1、n AC= 0,n ADi= 0,取 x= 1,則 y=即-3x+y=03y + 3z= 0,；3, z= 3,所以 n = (1, ,3,- 3)是平面 ACDi課時作業(yè) 13 空間向量與立體幾何1. 2019 安徽蕪湖質(zhì)檢如圖，在直棱柱 ABCD AiBiCiDi中, AD/BC,ZBAD=90AC 丄 BD,BC=1,AD=AAi=3.(1) 證明：AC 丄 BiD;(2) 求直線 BiCi與平面 ACDi所成角的正弦值.解析：(1)證明：因為 BB1平面 ABCD, AC?平面 ABCD，所以 BB1AC.因為 AC 丄 BD 且 BDABBi= B,所以 AC 丄平面 BBiD,又

2、BiD?平 面BBiD，所以 AC 丄 BiD.(2)易知 AB, AD, AAi兩兩垂直，如圖，以 A 為坐標(biāo)原點，AB, AD, AAi所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz.設(shè) AB= t，則 A(0,0,0), B(t,0,0),Bi(t,0,3), C(t,1,0), Ci(t,1,3),D(0,3,0), Di(0,3,3).從而 BiD = (1,3, 3), AC= (t,1,0), BD = (1,3,0),因為 AC 丄 BD，所以 AC BD = t2+ 3+ 0= 0,解得 t =或 t= 3(舍去).所以 ADi= (0,3,3), A

3、C= ( 3, 1,0), BiCi= (0,1,0),設(shè) n= (x, y, z)是平面 ACD1的法向量，的一個法向量.設(shè)直線 BiCi與平面 ACDi所成的角為0,二、|n Biti|321貝 9 sin0=|cosn,BiCi|=-一 - =7 ,|n|BiCi| 7故直線 BiCi與平面 ACDi所成角的正弦值為 號1.2. 2019 廣東五校第一次診斷J如圖，在菱形 ABCD 中，/ ABC= 60 AC 與 BD 交于點 O,AE 丄 平面 ABCD, CF / AE, AB= AE = 2.(1) 求證：BD 丄平面 ACFE;(2) 當(dāng)直線 FO 與平面 BED 所成的角為

4、45寸，求異面直線 OF 與 BE所成角的余弦值.解析：(1)證明：T四邊形 ABCD 是菱形，二 BD 丄 AC.vAE 丄平面 ABCD, BD?平面 ABCD, BD 丄 AE.又 ACAAE = A, AC, AE?平面 ACFE, BD 丄平面 ACFE.(2)連接 OE,以 O 為原點，OA, OB 所在直線分別為 x 軸，y 軸建 立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,則 B(0,3,O),O(O,O,O),E(1,O,2),F(- 1,0, a)(a0)，則 OB= (0, 一 3, 0), OE= (1,0,2), OF = (- 1,0, a).設(shè)平面 EBD 的法向量為

5、 n= (x, y, z),I n OB= 0,則有 一n 0E= 0, 得 y= 0.令z= 1, 是平面 EBD 的一個法向量.由題意得即-3y=0,x+ 2z= 0,則 x= 2, /. n= ( 2,0,1)sin45 = |cosOF, n=|OF n| =|2+ a|逗=|OF|n嚴(yán)、 1得 a= 3 或 a= 3,由 a0,得 a= 3,OF = (1,0,3),cosOF, BEBE= (1, , 3, 2),_ OF BE _/5T T 4 ,|OF| |BE|所以異面直線 OF 與 BE 所成角的余弦值為斗5.3. 2019 廣東惠州一調(diào)如圖， 直四棱柱ABCD AiBiC

6、iDi的底面是菱形， 側(cè)面是正方形， / DAB= 60 E 是棱 CB 的延長線上一點，經(jīng)過點 A, 0, E 的平面交 棱 BB1于點 F, B1F = 2BF.(1)求證：平面 AGE 丄平面 BCC1B1;(2)求二面角 E AC1 C 的余弦值.解析：(1)證明：設(shè)四棱柱 ABCD A1B1C1D1的棱長為 a,vB1F = 2BF, B1C1FBEF,二 BE =由/DAB = 60=/ABE，得/ABC= 120 由余弦定理得 AE =會,AC=/3a.vCE= BE+ BC = 3a,二 AE2+ CE2= AC2, AE 丄 CE.又 ABCD A1B1C1D1是直四棱柱，二

7、 CiC 丄平面 ABCD,又 AE?平面 ABCD,二 CiC 丄 AE.TCEQCC1= C,二 AE 丄平面 BCC1B1.TAE?平面 ACiE,平面 ACiE 丄平面 BCCiBi.解法一 過 C 作 CG ACi于 G, CH 丄 CiF 于 H，連接 GH.由平面 ACiE 丄平面 BCCiBi，平面 ACiEA平面 BCCiBi= GE，得 CH丄平面 ACiE. CH 丄 ACi，又 CGACi, CGACH = C, ACi丄平面 CGH , ACi丄 GH, / CGH 是二面角 E ACi C 的平面角._在 RtAACCi中, AC= 3a, CCi= a, ACi=

