標相同， 所以點 C C的坐標為(2 3,23)。3因為AC2伍-y/3,333所以ABC的面積為114-ACBC .3438223故應選 A A。2例 5 5 如圖 5 5,已知點 A A 是一次函數y x的圖象與反比例函數y的圖象在第一象限內x22析解：把y

6、x代入y，得x ，xx整理得x22，解得Xi2,x22A.A. 2 2B.B.C.C.2D.D.2 2的交點，點得Xi2,x22分別代入y x又點 A A 在第一象限內，所以點 A A 的坐標為（,2, . 2）在AOC中AC、2,0C、2由勾股定理，得0A 2,所以 0B=20B=2。所以AOB的面積為11-OB AC 222，22故應選（C C）評注：例 4 4 和例 5 5 中都利用解方程來求出兩函數圖象的交點坐標，這是求兩函數圖象交 點坐標的常用方法，蘊含著轉化思想。四 探求點的坐標1k例 6 6 如圖 6,6,直線y x 1分別交 x x 軸、y y 軸于點 A A ,C,C，點 P

7、 P 是直線 ACAC 與雙曲線y 2x在第一象限內的交點，PB x軸，垂足為點 B B，APB的面積為 4 4。（1 1）求點 P P 的坐標；（2 2）略。1析解：在y x 1中，令x 0，則y 1；令y 0，則x 2。所以點 A A 的坐標為（-2-2，0 0），點 C C 的坐標為（0 0，1 1 ）。得yi2,y221因為點 P P 的直線y x 1上,21不妨設點 P P 的坐標為（m,-m 1）21所以AB m 2, PB m 1。21兩函數圖象的另一個交點為(,-4).評注:一次函數 y = mx + 3n 與反比例函數2my=-x(1(1 , 2)2)，則該點坐標滿足兩解析式

8、；要求兩圖象交點,5n5-的圖象都經過點則應由兩圖象的解析1又因為SAPB*AB PB 411所以(m 2)(m 1)422整理得m24m 12 0即(m 2)(m6)0解得mj2,m26因為點 P P 在第一象限，所以m2。故點 P P 的坐標為(2 2, 2 2)。評注：本題的解答過程蘊含著設元思想、方程思想和轉換思想。五、綜合運用例 6 6 已知關于 x x 的一次函數 y y = mxmx + 3n3n 和反比例函數點(1(1, - 2)2).求：(1)(1) 一次函數和反比例函數的解析式； 兩個函數圖象的另一個交點的坐標.解析：(1)(1) 兩函數圖象都過點(1(1 , - 2)2)

9、,2m 5的圖象都經過xm+ 3n= 2, 2m+ 5n= 2 .解之，得m= 4,n = 2.一次函數的解析式為 y y = 4x4x 6 6,2反比例函數的解析式為y=-.x(2)(2)根據題意，列出方程組y= 4x 6,2y=.解之，得y 一 2,1x =2y= 4.式組成方程組求解.k例 7 已知一次函數 y= x + 6 和反比例函數 y= (k 工 0).x(1)k(1)k 滿足什么條件時，這兩個函數在同一坐標系 xOyxOy 中的圖象有兩個公共點?設中的兩個公共點為 A A，B B,試判斷/ AOBAOB 是銳角還是鈍角？y= x + 6,(1)根據題意，得消去 y y,得 x

10、x2 6x6x + k k= 0 0.3636 4k4k0 0,. k kv 9 9.當 k kv 9 9 且 k kz 0 0 時，方程 x x2 6x6x + k k= 0 0 有兩個不相等的非零實數解. k k v 9 9 且 k kz 0 0 時，兩函數圖象有兩個公共點./ y y= x x+ 6 6 的圖象過第一，二，四象限， 0 0v k kv9 9 時，雙曲線兩支分別在第一、三象限由此知兩公共點A A，B B 在第一象限，此時/ AOBAOB 是銳角.k kv0 0 時，雙曲線兩支分別在第二，四象限，兩公共點A A，B B 分別在第二、四象限，此時/ AOBAOB 是鈍角.例 8

