專題01-集合與常用邏輯用語

【考向解讀】：

集合與常用邏輯用語在高考中是以選擇題或填空題的形式進行考查

的，屬于容易題.但命題真假的判斷，這一點綜合性較強，聯系到

更多的知識點，屬于中擋題.預測高考會以集合的運算和充要條件

作為考查的重點.

【命題熱點突破一】：集合的關系及運算

集合是高考每年必考內容，題型基本都是選擇題、填空題，題目難

度大多數為最低檔，有時候在填空題中以創新題型出現，難度稍

高.在復習中，本部分應該重點掌握集合的表示、集合的性質、集

合的運算及集合關系在常用邏輯用語、函數、不等式、三角函數、

解析幾何等方面的應用.同時注意研究有關集合的創新問題，研究

問題的切入點及集合知識在相關問題中所起的作用.

1.集合的運算性質及重要結論

(1)4U2=4AU0=A,A.

(2)4G2=44G0=0,AQB=BHA.

(3)An([M=0,Au([i：A)—u.

(4)4G8=B,AUB=/=醫A.

2.集合運算中的常用方法

(1)若已知的集合是不等式的解集，用數軸求解；

⑵若已知的集合是點集，用數形結合法求解；

⑶若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解.

例1、已知集合2={(x,力]/+/<3,x￡Z,yGZ},則力中元素的

個數為()

A.9B.8C.5D.4

答案A

解析將滿足V+/W3的整數x,y全部列舉出來，即(—1,-1),

(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,

0),(1,1),共有9個.

故選A.

【舉一反三】已知集合力={?*—x—2>0},貝比必等于()

A.{x|-1VXV2}B.{x|-1WXW2}

C.{x|xV-1}U{x\x>2}D.{x|xW-1}U{x|x22}

答案B

解析V/-^-2>0,(x-2)(x+l)>0,.,.x>2或xV—l,即

A={x|x>2或x<—1}.在數軸上表示出集合A,如圖所示.

-I0I2X

由圖可得［/={x|-1WXW2}.

故選B.

【變式探究】已知集合/=,“盛/樣y=#,岳靜艮魏，憚=耳，則4n方

中元素的個數為

A.3B.2C.1D.0

【答案】：B

【解析】集合中的元素為點集，由題意，結合》表示以(o,o)為圓心，1為半徑的單位圓上所有點組成的

集合，集合5表示直線y=x上所有的點組成的集合，圓x：+/=l與直線y=x相交于兩點(L1),

(-1-1),則XD3中有兩個元素.故選5.

【變式探究】,設集合'=風如一圓€黑-篁野碉x=如茄>哪，則§n7=

()

(A)[2,3](B)(-oo,2]u[3,+oo)(C)[3,+oo)(D)(0,2]U[3,

+oo)

【答案】：D

【解析】：由"一廂一蜜。解得G3或xK2,所以

$=嫻篇里題屜罡舞，所以$］賈=0?篇嗖旗屜楚縷，故選D.

【感悟提升】：

(1)集合的關系及運算問題，要先對集合進行化簡，然后可借助

Venn圖或數軸求解.

(2)對集合的新定義問題，要緊扣新定義集合的性質探究集合中元素

的特征，將問題轉化為熟悉的知識進行求解，也可利用特殊值法進

行驗證.

【變式探究】:(1)已知集合4={才，-4才+3<0},5={削2〈水4},

貝IJ4G夕等于()

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

⑵設〃為全集，A,〃是集合，則“存在集合。使得/GC,

住QC"是的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(3)已知集合4={x|log2xW2},6=(—8,㈤，若￡8則實數a

的取值范圍是(c,+8),其中。=.

【答案】:(1)C(2)C(3)4

【解析】:(1)A—{x|%—4%+3<0}={x|(x-1)(x—3)}={x|1<

xV3},8={x|2VxV4},.,.4G8={x|2<xV3}=(2,3).

(2)若存在集合C使得怎C,住C￡則可以推出4G8=。；

若4G3=0,由Venn圖(如圖)可知，存在力=0,同時滿足力GC,

隹GC.

u(tC

故”存在集合。使得AQC,隹CC是"/G〃=0”的充要條件.

(3)由log2后2,得0<xW4,

即4={x0<xW4},而6=(—8,a),

由于包氏如圖所示，則a>4,即。=4.

【點評】：(1)弄清集合中所含元素的性質是集合運算的關鍵，這主

要看代表元素，即“I”前面的表述.(2)當集合之間的關系不易確

定時，可借助Venn圖或列舉實例.

【命題熱點突破二】：四種命題與充要條件

邏輯用語是高考常考內容，充分、必要條件是重點考查內容，題型

基本都是選擇題、填空題，題目難度以低、中檔為主.在復習中，

本部分應該重點掌握四種命題的真假判斷、否命題與命題的否定的

區別、含有量詞的命題的否定的求法、充分必要條件的判定與應

用.這些知識被考查的概率都較高，特別是充分、必要條件幾乎每

年都有考查.

