1、12.2對數函數2.2.1對數與對數運算新知初探1. 對數的概念如果ax=N(a0,且 1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x= logaN,其中a叫做對數的底數，N叫做真數.點睛logaN是一個數，是一種取對數的運算，結果仍是一個數，不可分開書寫.2. 常用對數與自然對數通常將以 10 為底的對數叫做常用對數，以e 為底的對數稱為自然對數，log10N可簡記為 lgN,logeN簡記為 InN3. 對數與指數的關系若a0，且a 1，貝Uax=N? logaN=x.對數恒等式：alogaN=N；logaax=x(a 0，且a工 1).4. 對數的性質(1) 1 的對數為零；(2) 底的對數

2、為 1;(3) 零和負數沒有對數.小試身手1判斷(正確的打“V”，錯誤的打“x”)(1) logaN是 loga與N的乘積.()(2) ( 2) =- 8 可化為 log(-2)( 8) = 3.()2答案：C2x 14 已知 log _-= 0，貝 Ux=5例 1將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式:-21 12(1)3= 9；(2) 4= 16；(3)log 027=- 3;(4)log 小 64 6.3”-21 1解 3 = 9，- log39 =-2.(1) 將指數式化為對數式，只需要將幕作為真數，指數當成對數值，底數不變，寫出對數式；(2) 將對數式化為指數式， 只需將真數作為幕

3、， 對數作為指數，底數不變，寫出指數式.活學活用1將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：(3)對數運算的實質是求幕指數.(答案：(1)X(2)XD. .0=27./ log 嚴一 3,log-(,x)-6= 64.指數式與對數式的互化指數式與對數式的互化2= 16,- log2.-33(1)27= ；(2)3a= 27;(1) 設出所求對數值；(2) 把對數式轉化為指數式;(3) 解有關方程，求得結果.活學活用2.求下列各式中的x值：32(1)logx27= 2；(2)log2x=-3 ；1nx = log279；x= log 6.-1(3)10= 0.1; (4)log132=-5；2(

4、5)lg 0.001=- 3.解:(1)ioglog327= a.(3)lg 0.1=- 1.1- 52= 32.一 3(5)10= 0.001.對數的計算例 2 求下列各式中的x的值:(1)log64x=- 2； (2)logx8= 6;(3)lg 100=x;(4) ln e2=x.(1)x= (64)x2_(3)10 = 100 = 10 ,于是x= 2.由一 ln e2=x，得一x= ln e2,即卩 e-x= e2.所以x=- 2.求對數值的 3 個步驟Il = (43)= 4-21(2)x6= 8,所以4解: (1)由 logx27 =3，可得3x2=5 x= 27 丄=(33)丄

5、=32= 9.(1) log2(log5x) = 0;(2) log3(lgx) = 1;(3) log3(log4(log5X) = 0.解(1) Iog2(log5x) = 0,- log5X= 2 = 1, x= 51= 5./ log3(lgx) = 1 , lgx= 31= 3,3x= 10 = 1 000.(3)由 log3(log4(log5X) = 0 可得 log4(log5X)= 1，故 log5X= 4，所以x= 54= 625.一題多變1. 變條件本例中若將log3(log4(log5X) = 0” 改為log3(log4(log5X) = 1”， 又如何求解x呢？解：

6、由 log3(log4(log5x) = 1 可得，log4(log5x) = 3,則 log5X= 43= 64,所以x=564.2. 變設問在本例條件下，計算 625|logx3的值.解：因為x= 625，則 625|嘰3= 3.3. 變條件本例中若將“log3(log4(log5x) = 0”改為丫 巴二二| = 1”，又如 何求解x呢？解：由 3 3碗 =1 可得 log4(log5x) = 1，故 log5X= 4,所以x= 5 = 625.3x-2 3 = 3 ,(4)由x= log16,可得1x= 16.2 -由 log2x=- 3,可得x=22.1 1(3)由x= log279

7、，可得 27 = 9,2x 4, - 2 = 2 , x= 4.6CEO1 利用對數性質求解的 2 類問題的解法求多重對數式的值解題方法是由內到外，如求loga(logbe)的值，先求 logbe的值,再求 loga(logbe)的值.(2)已知多重對數式的值， 求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log ”后再求解.2.性質alogaN=N與 logaab=b的作用(1)alogaN=N的作用在于能把任意一個正實數轉化為以a為底的指數形式.(2) logaab=b的作用在于能把以a為底的指數轉化為一個實數.層級一學業水平達標解析：選 B 根據對數的定義，得 log19= 2,故選 B.x =

