1、專題2.2函數的單調性和最值真題回放1.【2017 高考新課標22 文數 8】函數f (x)二ln(x2 2x 8)的單調遞增區間是()A.(- : ,-2)B.(-二，-1)C.(1,+：)D.(4, +：)【答案】D【解析】由函數定義域為；X22X-8 0,解得；X：-2或 x 4,由復合函數的單調性(同增 異減)，再結合對數函數和二次函數的單調性，得函數的單調區間為(4, + :)【考點解讀】本題求復合函數的單調區間，需優先考慮函數的定義域，再利用復合函數單調性(同增異減)原則，分別聯系對數函數和二次函數的單調性來解決.22.【2017 咼考浙江文 5】若函數f(x)=x+ax+b在區間

2、 0,1上的最大值是M最小值是m則M-m()A.與a有關，且與b有關B.與a有關，但與b無關C.與a無關，且與b無關D.與a無關，但與b有關【答案】B【解析】因為最值在f(Q) = b.fd) = l + a+btf-) = b-中取，所以最值之差一走與b無關，選B.24【考點解讀】 本題為考查定區間上的二次函數最值問題，可通過排查最值可能產生的位置，即;區間的端點及對稱軸處的函數值，來分析處理。遞增，在(1,2 )單調遞減，則 A,B 錯誤。又；f(2-x)=ln(2-x)，lnx二f(x),所以函數圖像關于直線X=1對稱；則 C 正確，D 錯誤。法二；由函數定義域為(0,2 )，又f(x)

3、=lnx + ln(2 x)=ln(2x-x2)，由復合函數單調性可得；f(x)在(0,1 )單調遞增，在(1,2 )單調遞減，則 A,B 錯誤。另t=2x-x2關于直線 x=1 對稱，則f(x)=lnt關于直線 x=1 對稱，則 C 正確，D 錯誤。3.【2017 高考新課標 1 文數 9】已知函數(x) = InXln(2 - x)，則(A.f (X)在(0,2 )單調遞增B. f(x)在(0,2 )單調遞減C. y=f (X)的圖像關于直線X=1對稱【答案】CD.y=f (X)的圖像關于點(1,0 )對稱【解析】 法一； 由題;S 十亡H(X2)，可得；f(X)在(叩)單調2【考點解讀】

4、本題以對數函數為原型，考查函數的單調性和對稱性。解法一；運用導數考查函數的單調性，聯系解析式的特點發現了函數關于直線x=1 對稱。解法二；運用對數運算性質化為復合函數進行分析解決。4.【2017 高考山東文 10】若函數 exf x ( e=2.71828|)是自然對數的底數)在 f x 的定義域上單調遞增，則稱函數 f x 具有M性質下列函數中所有具有M性質的函數的序號為()2A .f(x )= 2-xB.f (X )二XC.f (x ) = 3-xD.f (X )二COSX【答案】A【解析】由A=在R上單調遞增，故/(劉=27具有M性質；B. /(x) = eI令= f込 則=x(x+2)

5、0 ,-在R上不單調遞増;U 巧(町了=(刖在R上單調遞冰故/(x) =3H不具有M性鬲D.也不具有M性質,【考點解讀】本題為新定義型問題。由題可知為考查函數的單調性，需根據所給的定義，將與給出的函數構造新函數exf x，分析其在定義域上是否單調性遞增，從而做出判斷。考點分析考點了解 A掌握 B靈活運用 C單調性與最大(小)值C高考對函數單調性與最值的考查要求較高，以小題的形式進行考查。一般難度為中等，要 求考生能靈活運用函數的性質解決問題。縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個方面：一 是考查對函數的單調性、奇偶性、周期性的理解和運用；如比較數的大小，求函數的最值等。 二是以性質為載體求值或

6、范圍問題。解決問題中要注意數形結合思想的運用。融會貫通題型一 函數單調性(區間)的確定典例 1. (1) (2016 北京模擬)下列函數中，在區間(1 ,+)上是增函數的是()A y x+1By=口C. y=- (x 1)2D. y=3_x【答案】 B3【解析】A中函數在(1,+s)上為減函數，C 中函數在(1 ,+)上為減函數，D 中函數在(1 ,+m)為減函數.(2) (2017 天津高考模擬)函數f(x) = log2(x2 4x 5)的單調增區間為 _.【答案】(5 ,+)【解析】由題意知x2 4x 50,解得x5,即函數f(x) = log2(x2 4x 5)的定義域為(汽1)U(5