1.四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同

假.

2.若片Q,則夕是q的充分條件，q是夕的必要條件；若叢爾

則夕，。互為充要條件.

lb

例

設

是

勺

2貝d3X

XGud<-X<1U

、U

R,IX-221

A.充分而不必要條件

B.必要而不重復條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】：A

【解析】：絕對值不等式X-；

由/V1=X<1.

據此可知卜-；卜；是x3<l的充分而不必要條件.

本題選擇A選項.

【舉一反三】:設a,b均為單位向量,貝1|“la-3b|一畫+b|”是“aJLb”

的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】：C

【解析］：|a-3b|=|3a+b|?|a-3b|2=|3a+b|:?a:-6a-b+9b3=9a2+6a-b+b:,因為

a,b均為單位向量，所以J-6a,b+9b?=9a2+6a.b+b,oa,b=0oa_L8,即

“|a-3b|=|3a+b|”是“aJ_b”的充分必要條件.選C.

【變式探究】設8eR,則“LIV，是“sine<，”的

2

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件

【答案】：A

|鑫■—受卜<受，㈡期〈部篦=如5弧熟<3

【解析】：：B：BW*，但r不滿足

I都-斗二

?所以是充分不必要條件，選A.

【變式探究】：設a〉0且aWl,則“是“6>a”的（）

A.必要不充分條件B.充要條件

C.既不充分也不必要條件D.充分不必要條件

答案C

解析log,6>l=log,a=b>a>l或0〈伏水1；而垃a時,人有可能為

1.所以兩者沒有包含關系，故選C.

【感悟提升】：充分條件與必要條件的三種判定方法

（1）定義法:正、反方向推理，若夕=q,則夕是。的充分條件（或。

是夕的必要條件）；若月Q,且如P，則夕是。的充分不必要條件

（或（7是夕的必要不充分條件）.

⑵集合法:利用集合間的包含關系.例如，若￡B,則力是少的充

分條件（2是4的必要條件）；若4=8則4是8的充要條件.

⑶等價法:將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題.

【變式探究】：（1）設a,￡是兩個不同的平面，力是直線且歸a.

則“勿〃尸”是“。〃萬”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析歸a,%〃￡=/a〃￡,但忙a,。〃￡=勿〃￡,

所以勿〃￡是a〃尸的必要而不充分條件.

（2）給出下列命題：

①若4B,C,〃是不共線的四點，則游=龍是四邊形力頗為平行

四邊形的充要條件；

②的充要條件是|a|=|引且a〃b；

③在中，sin冷sin〃的充要條件為4>8；

④在△/式中，設命題）:△48。是等邊三角形，命題q:a：6：c=

sin夕：sin。：sin4那么命題P是命題。的充分不必要條件.

其中正確的命題為.（把你認為正確的命題序號都填上）

【答案】：①③

【解析】①正確.因為方=比，

所以.花二皮目叁〃比，

又月，5,C,D是不共線的四點，所以四邊形X5CD為平行四邊形；反之，若四邊形.MCD為平行四邊形,

貝母II皮目游二虎，因此不二虎.

②不正確.當4%且方向相反時，即使&="也不能得到a=｝故a=5且不是a=b的充要條件,

而是必要不充分條件.

ab

③正確.由正弦定理知sin4=^sin^=~,當sin/>sin夕成立

時，得a>b,則給8；當給方時，則有H乂，則sin/>sin〃，故命題

正確.

④不正確.若是等邊三角形，則a—b—c,sin〃=sinC=

sin/,即命題夕是命題g的充分條件；若a：Z?：c=

sinB：sin。：sin4則一，又由正弦定理得即

smyfcsmAsine

s1n「ch

——-=",所以一=一，BPc=ab,同理得3=歷，lf=ac,所以c=a

sin/aac

=b,所以△/a1是等邊三角形.因此命題?是命題q的充要條件.

綜上所述，正確命題的序號是①③.

【點評】：判斷充分、必要條件時應注意的問題

⑴先后順序：的充分不必要條件是是指方能推出4且力不

能推出民而“/是〃的充分不必要條件”則是指/能推出反且〃

不能推出A.

(2)舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進

行時，可以通過舉出恰當的反例來說明.

⑶準確轉化:若㈱夕是各蒲0的必要不充分條件，則P是。的充分不

必要條件；若㈱,是㈱4的充要條件，那么夕是。的充要條件.

【命題熱點突破三】：邏輯聯結詞、量詞

1.命題PVQ,只要P，。有一真，即為真；命題夕Aq,只有p,q

均為真，才為真；^夕和,為真假對立的命題.

2.命題夕Vq的否定是(㈱夕)八珠弟q);命題0Aq的否定是施弟

p)V皤q).