8、:32解析：選 A /2log3X= 2 ,.log3X= 2,o21-x=3=9.3.使對數 loga( 2a+ 1)有意義的a的取值范圍為()1B. 0vav2課厲1.將 32= 9 寫成對數式，正確的是()A.1log93 =2B. log9= 2C. log(2) = 91D. log9( 2) = 32.方程 2log3x= 4 的解是()A.1x= 9B.3x=TD.C.7C.a0 且1解析：選 B 由對數的概念可知使對數 loga( 2a+ 1)有意義的a需滿足4.下列指數式與對數式互化不正確的一組是(A. e= 1 與 In 1 = 01C. log39= 2 與 9 冋=3D

9、. .log77= 1 與 7 = 7解析：選 C 由指對互化的關系：a=N?x= logaN可知 A、B、D 都正確；C 中 log39= 2? 9 = 3.5.已知x2+y2 4x 2y+5= 0，貝 U logx(yx)的值是()A. 1B. 0C .x解析：選 B 由x2+y2 4x 2y+ 5=0,得(x 2)2+ (y 1)2= 0, /x= 2,y= 1,/logx(yx)2=log2(1 ) = 0.6.lg 10 000=_; lg 0.001=_.解析：由 104= 10 000 知 lg 10 000 = 4,103= 0.001 得 lg 0.001= 3.答案：4 3

10、7.方程 log2(1 2x) = 1 的解x=_.解析:Vlog2(1 2x) = 1 = log22,經檢驗滿足 1 2x0.答案：D. av1a 0,a 1,2a+ 1 0,解得 0vav2D.y x=12.B.1 1 一 13=2 與l0g82=8解析：由題意得：log3(log2x) = 1,即卩 log2x= 3,1轉化為指數式則有x= 23= 8,82&已知 log7(log3(log2X)=0,那么x91 11 X 2 =8-2=-r82答案：-449 將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式.3(1)5 = 125;(3)log18=3;21log327= 3.解：(

11、1) 53= 125,Alog5125= 3.-21. 14= 16，log416=2.12m212m- (2 m+4)1= 22n+42logab=c,則下列關系式中正確的是()(2)42=116；log=3,. 23= 8.1/ log327 = 3, 33=丄2710 .若 loglog Ly = m+ 2,2x求一的值.y解:Tlog2mlog1m+ 24y,2m+ 41.A.5cb=a5 cB.b=aC.b= 5acD.b=c5a10層級二應試能力達標解析：選 A 由 logab=c,得ac=導b,：b= (ac)5= a：22.方程 lg(x 1) = lg(2x+ 2)的根為()

12、11D. .1 或一 32 2 2解析：選 B 由 lg(x 1) = lg(2x+ 2)，得x 1 = 2x+ 2，即x 2x 3= 0,解得x=x= 3.5.使方程(lgx)2 lgx= 0 的x的值為解析：由 lgx(lgx 1) = 0 得 lgx= 0 或 lgx= 1,即x= 1 或x= 10.答案：1 或 106.計算 23+ log23+ 32 logs9 =329解析：23+ log23 + 32 logs9 =23X2log23+= 8X3+ = 25.3log399答案：2537.已知 log2(log3(log4X) = 0,且 log4(log2y) = 1.求&am

13、p; 卩的值.解:vlog2(log3(log4X) = 0,-log3(log4x) = 1,3-log4X= 3，-x= 4 = 64.由 log4(log2y) = 1，知 log2= 4,A. 3B. 3C. 1 或 31 或x= 3.經檢驗x= 1 是增根,所以原方程的根為x= 3.3.1+log0.54的值為（A.7B.2C.3D.7解析:1+log0.54log14=2X4=8.4.a0,A.B. 3C.D. 5解析:2/ a349，a0,a=91I3,設 loga=x,-2x3=a.124 y= 2 = 16.&已知 log189 =a, log1854=b,求 182

14、ab的值;已知 logx27= 31+ log32,求 x 的值.解：(1)Vlog189 =a, log1854=b,. 18a= 9,18b= 54,“2a-b1823923-18=蒔=54 = 2.logx27=31+log32=33log32=3X2=6. -X= 27,.X= 3，又x 0, x= 3.新知初探1對數的運算性質若a0,且 1, M0, N0,那么：(1) loga( M-N) = logaM+ logaN,M(2) logaR= logaM logaN,(3) logaM=nlogaMn R).點睛對數的這三條運算性質，都要注意只有當式子中所有的對數都有意義時，等式才

15、成立.例如，log2( 3) ( - 5) = log2( 3) + log2( 5)是錯誤的.2.換底公式logcb若c0 且c豐1,則 logab=(a0,且a* 1,b0).logca因此:x=8X8=64.13小試身手142 .計算 log84 + log82 等于(A. log86答案：D3 .計算 log510 log52 等于(答案：C4.log48=75(1)log2(4x2)；(3)lg 14 2 lg7+ lg 7 lg 18 ;2+1 lg 8 + lg 5 lg 20 + (lg 2)27575(1)log2(4x2)=log24+log22=7log24+5log22

