1、x=對稱性對稱軸對稱軸kn(kZ);對稱中心:第一章三角函數【學習目標】1.理解任意角的三角函數的概念.2.掌握同角三角函數基本關系及誘導公式能畫出y= sinx,y= cosx,y= tanx的圖象 4 理解三角函數y= sinx,y= cosx,y=tanx的性質.5. 了解函數y=Asin(wx+ )的實際意義，掌握函數y=Asin(wx+ $ )圖象 的變換.If知識梳理-2同角三角函數的基本關系式(1)_ 平方關系：商數關系：tana=ia工kn +,kZ .cosa k2丿3 誘導公式六組誘導公式可以統一概括為“k寺a(k Z) ”的誘導公式當k為偶數時，函數名不改變；當k為奇數時

2、，函數名改變，然后前面加一個把a視為銳角時原函數值的符號.記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限”.4 正弦函數、余弦函數和正切函數的性質nx|xR 且x豐kn +2，kZ值域1 任意角三角函數的定義在平面直角坐標系中，設曰a是個任意角，它的終邊與單位圓交于點(1)y叫做a的，記作，即；(2)x叫做a的，記作，即；y-叫做a的x，記作，即P(x,y)，那么:函數y= sinxy= cosxy= ta nx定義域2(k Z);對稱中心：(kn,0)(k Z)對稱中 心 ：jkn +導,0 (kZ),0(k Z)，無對稱軸奇偶性周期性最小正周期：最小正周期：最小正周期：單調性在7 nn|2+2kn，2

3、+2*兀(k Z)上是單調增函數；在；n|3n12+2kn ,2+2kn1(k Z)上是單調減函數在n+ 2kn,2kn(k Z)上是單調 增函數；在2kn,n+2kn(k Z)上是單 調減函數A.n在開區間(kn 2 ,kn+)2 丿(k Z)上是單調增函數最值在x=(k Z)時，ymax= 1；在X= +2kn(k Z)時，ymin= 1在X= 2kn(k Z)時，ymax=1；X= n +2kn(k Z)時，ymin=1無最值題型探究類型一三角函數的概念例 1 已知角0的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸.若P(4 ,y)是角0終邊上一點，且 sin0=刃5貝 U v=.5反思與感悟(1

4、)已知角a的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：1先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正弦、余弦函數的定義求出相應三 角函數值.VX2在a的終邊上任選一點P(x,y),P到原點的距離為r(r0).貝ysina= - , cosa= 已知a的終邊求a的三角函數值時，用這幾個公式更方便.當角a的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.3跟蹤訓練 1 已知角a的終邊經過點P(3,4t)，且 Sin(2kn+a)(k Z)，則t=_.5類型二同角三角函數的基本關系式及誘導公式的應用3例 2 已知關于x的方程 2x2 ( .3+ 1)x+m=0 的兩根為

5、 sinB,cos(0,2n).求:(2)m的值;(3)方程的兩根及此時0的值.變，符號看象限.n a* ：$2 n aS iI n + a1tcE a +3n(1)化簡f(a)；1nn若 f (a)=，且丁a，求 cosa Sina的值;84247n(3)若a=，求f(a)的值.(1)cosn 0反思與感悟(1)牢記兩個基本關系式22sinasina+ cosa= 1 及=tancosaa，并能應用兩個關系式證明.在應用比如：已知Sina cosa的值,可求 cosasina.注意應用(cosa sina)2= 1 2sinacosa.(2)誘導公式可概括為712 (k Z)的各三角函數值的

6、化簡公式.記憶規律是:奇變偶不跟蹤訓練 2 已知f(sina )=23n2sin4類型三 三角函數的圖象與性質例 3 將函數y=f(x)的圖象向左平移 1 個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的nn倍, 然后向上平移 1 個單位長度，得到函數3sinx的圖象.(1)求f(x)的最小正周期和單調增區間；若函數y=g(x)與y=f(x)的圖象關于直線x= 2 對稱，求當x 0,1時，函數y=g(x) 的最小值和最大值.反思與感悟研究y=Asin(3x+ $ )的單調性、最值問題，把3x+ $看作一個整體來解決.跟蹤訓練 3 函數f(x) = 3sin 2x+n的部分圖象如圖所示.(1)寫出f(

7、x)的最小正周期及圖中xo,yo的值；求f(x)在區間-2, 12 上的最大值和最小值.類型四三角函數的最值和值域命題角度 1 可化為y=All3x+$+k型65n例 4 求函數y= 2sin(x+) + 3,x 0 ,n的最大值和最小值.6反思與感悟 利用y=Asin(3x+0) +k求值域時要注意角的取值范圍對函數式取值的影響.跟蹤訓練 4已知函數y=asin(2x+n6)+b在x 0 ,nn上的值域為5,1，求 a,b的值.命題角度 2 可化為 sinx或 cosx的二次函數型例 5 已知|x|三三，求函數f(x) = cos2x+ sinx的最小值.4反思與感悟在換元時要立刻寫出新元的