3.“VxEZp(x)”的否定為匕吊￡必，,(劉)"；'T吊￡必

夕(苞)”的否定為“VxGM,㈱p(x)”.

例3、已知命題夕產>°削舊7>0；命題°：若a,。，則4應下列

命題為真命題的是

(A)p人q(B)p八飛(C)p人q(D)]/?人為

【答案】：B

【解析】：由x〉0時事的地皿小舊有意義，知p是真命題，由

L?3d4TFW可知q是假命題，即p,/均是真命題，

故選B.

【變式探究】命題“鸚意%胡閩制，使得〃>f”的否定形式是()

A.'?熱定膜密皚閡*,使得〃〈/B.既e隈夠底時，使得

C.五徒屬兼陶齡，使得〃〈/D.五更%,勒代使得〃<f

【答案】：D

【解析】：V的否定是三，三的否定是V,的否定是〃</.故選

D.

【感悟提升】：

⑴命題的否定和否命題是兩個不同的概念:命題的否定只否定命題

的結論，真假與原命題相對立；（2）判斷命題的真假要先明確命題的

構成.由命題的真假求某個參數的取值范圍，還可以考慮從集合的

角度來思考，將問題轉化為集合間的運算.

【變式探究】：（1）已知勿，〃是兩條不同直線，a,￡是兩個不同

平面，則下列命題正確的是（）

A.若a,￡垂直于同一平面，則。與￡平行

B.若勿，〃平行于同一平面，則勿與〃平行

C.若a,￡不平行，則在a內不存在與￡平行的直線

D.若如〃不平行，則必與A不可能垂直于同一平面

⑵已知命題4:若x>y,則一x<—y；命題Q：若x>y,則x>y.在命

題①夕Aq；②夕\/3③夕八廢弟q）;④（㈱0）Vq中，真命題是

（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】：⑴D（2）C

【解析】：（1）對于A,a,萬垂直于同一平面，a,f關系不確

定，A錯；對于B,勿，〃平行于同一平面，加，〃關系不確定，可平

行、相交、異面，故B錯；對于C,a,￡不平行，但a內能找出

平行于B的直線，如a中平行于a,B交線的直線平行于￡,

故C錯；對于D,若假設勿，〃垂直于同一平面，則勿〃〃，其逆否命

題即為D選項，故D正確.

⑵當時，一x<一y,故命題2為真命題，從而㈱夕為假命題.

當時，不一定成立，故命題q為假命題，從而㈱q為真命

題.

由真值表知，①0Aq為假命題；②,Vg為真命題；③p/\(糠玲為

真命題；④廢弟而V。為假命題.故選C.

【點評】：利用等價命題判斷命題的真假，是判斷命題真假快捷有效

的方法.在解答時要有意識地去練習.

【高考真題解讀】：

1.已知全集滬U，2,3,4,5},A={1,3},則dA=

A.0B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】：C

【解析】：因為全集U712345},A={1,3},所以根據補集的定義得

CuA={2,4,5},故選C.

2.設全集為R,集合A{x|0<x<2},B=?x>l},則AA(CRB)=

A.{x|0<x<1}B{x|0<x-1}Q(x|l<x<2}{x|0<x<2}

【答案】：B

【解析】：由題意可得:CRB={X|X<1},結合交集的定義可得：

An(CRB)-{O<x<l).

本題選擇少選項.

3.設集合A：{Xy)|x-y2l.ax+y>4.x-ayf2}.則

A.對任意實數a,(2,1)6AB.對任意實數a,(2,1)CA

C.當且僅當a〈0時，(2,1)CAD.當且僅當a用時，(2,1)6A

【答案】：D

【解析】：若(2,1)￡A,則a>|la“，即若(2』)6A,則a6，此命題的逆

a

否命題為:若a乙，則有(21)WA,故選D.

4.已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么APB=

【答案】：{b8}

【解析】:由題設和交集的定義可知:ACB={1,8}.

5.已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},貝!!AnB=

A.[0,1}B.{-1,0,1}

C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】：A

【解析】:VM<2.因此4n廬「20,12}n(-22)70,%選A.

6.已知集合A，體~-2>0},則CRA=

A.(x|-l-x-2}B.國Txw2}

C.{x|x<-l}U{x|x>2|D.1x|xwT}U{x|x>2)

【答案】:B

【解析】:解不等式x2-x-2>0得x〈T或x>2,所以A={x|xv-I或x>2},

所以可以求得CRAYXIT642},故選可

3.設集合,戶網一然篇上簟，Z為整數集，則AAZ中元素的個數是

()

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】：C

【解析】：由題意，域】方=針鼻與感￡尊，故其中的元素個數為5,選

C.

4.設集合點=賽|忸=2:小：局潛=瓢懵'T喈:電，則AU8=()

(A)(-U)(B)(0,1)(C)(-1收)(D)(0,田)

【答案】:C

【解析】：捻=￡M蘆靜瞬，?鬻=酎-1<舒<徵，則司;檄=(-I,+靄)，選c.