16、=7x2+5x1=19.100=lg 100 E=lg 100=x2=2555(3)lg 142lg|+lg 7lg 18=lg(2x7)2(lg 7lg 3)+lg 7lg(32x2)=lg25) 1 判斷（正確的打“V”，錯誤的打積、商的對數可以化為對數的和、log(3)log答案:a(xy2(1)V(2)x(3)x“x”差.5)2logab2log2(logax logay.log2blog-2aD. .1A. log58B.lg 5D. .2(4)lg 5(2)lg答案：I15+ lg 7 2lg 7 + 2lg 3 + lg 7 2lg 3 lg 2 = 0.162 2(4)原式=2

17、lg 5 + 2lg 2 + lg 5(2lg 2+ Ig5) + (Ig 2)= 2lg 10 + (Ig 5 + Ig 2)= 22+ (lg 10)= 2+ 1 = 3.對數式化簡與求值的基本原則和方法（1）基本原則：對數的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數進行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數化簡的原則進行.（2）兩種常用的方法：1“收”，將同底的兩對數的和（差）收成積（商）的對數；2“拆”，將積（商）的對數拆成同底的兩對數的和（差）活學活用1.求下列各式的值：(1)lg 0.000 01In.：e .171.(3)2logs2 log323 _9卜 log

18、38 5log53lg 3 + 59 9 + lg 27 lg .3lg 81 lg 275解：(1)lg 0.000 01= lg 10= 5lg 10 = 5.廠 11ln,e=尹 e =原式=2log32 (log332 log39) + 3log32 3 = 2log32 5log32+ 2 + 3log32 3 =原式=491lg 3 + glg 3 + 祁 g 3 為 34lg 3 3lg 341+尹后2lg 311911021log53Xlog718解（1）由換底公式可得,（1）換底公式的作用是將不同底數的對數式轉化成同底數的對數式，將一般對數式轉化成自然對數式或常用對數式來運算

19、要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.（2）題目中有指數式和對數式時，要注意將指數式與對數式進行互化，統一成一種形式.活學活用、“lg 22 計算(log43+ log83)Xlg 3M單位：kg），火箭（除燃料外）的質量m單位：kg）滿足 ev= 1 +黑2 000（e 為自然對數的底）.（In3 1.099）當燃料質量M為火箭（除燃料外）質量m的兩倍時，求火箭的最大速度（單位：m.（2）已知 log189=a,18b= 5,求 log3645.（用a, b表示）lg 3=2lg 2lg 2-X lg 3?g3X23lg 2 lg 31 15=+ =2+3=6.a對數的綜合應用解：原式=例

20、3 （1）在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度log29 log34 =lg 9ig2lg 4_ 2lg 3igT = lg 22lg 2lg3lg9-lg 22 匕=-lg 3lg432lg 32_卻232.lg 3 lg 3lg 2lg 4+lgv（單位：m/s）和燃料的質量原式=log3 ,2Xlog=Xlg31換底公式的應用技巧19解(1)因為v= ln 1 +M2 000mM=2 000 ln 1 +m所以v= 2 000 ln 32 000X1.099 = 2 198(m/s)20故當燃料質量M為火箭質量m的兩倍時，火箭的最大速度為2 198 m/s.(2)因為 18b= 5,

21、所以b= log185.log1845log185X9所以 log3645.log1836 log182X18log185+ log 9a+blog182 + log18181 + log182a+ba+b182 log1891 + log 偲百a+b2a.一題多變1.變設問若本例條件不變，如何求 log 代 45(用a,b表示)?解：因為 18b 5，所以 log185b,所以 log1845 log189+ log185a+B.2.變條件若將本例條件“log189a,18b 5”改為“ log94 a,9b 5”，則又如何 求解呢？解：因為 9b 5,所以 log95B.log945 lo

22、g95X9所以log3645莎 36log94X9log95+ log99b+ 1log94 + log99a+ 1解對數綜合應用問題的3 種方法(1)統一化：所求為對數式，條件轉為對數式.選底數：針對具體問題，選擇恰當的底數.(3)會結合：學會換底公式與對數運算法則結合使用.課姑層理訓納;步冊棍21層級一log29.log231A 2B. 22log29 log23解析：選 B 原式臥 3商2.D.22. 2log510 + log50.25 ()A. 0B. 1C. 2D. .4222 2解析：選 C 原式=log510 + log50.25 = log5(10 x0.25) = log5