11、 已知 A(m，2)是直線 I 與雙曲線 y=3的交點.x(1)求 m m 的值；(2)若直線 I I 分別與 x x 軸、y y 軸相交于 E E，F F 兩點，并且 RtRt OEF(OOEF(O 是坐標原點) ) 的外心為點 A A，試確定直線 I I 的解析式；3(3) 在雙曲線 y=上另取一點 B 作 BK 丄 x 軸于 K ;將 中的直線xI I 繞點 A A 旋轉后所得的直線記為 I I，若 I I與 y y 軸的正半軸相交于點 C C，一1且 OC = - OF .試問在 y 軸上是否存在點P，使得 SPCA= S BOK，4若存在，請求出點 P P 的坐標？若不存在，請說明理

12、由.圖】3OL解析：3:直線 l 與雙曲線 y =-的一個交點為 A(m, 2),33一 =2，即 m=二.m23 A 點坐標為(一，2).2 丿作 AMAM 丄 x x 軸于 M M ./ A A 點是 RtRt OEFOEF 的外心， EAEA = FAFA .由 AMAM / y y 軸有 0M0M = MEME . OFOF = 20M20M./ MAMA = 2 2, OFOF = 4 4. F F 點的坐標為(0(0, 4)4).設 I I: y y = kxkx + b b，則有34k + b= 2,k = 一，23b = 4.b= 4.4直線 I 的解析式為 y = x+ 4.

13、31(3)TOC=4OF,AOC=1. C C 點坐標為(0(0, 1)1).設 B B 點坐標為(X(X,，) )，貝 U U13-sBOK=-|x1|y1|=2設 P P 點坐標為(0(0, y y)，滿足SPCA=S BOKBOK .當點 P P 在 C C 點上方時，y y 1 1, 有1333S PCA=2(y1)x=；(y1)=2 y y = 3 3.當點 P P 在 C C 點卜方時，y y v 1 1,有13S PCA2 (1y)=2 y y = 一 2 2.綜上知，在 y y 軸存在點 P(0P(0, 3)3)與(0(0, 2)2)，使得 S SPAC= S SBOK評注：直

14、線與雙曲線的綜合題的重要組成部分是兩種圖象的交點，這是惟一能溝通它們的要素，應用交點時應注意:(1)(1)交點既在直線上也在雙曲線上，交點坐標既滿足直線的解析式也滿足雙曲 線的解析式.(2)(2)要求交點坐標時，應將兩種圖象對應的解析式組成方程組，通過解方程組 求出交點坐標.(3)(3) 判斷兩種圖象有無交點時， 可用判別式確定， 也可以畫出草圖直觀地確定.例 9 如圖 13- 32,已知 C, D 是雙曲線 y=m在第一象限內的分支x上的兩點，直線 CDCD 分別交 x x 軸，y y 軸于 A A , B B 兩點，設 C C, D D 的坐標分別是(x(x1,y y1) ), (x(x2

15、, y y2) )，連結 OCOC, ODOD .(1)求證：y! OCvy1+yi1 _若/ BOC =ZAOD =a,tana=3 , OC = 10，求直線 CD 的解3析式.證明：(1)(1)如圖 1313 3333 過點 C C 作 CGCG 丄 x x 軸，垂足為 G G,則 CGCG = y y1, OGOG = x x1.點 C(x1, y1)在雙曲線 y =上,xmy1在 RtRt OCGOCG 中，CGCG OCOC CGCG + OGOG , y1 OC y1+.y1解：在 RtRt GCOGCO 中，/ GCOGCO =Z BOCBOC =a, OC2= OG2+ CG2, OC =、. 10,10 = x2+ y2，即 10 = x2+ (3x1)2.解之，得 x x = 1 1.負值不合題意， x x = 1 1, y y = 3 3.點 C C 的坐標為(1(1 , 3)3),.點C在雙曲線 y = m 上，x 3=，即 m = 3.13所以，雙曲線的解析式為y=3.x過點 D D 作 DHDH 丄 x x 軸，垂足為 H H .貝 U U DHDH =