5.已知集合A={1,2,3},騷=耕房物混T0整器，則AUB=()

(A){1}(B){1,2}(C){0,1,2,3}(D){一1,0,1,2,3}

【答案】：c

【解析】：集合意=網一1<—%“香=瓢簿，而4={1,2,3},所以

閱■=：覷X&解，故選C.

6.已知集合屋=御國霉爆,股=3U運I禹鴛，則AnB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】：C

【解析】：由/?=,蠢1%但?海，得卻竣=也-<璃％故選C.

7.已知集合心代仲M黑釗啟=￡第管區甘叫a則加的=()

A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.卜%-期MX*僦

【答案】:B

【解析】：根據補集的運算得

Q=<4)=(-2,2),:.FU(RQ)=[L3]U(T2)=(-2,3].故選日

8.命題“明點嘎，業皚甘，使得〃>/”的否定形式是()

A.’物更%和陽窗，使得〃v/B.瞞前曝鎰睚鵬設，使得〃

C.王瑛隔，麻闈制，使得〃</D.五能眩,商得，使得〃

【答案】：D

【解析】：V的否定是三，三的否定是V,的否定是〃</.故選

D.

9.已知直線a,6分別在兩個不同的平面a,￡內.則“直線a和直

線。相交”是“平面a和平面B相交”的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

【答案】:A

【解析】：直線a與直線b相交，則a,夕一定相交，若a,/?相交，則

a,b可能相交，也可能平行，故選A.

10.設{4}是首項為正數的等比數列，公比為Q,則“60”是“對任

意的正整數〃，須T+a<0”的()

(A)充要條件(B)充分而不必要條件

(C)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件

【答案】：C

【解析】：由題意得，

維得封備%.Y旗U喊，"T#窗產勺Y欷口熄分!(逸斗盛Y瞰Q5醴T斗—獗，故是必

要不充分條件，故選C.

11.已知集合盔=眠息雌潛=W=恥-駕&海<則An8=()

(A){1}(B){4}(C){1,3}(D){1,4}

【答案】：D

［解析］:掇=瓢<XI期加E=羯琳.選D.

12,已知集合燭二CT2專闔毒餐制心磁&：唱霉則AnB=A.

【答案】：{-1,2}

【解析】:匐第YTM梟蜀1銅T噬將WT也瑞

13.設aeR,貝|“a>l”是“4>i”的()

(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件

(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件

【答案】：A

［解析］:涵*$=?露現￡翅n■簿蠅或融嘯T,所以是充分非必要條件,選

A.

14.設集合盤=涮怦=0口茶:蹶第=欲串‘-加吼則AUB=

(A)(TD(B)(01)(C)(t，e)(D)(°什)

【答案】：C

[解析]：&,=J獻％.=￡司Tv需<徵,則點U彝=(-1,+圖),選C.

1.已知全集〃={1,2,3,4,5,6,7,8},集合[={2,3,5,

6),集合8={1,3,4,6,7},則集合/n((由)等于()

A.⑵5}B.{3,6}

C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

答案A

解析由題意知，[/={2,5,8},則4G(「面={2,5},選A.

2.“K0”是“ln(x+l)〈O”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析Vln(^+l)<0,r.O^+Kl,r.-KXO.

Vx<0是一的必要不充分條件，故選B.

3.設集合4{x，=x},后{x|lgxW0},則"U/V等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(-oo,I]

答案A

解析由題意得〃={0,1},川=(0,1],故#U/V=[O,1],故選

A.

4.設集合4={x||x-11<2},B={y|y=2'?x￡[0,2]},則4c8

等于()

A.[0,2]B.(1,3)

C.[1,3)D.(1,4)

答案C

解析由|x-1|<2,解得一l<x<3,由尸2、[0,2],解得

1WJ<4,：,AQB={~\,3)A[1,4]=[1,3).

5.已知集合4={(x,y)|/+y^l,x,yGZ},B={(x,

y)||x|W2,|y|W2,x,yGZ},定義集合4夕={(蜀+蒞，力+

%)I(西，w)￡4(如㈤￡8},則力夕中元素的個數為()

A.77B.49C.45D.30

答案C

解析如圖，集合/表示如圖所示的所有圓點丁，集合5表示如圖所示的所有圓點“。”+所有圓點“丁，集

合H沅5顯然是集合{(x,v)||x|<3,帆3,x,jWZ)中除去四個點{(一3,-3),(-33),(3,-3),(3,3)}之外

的所有整點(即橫坐標與縱坐標都為整數的點)，即集合d沅5表示如圖所示的所有圓點“。”+所有圓點;”+

所有圓點“?”，共45個.故d沅3中元素的個數為45.故選C.