23、25= 2.3.若a0，且 1,則下列說法正確的是()A. 若M= N,則 logaM= logaNB. 若 logaM= logaN,則M= NC. 若 logaM= logaN 則M= ND.若 M= N,則 logaM= logaN2 3解析：選 B 在 A 中，當M=N0時，logaM與 logaN均無意義，因此 logaM=logaN不成立，故 A 錯誤；在 B 中，當 logaM=logaN時，必有M 0,N0,且M= N,因此M= N成立， 故 B正確；在 C 中，當 logaM= logaNf時，有M0,NM0,且M=Nf，即|M= IN，但未必 有 M=N,例如M=2,N=-

24、 2 時，也有 logaM= log aM,但MN,故 C 錯誤；在 D 中，若M=N= 0，則 logaM與 logaN均無意義，因此 logaM= logaN2不成立，故 D 錯誤.4.設a= log32，貝Ulog38- 2log36 用a表示的形式是（）B. 3a- (1 +a)2D. a+ 3a 1解析：選 A /a= log32,log38 2log36 = 3log32 2(log32 + 1) = 3a- 2(a+1) =a- 2.5.計算 log225 log32 2 log59 的結果為(A. 3答案:J5 + lg 伍的值是_ .A.a-2C. 5a- 2C.D.6解析：

25、選 D2lg 5lg 5 lg 2lg 93-lg 22lg3警=6.lg 56.已知a2=11(a0)，則 log81a=解析：由a2= 16(a 0)得a= 4,所以 logn4 *29=log223 =2.23lgblogab log3a=-y ylg a7. lg解析:&若logab log3a= 4，則b的值為lgalgb=4lg 3 lg 3解析:12444所以 lgb= 4lg 3 = Ig 3 ，所以b= 3 = 81.答案:819用lgx，lgy，lgz表示卜列各式：(1)lg(xyz)；(2)lg2xyz；ig3xy_z；(4)lgJy z解：(1)lg (xyz)

26、 = lgx+ lgy+ lgz.2xy2lg = lg(xy) lgz= lgx+ 2lgy- lg 乙3xy3廠lg左=lg(xy) lg vz1=lgx+ 3lgy 2lgz.1=2lgx 2lgy lgz.10.求下列各式的值:(1)2log525+ 3log264；lg(, 3 + ., 5+3 .、5);2 2(3)(lg 5)+ 2lg 2 (lg 2).2解：(1)T2log525= 2log55 = 4log55= 4,3log264 = 3log226= 18log22= 18, 2log525+ 3log264= 4+ 18= 22.原式=|lg( 3 + .、5+3 ,

27、5)21=2(3 + ,5+ 3 5 + 2 9 5)=2lg 10 = 2.(3)(lg 5)2+ 2lg 2 (lg 2)(4)lg,x lg (y2z)251log53 log36 log6X= 2,則x等于(lg(ab) = lga+ lgb；lg( ab)= logab10-其中一定成立的等式的序號是(b 0 或av0,bv0,.中的等式不一定成立；12.5x= 1 000,0.25y= 1 000 ,則一x1A3D.解析：選 ATX= log2.51 000 ,y= log0.251 000 ,1=log1 0002.5 ,xlog2.51 000A.B. A. 9B.C. 251

28、D.25解析:lg 3選 D 由換底公式，得9lg 6lg 5lg 3lgx= 2, lgx= 2lg 5 ,x= 52=丄 lg6252.若ab 0，給出下列四個等式: a lgb= lga lgb；1an 2 b2lgb解析：選 Daab b0，1a21a一2lgb= 2X2lgb=lgb,a中等式成立；當ab= 1 時，lg(ab) = 0,但lOgab10 無意義， .中等式不成立. 故選 D.3.lgXlgy=t，則 lg-lgyA. 3tB.|tC.D.2解析:A lgx :3lg2 3lg；x3lg-=3(lgxlgy) =3t.D.4.右B.1261同理一 =iog1 0000

29、.25 ,y11ig 10 x-廠iog1 0002.5iog1 0000.25=iog1 0001 0=i-gi500答案:xigx+ igy= 2lg(x 2y)，則y=因為 igx+ igy= 2lg(x 2y),x 0,y 0,所以x 2y 0,xy=x 2y222由xy= (x 2y)，知x 5xy+ 4y= 0,所以x=y或x= 4y.又x 0,y0 且x 2y 0,x所以舍去x=y,故x= 4y,貝 yy= 4.答案：47 計算下列各式的值:2(2)(1 log63) + log62 log618十 log64.解：(1)原式=log535 + log550 log514+ 2i

30、og1235X5013=log54+log 22=iog551=2.22(2)原式=(log66 iog63) + iog62 iog6(2X3)十 iog646222=iog63 + log62 iog62 + iog63十 iog622 2u ig 3 + 2ig 2 1 5.-Ig 1.2解析:2ig 3 + 2ig 2 1 ig 3 + ig 2 1 ig 12 112ig帀 ig 1.2ig 1.2ig 1.2ig 1.2 ig 1.2 ig 1.2=1.2 log550 log514;(1)iog535+ 2iog13.6若解析:27=(log62) + (iog62) + 2io