8、范圍，否則極易出錯.跟蹤訓練 5 已知函數f(x) = sin2xasinx+b+1 的最大值為 0，最小值為一 4,若實數a0,求a,b的值.類型五 數形結合思想在三角函數中的應用7已知方程 sin(x+3)=2在0，n上有兩個解，求實數反思與感悟數形結合思想貫穿了三角函數的始終，對于與方程解有關的問題以及在研究y=Asin(3x+0)(A 0,30)的性質和由性質研究圖象時，常利用數形結合思想.跟蹤訓練 6 設函數f(x) =Asin(3x+0)( A,3,$是常數，A 0,30).若f(x)在區間才，T上是單調函數，且f( (守守) )=f( (2n) )=-f( (看) )，則f( (

9、x) )的最小正周期為 _m的取值范當堂訓練1.若一個角a的終邊上有一點P( 4,a)，且 sina3-cosa=，貝U a的值為8規律與方法三角函數的性質是本章復習的重點，在復習時，要充分利用數形結合思想把圖象與性質結合 起來，即利用圖象的直觀性得到函數的性質，或由單位圓中三角函數線表示的三角函數值來 獲得函數的性質，同時也能利用函數的性質來描述函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖 象與性質，又能熟練運用數形結合的思想方法.2 .已知n an aa n a fill a，則f(31n + t )的值為3 .函數y= |sinx| + sin|x| 的值域為4 .函數f(x)=2sin(3x+

10、 0)30,v0的部分圖象如圖所示，貝y3,0的值分別是25.已知函數f值范圍.9由根與系數的關系,sin20cos203+1sin0 cos0sin0 cos0 =sin0+cos0= =丁丁(2)由 sin0 +cos0 =-彳；1,兩邊平方可得1+2sin0cos0=屮,41+2xm=1+，(3)由 m=于可解方程 2X2( 3+1)X+23=0,合案精析知識梳理1. (1)正弦sinasin余弦 cosacosa=X(3)正切 tanatana22.(1)sina2+COSa4.1,11,1奇函數偶函數奇函數 2n2n71卜 2kn題型探究跟蹤訓練sincos0 =sinm0cos0

11、= 2(1)g 亠sin原式= 2sin0+ =0 cos01tan0sin0 cos0coscos0+sin01 cos0102 2(cosa sina)=COSa22sina cosa +sina二 cosa sin47n= 6X2 n + ,44=cos 6X2冗+亍亍 sin 6X2nn221=cos4sin4 = VXT=2.例 3 解(1)函數y= . 3 sinx的圖象向下平移 1 個單位長度得y= 3sinx 1,再將得3廠n到的圖象上的點的橫坐標伸長為原來的倍，得到y=，3sinx 1 的圖象，然后向右平移n3rxn) 1 的圖象，.函數y=f(x)的最小正周期為T=33n3

12、-n-n-n-n15=6.由 2kn亍亍三x_2kn+ y,k Z,得 6kx6k+ 2,k Z,.函數y=f(x)sin0 =1,sincose打2cos/ 0 (0,2n跟蹤訓練 2”sin解(1)f(a)=2a cosasina由f(a)=sina cos0 =1. tana .=Sina cosa.tana1a= 可知，8=12sina cosa13=12X8 盲cosasina ,即 cosa sina 0 時，a-2+b=-5，a= 4,解得 Ib= 3;7t7n歹歹 n nsin( yxy)0,12 a,b的取值分別是 4， 3 或4, 1.2 2例 5 解y=f(x) = co

13、sx+ sinx= sinx+ sinx+ 1.n令t= sinx,：丨x|w4,2T.則y=-t2+1+1= (t2)2+4(-22wtW當t=#,即x=n4 時，f（x）有最小值，且最小值為（2）2+4=上跟蹤訓練 5 解令t= sinx,則且t 1,1.根據對稱軸10= 2 與區間1,1的位置關系進行分類討論.a當一 2w1,即卩a2時,ymax=g- =a+b= 0,ymin=g1= a+b= 4,a= 2,解得ib= 2.a當一 1 20，即卩 0a2 時,綜上所述，a= 2,b= 2.當av0 時,廠 2+b= 1,a+b= 5,a=- 4,解得一 1.解得；a=2,b= 2（舍）或*a= 6,b= 102g(t) = tat+b+ 1 = 2a2