6.已知集合尸={x|1—2x20},Q={x|lVxW2},貝ij([㈤00

等于()

A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]

答案C

解析?.?尸={川X三2或2<0},限產={,0<彳<2},

??.(除。門431</<2},故選C.

7.設a”a2,???,a足R,.若,:a”及，…，4成等比數列；

Q:(a；+a；+…+a3)?(a；+a：+…+或)=(&冏+22a3+…+a“-

同)2,貝|J()

A.夕是q的必要條件，但不是q的充分條件

B.P是。的充分條件，但不是q的必要條件

C.2是。的充分必要條件

D.4既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

答案B

解析若P成立，設ai,8,…，①的公比為g,則(而+出+…+W-】)(足+房+…+⑸=田(1+爐+…+/

-4)砥1+，+...+個"-4)=山色(1+>+…+g：n-4)2,(aid：+33+…+0|-10|)2=(41]02)2(1+爐+…+產-*

故g成立，故p是g的充分條件.取ai=a=...=a”=o,則g成立，而P不成立，故P不是g的必要條件,

故選B.

8.設命題P：m〃￡N,n>2",則㈱P為()

A.V〃￡N,n>2"B.2〃￡N,n^2n

C.V〃￡N,#&藝D.3A￡N,n=2n

答案C

解析將命題0的量詞解"改為"V",解2>2"”改為

專題02-平面向量與復數

【考向解讀】：

1.命題角度：復數的四則運算和幾何意義；以平面圖形為背景，考查

平面向量的線性運算、平面向量的數量積.

2.題目難度:復數題目為低檔難度，平面向量題目為中低檔難度.

【命題熱點突破一】：平面向量的線性運算

(1)在平面向量的化簡或運算中，要根據平面向量基本定理選好基

底，變形要有方向不能盲目轉化；

(2)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結果向量是第一個

向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法

則時要保證“同起點”，結果向量的方向是指向被減向量.

例1、在△4%'中，4?為回邊上的中線，E為4?的中點，則腌于

()

3113

A.誦一跡B.血一證

3113

C.砂+西D.砂+1充

答案A

解析作出示意圖如圖所示.

1111131_

Ti3=ZMZ^=2^?+22x2(^+^)+2?-^)=^牯一=充

故選A.

【方法技巧】：

⑴向量加法的平行四邊形法則:共起點；三角形法則：首尾相連；向

量減法的三角形法則：共起點連終點，指向被減.

⑵已知。為平面上任意一點，則4,B,。三點共線的充要條件是存

在s,t,使得亦=5游+方次且s+t=l,s,fGR.

(3)證明三點共線問題，可轉化為向量共線解決.

【變式探究】已知向量a,6的夾角為60°,|a|=2,|6|=1,則

|a+2b\-.

【答案】：2百

【解析】：利用如下圖形，可以判斷出Z+2B的模長是以2為邊長的

菱形對角線的長度，

I［屋日稻?叫&『=日雙山Mw財瓣升q=世

所以I樹II■鬟!|=，5父="5

【變式探究】：如圖，在中，"是力。邊上一點，且粉=1南P

乙

9

是W上的一點，若辦=麻葉g衣，則實數力的值為()

A

11

A.-B.-C.1D.3

</o

答案B

解析,辦，=；宓.,.加=；衣，

乙O

22

/./n^+d芯=勿辦+鼻欣

?7。

21

又B,N,夕三點共線，，/+3=1,m=~

、JI

【變式探究】：(1)設0〈。〈歹，向量a=(sin2J,cos,b=

乙

(cose,1),若a〃力，則tan。=.

(2)如圖，在△45。中，AF=]:AB,〃為笈的中點，與療'交于點

E.若宓=a,充=b,且宓=xa+yb,則x-\-y=.

【答案】：⑴：(2)

乙乙

【解析】:⑴因為二〃8,

所以sin2d=cosL，0,2sin9cos0=cos'0.

,JI一

因為0<,所以cos”0,

乙

得2sin9=cos9,tan9=^.

(2)如圖，設尸5的中點為連接YD.

因為D為3c的中點，〃為FB的中點，所以MD#CF.

因為,所以F為WW的中點，E為WD的中點.

方法一因為宓=a,k=6,〃為8。的中點,

所以9)=:(a+6).

所以亦=*$；(&+6).

乙d

所以宓=游+龍=-充+龍

=—b+；(a+6)

131

所以x=W，y=-7所以x+y=一江

AX乙

方法二易得EF=±MD,MD=±CF,

13

所以）=下牙，所以a=［成

因為萬三方+亦=一充+亦=—

O

3113

所以玄=［（_6+wa）=-a—-b.

4fOAT

13i

所以x=7，y=—7，則x+y=-5?

AJT乙

【感悟提升】：（1）對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；

同時注意共線向量定理的靈活運用.（2）運算過程中重視數形結合,

結合圖形分析向量間的關系.