31、g62 iog63十 2iog62=iog62+iog63=iog6(2X3)=1.282x) 4lgx+ 1 = 0.22t 4t+ 1 = 0,又a，b是方程 2(lgx)2 lgx4+ 1 = 0 的兩個實根, 11= lga,12= lgb,2122X -2=2X一 1 一=12,2即 lg(ab) (logab+ logba) = 12.(1)對數函數的概念是什么？它的解析式具有什么特點?(2)對數函數的圖象是什么，通過圖象可觀察到對數函數具有哪些性質?(3)反函數的概念是什么?2. 2.2對數函數及其性質值.&若a,b是方程 2(lgx)2 lgx4+ 1 = 0 的兩個實

32、根，求 lg(ab) (logab+ logba)的解：原方程可化為 2(lg設t= lgx，則方程化為即 lga+ lgb= 2, lga lg1b= 2.=(lg=(lg=(lgab) (logab+ logba)a+ lga+ lga+ lgb)b)b)lgalgb22+ lgalgblga lgb2lga+ lgb 2lga lgblga lgb29新知初探1 對數函數的概念函數y= logax(a0,且a* 1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0,+ ) x點睛形如y= 2log氷,y= log23 都不是對數函數，可稱其為對數型函數.2 對數函數的圖象及性質 La數的

33、圖象“上升”；當 0vav1 時，對數函數的圖象“下降”.3.反函數指數函數y=ax和對數函數y= logax(a0 且a* 1)互為反函數.小試身手，錯誤的打“x”)1.判斷(正確的打“V”(1)對數函數的疋義域為R.()y=log2x2與logx3都不是對數函數.()(3)對數函數的圖象一疋在y軸右側.()(4)函數y=log2x與y2=x互為反函數.()a的范圍0vav1a1性質定義域(0,+s)值域R定點(1,0)，即x= 1 時，y= 0單調性在(0,+)上是減函數在(0,+)上是增函數點睛底數a與 1 的大小關系決定了對數函數圖象的“升降”：當時，對數函a 1a的范圍0vav1a

34、1prA.y= InxB.y= ln(x+ 1)30答案： (1)xVVx2.下列函數是對數函數的是()31C.y= logxeD.y= logxx答案：A3. 函數f(x) = log2(x 1)的定義域是()A. 1,)B. (1,+s)C. ( g, 1)D. ( g, 1答案：B4. 已知y=ax在 R 上是增函數，則y= logax在(0 ,+g)上是_ 函數.(填增”或“減”)答案：增(1)y= 3log2X；(2)y= log6X；y= logx5;(4)log2X+ 1.解(1)log2x的系數是 3，不是 1,不是對數函數.(2) 符合對數函數的結構形式，是對數函數.(3)

35、自變量在底數位置上，不是對數函數.(4) 對數式 log2x后又加上 1,不是對數函數.判斷一個函數是對數函數的方法對救箱號前面的秉鞍沖1n對數廠諡A對救時嵐數是年等于L即正的會裁L同時itXft對歎的真裁僅宥自曼母圧J活學活用1._ 函數f(x) = (a2a+1)log(a+nx 是對數函數，則實數a=_解析：a2a+ 1 = 1，解得a= 0 或 1.又a+1 0，且a+ 1 工 1,.a= 1.答案：1題型二例 1指出下列函數哪些是對數函數?32求對數型函數的定義域例 2求下列函數的定義域:33的定義域是x|x0,3解得匚vx0,43,log0.54x 3 的定義域是x4vx 0,解：

36、(1)要使函數式有意義，需1 xx1,xv1, 1v xv1. 該函數的定義域為(一 1,1).(2)要使函數式有意義，需5 x0,x 2 0,x2M1,xv5,x2,xM3,. 2vxv5,且xM3.y=log5(1-x)；(2)y=log(1-x)5；In 4xi-y=x；(4)y=.log0.54X3解(1)要使函數式有意義，需 1 x0,解得xl,所以函數y= log5(1 x)的定義域是x|x0,(2) 要使函數式有意義，需1 XM1,義域是x|x0,(3) 要使函數式有意義，需解得x1,且XM0,所以函數y= log1x5 的定4 xx 3解得x 1 時，在同一坐標系中，函數y=a