7、,+s),根據外層函數為單調增函數， 而內層函數u=x2 4x 5= (x2)2 9 在(5,+s)上單調遞增，所以所求函數的單調增區間為(5 ,+).典例 2.已知定義在區間(0 ,+)上的函數f(x)滿足fx=f(xjf(X2)，且當x1時，f xv0。(1) 求f(1)的值；(2) 判斷f(x)的單調性；(3) 若f(3) = 1,求f(x)在 2,9上的最小值。【解析】(1)令坷二花、代入得仙)一/仙)=0,故于=0任取畫，花(o, +g)目斗、則玉1由于當X1時，/(x)0,所漢魚)0,即/()-/()0,因此/(碼)勺(乃)，所以函數加)在區間( 尤曲+1丸,x勺1)(玻一l)0一

8、又TQ0Kx】)一冗喲冷 二函數買紛在(一 口)上為減函數.引申探究本題 中，若改變條件a0 為敘:世，如何確定函數f(x)在(一 1,1)的單調性?【解析】由題需類討論；當a0 時，由上得函數 f(x)在(一 1,1)上為減函數；當a=0 時，f(x)=0，函數 f(x)在(1,1)上無單調性；當a0 時,設一 1X1X21，貝Uf(x f(X2)2 2T1X1X20,X1X2+10,(X11)(X21)0.又Ia0,.f(X1) f(X2)0 時；f(x)在(1,1)上為減函數，當a=0 時；f(x)在(1,1)上無單調性, 當a那么就說函數f(x)在區間D上是f(X2)，那么就說函數f(

9、X)增函數在區間D上是減函數r=/U)沁川/Gr圖象描述11 L.0*1xi *0的*冷1自左向右看圖象是上升自左向右看圖象是下降【注】對任意Xi、X2 D，且Xi-X2，若fXl-fx20或 捲x2fX1- fx2:：: 0,圍為_ .【答案】a|a c4 【解析】由題意得，根據復合函數的單調性法則可知，內層函數g(x) = X?- ax a在12,:上是單調增函數且,，且g(a) 0，綜合可得3試討論函數f(x) = x,X 1x ( 1,1)的單調性(其中a0)【答案】見解析【解析】設一1切5亡1,則加】)凡0尸五二10X2 _ axur? _ m _ ofiixi)(xC2 + 1)(

10、JA -1)03 -1)=(ri-lX-1)a(X2 xj(X1X2+ 1)(x2 1)(x2 1)7X1_X2-則函數fX在區間D為單調增函數；對任意Xi、X2D，且XiX2，若f-X1- fX2：o或 論 -x2fX-I- fX2; 0，貝 V片X2一-函數f x在區間D為單調減函數2.單調區間的定義若函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，則稱函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間.題型二確定函數的最值(值域)卩，x 1,典例 3. (1) (2016深圳模擬)函數f(x) =ix的最大值為 _.2、一x+ 2,x 0)的最小值為 _.【答

11、案】 0【解析】令*x=t，則t0,f(t)=t2+1=4+寸，當to時，f(t)在 0,+s)1 1上為增函數，f(t)min= = 0.44解題技巧與方法總結求函數最值的五種常用方法及其思路1.單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.2圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.3.基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.4導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.5.換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的【變式訓練】X2，XW1，(1 )已知函數f(x)6貝y f(f

12、( 2)=_，f(x)的最小值是|x+X 6，x1，1 _【答案】-22 6-68【解析】l時 妙=兀+-& 令7(x) = l-=0,解得尸遍負值舍去).當lg岳時打(x)g當寸打何 I5)的最小倩為族)*+玄一=2&-$綜上小)的最小值杲2&-6一(2)(2017石家莊模擬).已知函數y=1x+XT3的最大值為M最小值為m則M的值為( )112A_B.C.占D.4222【答案】C1 x0,【解析】由x+30得函數的定義域是2x|3WxM存在X0I，使得f(X0) =M結論M為最大值M為最小值題型三函數單調性的應用命題點 1 比較函數值或兩個自變量的大小典例 4. (

13、1) (2015 山東高考)設a= 0.60.6,b= 0.61.5,c= 1.50.6,則a,b,c的大小關系是()A.abcB.acbC. bac【答案】C【解析】因為函數尸o是減的數，OF施is所以is少丸護，即“1.因為的數尸列在0,+呵上是増函數,11-SJ所以LS1O0即筆上，卜5工fx1 )(2) (2017 太原調研)已知函數f(x) =xe J，若f(x”f(X2)，則()D. bc0,f(x)是定義在(0,+8)上的增函數，所以有x 80,解得；8X2C. xiX2B.xi+X2= 02 2D. xi0 時，f(x)0,.f(x)在 0,+s)上為增函數，由f(xf(X2)