【變式探究】：如圖，在正方形/題中，的》分別是比；切的中

點，若充=4刖〃的，則等于（）

868

A.2B.-C.-D.-

355

答案D

解析方法一如圖以力夕，4〃為坐標軸建立平面直角坐標系，設正

（（1A

方形邊長為1,劉仁1,傣=一5，1，裕=（1,1）.

1句\/

ffHI[1)(,A,\

AC=AAM~\-n^N=A1,5+〃-5，1=%一方，歹十〃，

.2解得〈cb故4+〃=78.

A25

丁+〃=1,U=~,

j/I0

方法二以骸，劭作為基底，

；M,"分別為a；0的中點，

.,.商=礪+祚刃+：劭，~§N=詼+冼=沏-［礪，

乙乙

.,.衣=4萬什〃琳=4——油+—+口劭，

又充=赤+就，

「，〃r,6

幾o~=1，4=三，

258

因此〈,解得〈°所以［+〃=￡.

X25

—+P=l,〃=3

、乙1b

【命題熱點突破二】：平面向量的數量積

(1)數量積的定義：&?b=\a\|Z?|cos8.

(2)三個結論

①若a=(x,y),貝ljIa|=yja?a=y^x+y.

②若月(X,yi),B(X2,%),則

I福=7~吊一為""A-~y-2~y\

③若a=（xi,%）,。=（應，%）,。為a與6的夾角,

皿1。a*b。應+?%

則MS。-卮西=5+雙,+/

例2、（2018年天津卷）如圖，在平面四邊形中，ABIBC,

AD1CD,/BAD=120。，AB=AD=1.若點￡為邊切上的動點，則他?血的

最小值為

【答案】：A

【解析】：建立如圖所示的平面直角坐標系，則A］。,］）,B（］,0）,

點E在CD上，貝1］應=近℃41）,設E&y）,則:

整理可得：通.欣-44A2-2A+2X0<A<I),

4

結合二次函數的性質可知，當…:時，曲?血取得最小值］.

本題選擇/選項.

【命題熱點突破四】：復數的概念與運算

復數運算的重點是除法運算，其關鍵是進行分母實數化，分子分母

同時乘分母的共輾復數.對一些常見的運算，如(1±。2=±2，，

胄="*=—I.等要熟記.

1—i

例4、設z=i+i+2i,則|z|等于()

1

A.0B.2C.1D.^/2

答案C

1—i1—i2—2i

解析Vz=i+i+2i=—i+i1—i-+2i=2+2i=i,

|z|=1.故選C.

【變式探究】已知aeA，i是虛數單位，若“堿皆褥；"三=創，則a=

(A)1或-1(B)"或-將(C)-6(D)上

【答案】：A

【解析】：由駕=潮#屬得/+3=4,所以。=±1,故選A.

【變式探究】：已知a公R,/是虛數單位，若引熱一母=圖，貝匕

b

的值為.

【答案】:2

[解析]:由口#真=雷，可得I+人一所以尸=2,

[1-Z?=O[z?=i

@=2,故答案為2.

h

9

【變式探究】：（1）若復數z=4廚，則|z|=（）

1A/3

A.-B.%C.1D.2

乙乙

1—i

（2）已知復數z=—（7為虛數單位），則復數Z在復平面內對應的

1

點在（）

A.第一象限氏第二象限

C.第三象限〃第四象限

【答案】：⑴。（2）8

【解析】:⑴z=jq^=2=；一事,,所以|z|=

（6%叫』?

1—J

（2）Z=—=-1-J,則復數z=-1+，，對應的點在第二象限.

1

【高考真題解讀】：

1.已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的

夾角為泉向量6滿足93=0,則|af|的最小值是

A.由TB.由+1C.2D.2M

【答案】：A

【解析】：設a-?b=（m?則由心）［得

a-e-|a|-Idcos^,x-+/?二y■±gx,

由b、4e?b?3=0/|^m"+n"4m+3=0,（m-2）"卜n"=1.

因此*b|的最小值為圓心（2⑼到直線丫=土業的距離竽=由減去半徑1,

為由-1.選A.

2.如圖，在平面四邊形力aZ?中，ABIBC,AD1CD,NBAD=120。，

AB=AD=1.若點￡為邊⑺上的動點，則箱?血的最小值為

【答案】：A

【解析】：建立如圖所示的平面直角坐標系，則A（0,_）,B（R,0）,

設E(x,y),貝lj：

刮停），即x+—=—；

22

廠京

據此可得:

Eg**/],且:

\222)

A，_/A#3..八-

AE=I—A——+T，BE

\2222)

由數量積的坐標運算法則可得:

3

AEBE

2

整理可得:心^4A：-2/.+2X0<A<I),

4

171

結合二次函數的性質可知，當3時，AE-BE取得最小值記

本題選擇A選項.