37、_x與y= logax的圖象為()解析：選 Cy=a=,：a1, Ov-v1，則y=a在（, +m）上是減函數,aa過定點(0,1);對數函數y= logax在(0,+s)上是增函數，過定點(1,0).故選 C.題點二：作對數型函數的圖象2.已知f(x) = loga|x|，滿足f( 5) = 1，試畫出函數f(x)的圖象.解：因為f( 一 5) = 1 ,所以 loga5 = 1 ,即a= 5 ,故f(x) = log5|x| =log5X x0,log5xxv0所以函數y= log5|x|的圖象如圖所示.71-5T小5題點三：對數型函數圖象的數據分析3.如圖，若G,G分別為函數y= log

38、ax和y= logbx的圖象，則(A. 0vavbv1B. 0vbvav1C. ab 1D. ba 1解析：選 B 作直線y= 1,則直線與C,C2的交點的橫坐標分別為v1.(1) 求函數y=logaf(x)(a 0，且a* 1)的圖象過定點時，只需令f(x) = 1 求出x,即得定點為(x,m).(2) 給出函數解析式判斷函數的圖象，應首先考慮函數對應的基本初等函數是哪一種；其次找出函數圖象的特殊點，判斷函數的基本性質、定義域、單調性以及奇偶性等；最后綜合上述幾個方面將圖象選出，解決此類題目常采用排除法.a,b,易知 0vbvaCDO有關對數型函數圖象問題的應用技巧1i_ xI X| x.

39、._）36(3)根據對數函數圖象判斷底數大小的方法：作直線y= 1 與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數，根據在第一象限內，自左向右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大，可比較底數的大小.解析：選 C 由題意知對數函數的圖象過點M16,4)，則此對數函數的解析式為()數的解析式為y= log2X，故選 D.3.函數f(x) = log2(3x+ 1)的值域為(解析：選 C 由底數大于 1 可排除 A、B,y= lg(x+ 1)可看作是y= Igx的圖象向左平移 1 個單位.(或令x= 0 得y= 0，而且函數為增函數)5.若C. (1,1)U(1,+s)D. (s,+s)1+x0,1XM0,

40、解得x 1 且XM1.2.A.C.y= log4Xy= log _LxB.y= log fx解析：選 D 由于對數函數的圖象過點D. .y= log2XM(16,4)，所以 4= loga16，得a= 2.所以對數函A. (0,+s)B. 0,+s)C. (1,+s)解析：選 A / 3X0 , 3X+ 1 1. / log2(3 函數f(X)的值域為(0,+s).4.函數y= lg(x+ 1)的圖象大致是()D.1,+s)+ 1) 0.A. (s, 1)B.(1,+s)37函數y=f(x)是函數y=ax(a 0，且a* 1)的反函數且f(2) = 1,則f(x)=()1A. log2XB.C

41、. log OxD. 2X2解析：選 A 函數y=ax(a 0,且az1)的反函數是f(x) = logax,又f(2) = 1，即 loga2= 1，所以a= 2.故f(x) = log2x.6._若f(x) = logax+ (a- 4a5)是對數函數，則a=_.解析：由對數函數的定義可知，a2 4a 5= 0,a0,解得a= 5.az1,答案：57.已知函數y= loga(x 3) 1 的圖象恒過定點P,則點P的坐標是_.解析：y= logax的圖象恒過點(1,0)，令x 3= 1，得x= 4，則y= 1.答案：(4 , 1)&若f(x)是對數函數且f(9) = 2,當x 1,3

42、時，f(x)的值域是 _.解析：設f(x) = logax，因為 loga9 = 2,所以a= 3，即f(x) = log3X.又因為x 1,3, 所以 0wf(x)w1.答案：0,19.若函數y= loga(x+a)(a 0 且az1)的圖象過點(一 1,0).(1) 求a的值；(2) 求函數的定義域.解：(1)將(1,0)代入y= loga(x+a)(a 0,az1)中，有 0 = loga( 1 +a)，則1+a= 1，所以a= 2.(2)由(1)知y= log2(x+ 2)，由x+ 20,解得x 2,所以函數的定義域為x|x 2.10. 求下列函數的定義域與值域：2(1)y= log2

43、(x 2); (2)y= log4(x+ 8).解：(1)由x 2 0，得x 2,所以函數y= log2(x 2)的定義域是(2 , +)，值域是 R.(2) 因為對任意實數x, log4(x2+ 8)都有意義，所以函數y= log4(x2+ 8)的定義域是 R.又因為x2+ 88,382323所以 log4(x+ 8) log48 = ?,即函數y= log4(x+ 8)的值域是 ,+m.層級二應試能力達標1.函數y= 2+ log2x(x 1)的值域為()A. (2,+s)B. (s,2)C. 2,+s)D. 3,+s)39解析：選 C 當x1 時，log2X0,所以y= 2+ log2X