14、，得f(|xi|)f(|X2|),|Xi|X2I ,x10,且az1)是 R 上的減* a +1(x0)函數，則a的取值范圍是_ .x【解析】當0：a：1時，f x = a 1在0,：心；上為減函數，而f x =-x 3a在：；：-匚?,00 w a 12上為減函數，要使函數f x在 R 上為減函數，則a滿足，解得21.3a 3 23(6)(2017 山東省鄄城縣)已知函數f X=22T (m為常數)，若f (x )在區間2,畑)上是增函數，則m的取值范圍是_ .【答案】一：,4解析】令r = |2x-m|；則f = |2x-m|在區間 牛上單調遞増，在區間函數/仗)=2匹胡在Rw)上單調遞増

15、所臥有學2,即必 4 所以加的取值范圍是2(84-解題技巧與方法總結1比較大小；比較函數值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的 單調性解決.2.解不等式；在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解此時應特別注意函數的定義域.3利用單調性求參數；(1)視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數；(2)需注意若函數在區間a,b上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上 也是單調的.4利用單調性求最值；應先確定函數的單調性，然后再由單調性求出最值.【變式訓練】F 護單調遞減又12D

16、.既不充分也不必要條件(1)( 2017烏魯木齊市三診)log2agb ”是“33 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件313【答案】A22,x：2(2)( 2017 云南省昆明模擬)已知函數 f(x)才32若不等式af(x)0 x -80解得8 x9即原不等式的解集為(8, 9)x(x -8 )0?f(x)在D上是增函數，f(x1)二f(x2) 0)的增區間為(a和,a,+s)，減區間為一，a, 0)和 (0,可.知識交匯*3 a )x 6,x蘭10f% *x 10滿足an= f nN，且是遞增數列，則實數的取值范圍是()A. (1,3)B.1,21 C. (2,3) D.

17、【答案】C3 0【解析】因為是遞増數列，所垃1I 3解得鼻Al銀卩2oc3,故選GaA2 或 Q內隨機取一點(a, b),則函數 f(x) yo2 .、=ax - 4bx+1 在區間1, +s)上是增函數的概率為()111A.BC432【答案】B(例 1. (2017 河北省保定市一模)已知函數，若數列fan?宦,3】111丿16x+y-40【解析】作出不等式組，0對應的平面區域如團:：D對應的團形為AOAB,其中對應面積為S=x4x4 = 8 ,A若f （x =3X5- 4bx+l在區間1,代上是増函數,1 4 B-二對應的面積為滬肓x4 = m，二根據幾何概型的概率公式可知所求的觀率為3

18、=.故選：B.【解題反思】作出不等式組對應的平面區域，由二次函數的對稱軸結合單調區間，建立不等式組，再根據概率的幾何概型的概率公式進行計算即可得到結論.練習檢測111. （ 2017 安徽省池州市質檢）若a=（-）10,b=（）2Clog/O，則a, b, c大小關系為（）251A.a b cB .a c bC.c b aD .b a c【答案】D11【解析】0:（一）10:（）0二1，即0：a：1，同理b 1, 而c0，因此b a c.22考點;指數與對數函數的單調性的運用log2X,x 1,2.（2017 北京模擬）已知函數f（x）=貝廠c=- 1”是“函數f（x）在 R 上遞-Ab則滿

19、5 且對稱軸即對應的平面區域為也OBC,由*02b2bta+b-4=0317區+c,x1,增”的（）B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件A.充分不必要條件C.充要條件18【答案】A【解析】若函數f(x)在 R 上遞增，則需 log21c+1，即cw1.由于c=- 1?c- 1, 但cw-1c=- 1,所以“c=-1”是“f(x)在 R 上遞增”的充分不必要條件故 選 A.考點；分段函數單調性與充要條件的判斷faxx3.(2017 屆云南曲靖模擬)已知函數f (x)滿足對任意x1- x2,Ja 3)x +4a, x K 0都有f (xJ -f區)o成立，則的取值范圍是()X1 X21 1A

20、-(0,-B(1,2C(1,3)D(2，1)【答案】A【解析】- f(x)是減函數=a-3 ae (0,-O仏14考點；分段函數單調性與求參數范圍4.(2017 銀川質檢)定義新運算：當ab時，ab=a；當ab時，ab=b2，則函數f(x)=(1x)x- (2x),x 2,2的最大值等于()A. 1B. 1C. 6D. 12【答案】 C【解析】由已知得當一 2wxwi時，f(x) =x-2,當 10,| =2 |0,l -I +t =0，有兩個不相等的正實根,U=1-4t0，解得，0Vtv1，即L 0,1，故選 D.t044考點；新定義問題及函數的單調性的運用X2+ 1,x 0,6.(2017 山西模擬)已知函數f(x)= *則滿足不等式f(1 x2)f(2x)的x1,x0,的取值范圍是_.【答案】(1,2 1)【解析】當x0時，f(x) =x2+ 1 是增函數；當x0因此由題設f(1 x)f(2x)得，* 2x0解之得1x0 或 0Wx0,7.(2016