3.（2018年全國I卷理數）設拋物線C:y=4x的焦點為凡過點

（-2,0）且斜率為7:的直線與。交于歷N兩點，則血加=

A.5B.6C.7D.8

【答案】：D

【解析1:根據題意，過點（-2,0）且斜率為1的直線方程為

y=，+2),與拋物線方程聯立［產產+2),消元整理得:y2_6y+8=0,解

\y2■4x

得M(1,2),N(4,4),又F(1,O),所以求1=(0.2)向=(3.4),從而可以求得

FM-FN=0X3+2X4=8,故選D.

4.在△川€：中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則由=

.3-1-1-3-

A.-AB—ACB.-AB—AC

4444

八3-1-1-3-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】：A

【解析】：根據向量的運算法則，可得

-1-1-1-1--1-1，1-3-1-

BE-BA+-BC-BA+-(BA+AC)--BA+-BA+-AC-BA+-AC,

222224444

所以由二：疝二品，故選A.

44

5.已知向量a,b滿足|a|=1,a-b=T,則a-(2a-b)=

A.4B.3C.2D.0

【答案】：B

【解析】：因為「(2a-b)=2/1-b=2|a|:-(-l)=2+1=3.

所以選B.

6.在平面直角坐標系xOy中，4為直線l：y=2x上在第一象限內的點，

B(5,O),以48為直徑的圓。與直線,交于另一點〃.若曲?cb=o,則

點/的橫坐標為

5.在AABC中，NA=60。，AB=3,AC=2.^BD=2DC,

n?n<ii,iimmitulLUW.IIUULLIUUUX

/S1二熊愿史啜:，且/齦,且貳=一4,則4的值為

6.已知4M是互相垂直的單位向量，若島-e?與勺+雙的夾角為60,

則實數2的值是.

【答案】：乎

-6-昊《曲11?基-熏史順屬前=也￥＞：,解得.幾=6

"-3'

7.已知向量a,6滿足國=期用=或貝心魯切#-一用的最小值是

,最大值是.

【答案】:4,26

【解析】：設向量1石的夾角為。，由余弦定理

簾/

的羲卜#'帶劈_孰1比%^般_超=護4msi轡則

的可得知案卜拿界能黜5穆普依-gsem圖

,

今廬=聲詬病*上一百端,貝小/=觸普地K謁蒲窗1s,版■],

據此可得:V

杷：以也蒯

機對的最小值是4,最大值是2君.

8.如圖，已知平面四邊形/比〃AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,

然與初交于點0,記/尸正面,12=OBOC,I^OCOD,貝!)

A.1[<12<bB.I1<右<hC.八<4<I]D./2</,</3

【答案】-c

【解析】：因為A箍藕=2?f避第娥，OA<OC,OB<OD,所以

ilULM：'mui!KrmjfficIWEWii'ni'iynmiuiy

*郎熱微孤@妙,故選Co

9.如圖，在同一個平面內，向量麗，0B,反的模分別為1,1,

應,血與沅的夾角為a,且tana=7,而與反的夾角為45°.若

UftfU）1”;1粵

酶=3^1攻一灑豳（利,〃eR）,貝I」m+n=▲

B

a

OA

(第12題)

【答案】：3

t解析】由tana=7可得sina=若，cosa=*，根據向量的分解,

=,ncos450+mcosa=v2

易得｛即得加=二7二一，

nsin450-msina=044

10

所以w+w=3.

IO.已知向量磔=憾癖足麗血叫薄=腳—/心；任

(1)若3〃6,求X的值；

(2)記f(x)=a/,求/(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.

【答案】：⑴x=^-(2)尤=0時，〃尤)取得最大值，為3；*

時,/(x)取得最小值，為-2百.

【解析】：

解：⑴因為TeM%-卜西，a〃b,

所以-^0881K=強皿&:

若cos^=0,則sinx=0,與蒯■'占=3矛盾，故cosxwO.

于是"=一￥

又xw[0,兀],所以x=空.

6

打或=蹄/=艇蟠1風辟如扁/￡-^口=假砌常?一代品期恁甌匍皆—

(2)”-…矛工蠢.

鬻升一---

因為閆0,可，所以修I修

從而

于是，當X+S,即x=0時,“X)取到最大值3；

66

當x+2=不，即尤時，“X)取到最小值-2G

1.設有下面四個命題

化：若復數z滿足'wR,則zeR;外：若復數z滿足z2eR,則ZWR;

Z

p3：若復數馬且滿足為2wR,則Z]=Z2；pj若復數zeR，則彳eR.

其中的真命題為

A.P|，P3B.Pi，P4C.〃2，〃3D.p2,p4

【答案】：B

s'=樹皆輸iF%岳的爨1i工=』_泌-遍后段

【解析】：令””,貝ij由工一贏夏—新帚"得方=0,所以

ZGR,故Pl正確；

當Z=i時，因為/'=臚=-』以漫，而2=廢/?知，故P2不正確；

當4=Z2=i時，滿足為鼻=一眥疊，但Z尸三，故「3不正確；

對于P4,因為實數的共軌復數是它本身，也屬于實數，故以正確，

故選B.