44、2.函數f(x) =x-：的定義域是()v 7lg x 1解析：選 C 函數f(x) = loga|x| + 1(a 1)是偶函數，- f(x)的圖象關于y軸對稱，當x0 時，f(x) = logax+ 1 是增函數；當xv0 時，f(x)=loga( x) +1 是減函數，又圖象過(1,1) , ( 1,1)兩點，結合選項可知，選 C.5.如果函數f(x) = (3 a)x,g(x) = logax的增減性相同，則a的取值范圍是 _ .3a 1, 解析：若f(x),g(x)均為增函數，則a 1,答案：(1,2)2.A.4,+s)B. (10，+m)c.(4,10)U(10,+s)D. 4,1

45、0)U(10,+s)x 4 0,解析：選 D 由 lgx 1 工 0,x 0,x 4,解得x工 10,x 0, x4且 x豐10,函數f(x)的定義域為4,10)U(10,+s).故選D.3.函數f(x) =_：a lgx的定義域為(0,10，則實數a的值為()A. 0.10C. 1解析：選 C 由已知，得a Igx0的解集為(0,10，由a Igx0,得lg又當 0vxw10 時，Igxw1,所以a= 1，故選 C.4.函數f(x) = loga|x| + 1(a 1)的圖象大致為即 1vav2,若f(x),g(x)均為減函數，則0v3av1,0vav1無解.I) )406.已知函數f(x)

46、 = |log1的定義域為 2,m，值域為41_ 13ymin= .例 1比較下列各組數中兩個值的大小:解析：作出f(x) = |log|的圖象(如圖)可知f1 =f(2) = 1,f(1) = 0，由題意結合答案：1,27.已知f(x) = log3X.作出這個函數的圖象;解：作出函數y= log3X的圖象如圖所示.(2)令f(x) =f(2),即 log3X= log32,解得x= 2.由圖象知：當 0a2 時，恒有f(a)log1xlog 114,即一 1 log設t= log則一 2ctc-1,21 所以y=tqt1+ 5,其圖象的對稱軸為直線t= 4,(2)若f(a)0，且az1).

47、解 (1)考察對數函數y= log2x， 因為它的底數 2 1,所以它在(0,+)上是增函數，于是 log23.4vlog28.5.(2) 考察對數函數y= log0.3X，因為它的底數 0v0.3v1,所以它在(0 ,+)上是減函 數，于是 log0.31.8 log0.32.7.(3) 當a 1 時，y= logax在(0 ,+)上是增函數，于是loga5.1vloga5.9 ;當 0vav1 時，y= logax在(0 ,+)上是減函數，于是loga5.1 loga5.9.(1) 同底的利用對數函數的單調性.(2) 同真的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化.底數和真數都不同，找中間量.(

48、4)若底數為同一參數，則根據底數對對數函數單調性的影響，對底數進行分類討論.11又對數函數y= log2X在(0 ,+)上是增函數，且 ：,1 10log23log25，取中間值 1, log23log22= 1 = log55 log54,. log23log54.求解對數不等式1例 2 (1)已知 loga 1，求a的取值范圍;(2)已知 log0.7(2x)vlog0.7(x- 1)，求x的取值范圍.比較對數值大小時常用的4 種方法log日 21得 loga， logaa.11當a 1 時，有av2，此時無解.1 12當 Ovav1 時，有 2va,從而，vav1.1 a 的取值范圍是

49、2，1 ./函數y= log0.7X在(0,+s)上為減函數,由 log0.72xvlog0.7(x1)2x 0,得x 1 0,解得x 1.2xx 1,x的取值范圍是(1,+s). logab的不等式，借助y= logax的單調性求解，如果 需分a 1 與 0vav1 兩種情況討論.(2)形如 logaxb的不等式，應將b化為以a為底數的對數式的形式, 的單調性求解.a的取值不確定，再借助y= logax活學活用2.已知 loga(3a 1)恒為正，求a的取值范圍.解：由題意知 loga(3a 1) 0= loga1.當a 1 時，y= logax是增函數，3a 1 1,3a 1 0,解得a2

50、,345a 1;當 0vav1 時，y= logax是減函數,3a1v1,3a10,12解得 3vav-.33 3vav3.1 2綜上所述，a的取值范圍是 3,3U(1,+s).有關對數型函數的值域與最值問題46例 3求下列函數的值域.2(1)y= log2(x+ 4) ； (2)y= log2解(1)y= log2(x+ 4)的定義域是 R.因為x2+ 44,所以 log2(x2+ 4) log24 = 2,2所以y= log2(x+ 4)的值域為2 ,+).22(2)設u= 3 + 2x-x=- (x- 1) + 4 0,所以 0vuw4.又y= log1u在(0,+)上為減函數,(1)