2.2=()

1+Z

A.l+2zB.l-2zC.2+zD.2-z

【答案】:D

___=;___L-；___1=妻一*,

【解析】：由復數除法的運算法則有：口底Q,故選D。

3.已知aeR,i是虛數單位，若雪=潮皆屬工怎=匈，則@=

(A)1或-1(B)幣或-幣(C)-V3(D)百

【答案】：A

【解析】：由&=*#展"'"』=q得/+3=4,所以a=±l,故選A.

3.已知“翻躅外翻一吸在復平面內對應的點在第四象限，則實數利

的取值范圍是()

(A)(-3,1)(B)(-13)(C)(l,+oo)(D)(-oo,-3)

【答案】：A

【解析】：要使復數z對應的點在第四象限應滿足：［m+3>。，解得

m-l<0

—3<m<1,故選A.

4.設aeA,若復數(l+i)(a+i)在復平面內對應的點位于實軸上，則

【答案】：-1

［解析］,恥奇趣遜書卷=談T舟曲時第迂麻毛赧=T,故填.一］

5.若復數z滿足幽7=5-觀其中i為虛數單位，則才()

(A)l+2i(B)l-2i(C)-i+2i(D)

-l-2i

【答案】：B

【解析】：設z=a+此則％吒=露?普嬲4一繳故昨&—,則

z=l—2i9選B.

6.已知a,6eR,2.是虛數單位，若樹卿一?虢好圖，則人的值為

h

【答案】：2

【解析】：由神婢—編川制k野/可得1+j,所以

\-b=Ob=l

0=2,故答案為2.

b

7.復數M=就-瓠解-虬其中i為虛數單位，則Z的實部是

______▲.

【答案】：5

【解析】:A"物TT-鞏故Z的實部是5

1.若a為實數，且(2+ai)(a—2i)=-4i,則a=()

A.-1B.0C.1D.2

解析因為a為實數，目(2+29-2。二船+(區-4》=一不，得4a=0且^-4二-4,解得a=0,故選B.

答案B

2.若復數z=i(3—2i)(i是虛數單位)，則/=()

A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i

解析因為z=i(3—2i)=2+3i,所以z=2—3i,故選D.

答案D

9

3.設i是虛數單位，則復數F—二=()

1

A.-iB.-3iC.iD.3i

2

3

解析i—Ti——=—i+2i=i.選C.

i=—i

答案C

4.若復數z滿足產T=i,其中i為虛數單位，則z=()

1—1

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i

z

解析V---v=i,z=i(1—i)=i—i2=l+i,/.z=l—i.

i—1

答案A

1—I—7

5.設復數z滿足不二i,則1z|=(

A.1B.小C.小D.2

1-4-z—1—I—j

解析由^---=i,得l+z=i—zi,z=-,—i,/.|z|=|i|=1.

1—zl+i

答案A

專題03-不等式與線性規劃

【考向解讀】：

不等式的性質、求解、證明及應用是每年高考必考的內容，對不等

式的考查一般以選擇題、填空題為主.(1)主要考查不等式的求解、

利用基本不等式求最值及線性規劃求最值；(2)不等式相關的知識可

以滲透到高考的各個知識領域，往往作為解題工具與數列、函數、

向量相結合，在知識的交匯處命題，難度中檔；在解答題中，特別

是在解析幾何中求最值、范圍或在解決導數問題時經常利用不等式

進行求解，但難度偏高.

【命題熱點突破一】：不等式的解法

1.一元二次不等式的解法

先化為一般形式a/+-+c>0(aW0),再求相應一元二次方程

6x+c=0(aW0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關

系，確定一元二次不等式的解集.

2.簡單分式不等式的解法

fX

⑴------>0?0)=*x)g(x)>0?0)；

Sx

fx

⑵-----N0(W0)QF(x)g(x)20(W0)且g(x)WO.

Sx

3.指數不等式、對數不等式及抽象函數不等式，可利用函數的單調

性求解.

例1、(2018年全國I卷理數)已知集合A{X|X2-X-2>0},則CRA=

A.{x|-l<x<2}{x|-l<x<2}

Q{x|x〈T}U{x|x>2}D.〔x|x<-1)U{x|x>2)

【答案】：B

【解析】:解不等式x2-x-2寺得XVT或x>2,所以A={x|xv-1或x>2},

所以可以求得CRA-{XH$X42},故選民

【舉一反三】：設a=logo.2。.3,Z?=log20.3,貝ij()

A.a+b<ab<QB.ab<a~\-b<0

C.a-\-b<0<abD.ab〈0〈a~\~b

答案B

解析Va=logo