51、求對數型函數的值域，一般需根據對數函數的單調性及真數的取值范圍求解.(2) 求函數的值域時，一定要注意定義域對它的影響，結合函數的單調性求解，當函數 中含有參數時，有時需討論參數的取值.活學活用3.已知f(x) = 2 + logsx,x 1,9，求函數y=f(x)2+f(x2)的最大值及此時x的值.2 2 2 2 2 2解：y= f(x) +f(x) = (2 + logax) + logax+ 2 = (logax) + 6logax+ 6 = (logax+ 3)3. f(x)的定義域為1,9,221WxW9, y= f(x) +f(x)中，x必須滿足21wxw9, 1wxw3,. 0w

52、logaxw1 , 6wyw13.當x= 3 時，y取得最大值，為 13.對數函數性質的綜合應用驚江例 4 已知函數f(x) = loga(1 +x),g(x) = loga(1 x),其中(a0 且a* 1),設h(x) =f(x) g(x).求函數h(x)的定義域，判斷h(x)的奇偶性，并說明理由.解Tf(x) = loga(1 +x)的定義域為x|x 1,g(x) = loga(1 x)的定義域為x|xv1,h(x) =f(x) g(x)的定義域為x|x 1nx|xv1 = x| 1vxv1.2(3 + 2x-x).所以 log所以y= log2(3 + 2xx)的值域為2,47 h(x

53、) =f(x) g(x) = loga(l +x) loga(l -x),h( x) = loga(l x) loga(l +x) = loga(l +x) loga(l x) =h(x), h( x)為奇函數.一題多變1 +x1.變條件若f(x)變為 loga(a 1):求f(x)的定義域.1 x所以函數f(x)的定義域為(一 1,1).2.變設問在本例條件下，若f(3) = 2,求使h(x)v0 成立的x的集合.解：f(3) = loga(1 + 3) = loga4 = 2,.a= 2.h(x) = log2(1 +x) log2(1 x),h(x)v0 等價于 log2(1 +x)vl

54、og2(1 x),1+xv1x,1+x0,1x0,1.若 lg(2x 4)W1,貝yx的取值范圍是()A.(汽 7B. (2,7C. 7,+s)D. (2,+s)解析：選 B / lg(2x 4)W1, 0v2x 4W10,解得 2vxW7, x的取值范圍是(2,7,故選 B.2.已知 log Umvlogrnv0,則（）2A.nvmv1B.mvnv1C.1vmvnD.1vnvm解析：選 D 因為 0v*v1, log Umvlog Cnv0,解：因為f(x) = log1 +xa1 x，1 亠x需有口 0，即1+x0,1x0,1+XV0,或所以一 1Vxv1.1xv0,解得1vxv0.48所

55、以mn 1,故選 D.493.函數f(x) =|log1x|的單調遞增區間是( )1A. 0,2B- (0,1C. (0,+8)D. 1,+8)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調遞增區間為1 ,+).10a= log45,b= 2 ，c= log30.4，貝Ua,b,c的大小關系為(A. bvcvaC. cvavb1解析：選 D 由題知，a= log45 1,b= 20= 1，c= log30.4v0,故cvbva.15.函數f(x) = lg 一x2*1 + x是()A.奇函數B.偶函數C.既奇又偶函數D.非奇非偶函數1 1解析：選 Af(x)定義域為 R,f( x) +f(x) = l

56、g2+ lg=2=px+ 1 xx+1 +x1lg22= lg 1 = 0,x+ 1xf(x)為奇函數，故選 A.6. 比較大?。?1) log22_ log2雨；(2) log3 n_logn3.解析：(1)因為函數y= log2x在(0 ,+s)上是增函數，且 2 3,所以 log22 log2. 3.(2)因為函數y= log3x增函數，且n 3，所以 log3nlog33= 1.同理 1=lognnlogn3,所以 log3nlogn3.答案：(1) (2) 7.不等式 log 廿(5 +x)0,解析：選 D4.已知實數B. bvavcD. cvbva50解析：由 1 x0,得一 2x

57、1 x,=0.51答案：x| 2x 1,函數f(x)= log ax在區間a,2a上的最大值與最小值之差為1，貝 Ua=解析： a1,f(x) = logax在a,2a上遞增,1 loga(2a) logaa=,即 loga2= 2,答案：49.已知對數函數f(x)的圖象過點(4,2)，試解不等式f(2x 3) f(x).解：設f(x) = logax(a 0 且 1),因為f=2,所以 loga4= 2,所以a= 2,2x 3 0,所以f(x) = log2x,所以f(2x 3) f(x)? log2(2x 3) log2X?x 0,?x2x 3x所以原不等式的解集為(3,+R).22(1 x)有意義，則 1 x 0,x2v1,則一 1vxv1，因此函數的定義域為(一 1,1).10.求函數y= log(1 x2)的單調增區間，并求函數的最小值.解：要使y= log令t= 1 x2,x ( 1,1).當x ( 1,0時