8、 2a, CG= ja,在 RtAECCi中，CE = |a, CCi= a, ECi=3a, CH =斗貫， GH=pCG2-CH2=-|9a,cosZCGH=黑=iy，二面角 E ACi C 的余弦值為筍3.解法二 以 E 為坐標(biāo)原點，EC, EA 所在直線分別為 x 軸，y 軸， 平行于 BBi的直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz，則 E(0,0,0), 廣 /3、(3TJ3f3AO, y-a,0 /Ci|a,0, a ，貝 y EA= 0 a, 0 , ECi=運 a,0, a|.設(shè)平面 EACi的法向量為 n= (p, q, r)，貝 Srf逅nEA= 2aq=0，不妨取

9、n = ( 2,0,3).連接 BD, B-a, 0, 0J, Df,專 a, 0/易知平面 ACiC 的一個法fMV3向量為 ni= BD = 2a, 2 a, 0設(shè)二面角 E AC2 C 的平面角為B,則|cosq=題圖知B為銳角， 一面角 E ACi C 的余弦值為 i3 .4. 20i9 河南洛陽統(tǒng)一考試如圖 i,平面多邊形 FABCD 中，RA3p+ 2r = 0,=PD, AD = 2DC = 2BC = 4, AD / BC, APIPD, AD 丄 DC, E 為 PD的中點，現(xiàn)將 APD 沿 AD 折起，如圖 2,使 PC= 2 2.(1)證明：CE/平面 ABP;又 AD/

10、 BC, BC =；AD, HE / BC, HE= BC,四邊形 BCEH 為平行四邊形， CE/ BH.vBH?平面 ABP, CE?平面 ABP, CE/平面 ABP.(2)由題意知 FAD為等腰直角三角形， 四邊形 ABCD為直角梯 形.取 AD 的中點 F，連接 BF, PF,vAD = 2BC= 4, 平面多邊形 PABCD 中，P, F, B 三點共線， 且 PF=BF = 2,翻折后，PF 丄 AD, BF 丄 AD, PFABF = F, DF 丄平面 PBF, BC 丄平面 PBF,vPB?平面 PBF, BC 丄 PB.在直角三角形 PBC 中，PC= 2.2, BC=

11、2, PB= 2, PBF 為等邊三角形.取 BF 的中點 O, DC 的中點 M，連接 PO, OM，貝 S P0 丄 BF,vDF 丄平面 PBF, . DF 丄 PO.又 DFABF = F, PO 丄平面 ABCD.以 O 為原點，OB, OM, OP 的方向分別為 x, y, z 軸的正方向,求直線 AE 與平面 ABP 所成角的正弦值.如圖. HE / AD，且 HE=；AD.建立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,則 B(3,0,0), D( 3,2,0), P(0,0, 3), A( 3, 2,0),-AE= 2, 3/23, AB= (2,2,0), BP= ( 3,0,.設(shè)平面 A

12、BP 的法向量為 n = (x, y, z),則n AB= 0,n BP= 0,故可取 n = (3, cos 5,AE=n| |AE|直線 AE 與平面 ABP 所成角的正弦值為 55. 2039 天津卷如圖，AE 丄平面 ABCD, CF / AE, AD / BC, AD丄 AB, AB=AD = 3, AE= BC= 2.(1)求證：BF/平面 ADE;求直線 CE 與平面 BDE 所成角的正弦值；1(3)若二面角 E-BD F 的余弦值為3,求線段 CF 的長.解析：本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成 的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空 間想

13、象能力、運算求解能力和推理論證能力.依題意，可以建立以 A 為原點，分別以 AB, AD, AE 的方向為 x 軸，二 E 2 3I 2,x+ y= 0,x+ 3z= 0,3,.3),n Ad=.23035,y 軸，z 軸正方向的空間直角坐標(biāo)系 A-xyz(如圖)，可得 A(0,0,0),B(1,0,0), C(1,2,0), D(0, 1,0), E(0,0,2).設(shè) CF= h(h0)，則 F(1,2, h).(1)依題意，AB= (1,0,0)是平面 ADE 的法向量，又 BF = (0,2, h), 可得 BF AB= 0,又因為直線 BF?平面 ADE，所以 BF /平面 ADE.依

14、題意，BD = ( 1,1,0), BE= ( 1,0,2),CE = ( 1, 2, 2).所以，直線 CE 與平面 BDE 所成角的正弦值為 9- 設(shè) m= (x, y, z)為平面 BDF 的法向量，m BD = 0, x+y= 0,則，即 y Tc2y+ hz= 0,m BF = 0,8解得 h = 8經(jīng)檢驗，符合題意.所以，線段 CF 的長為 7-6. 2019 四川成都模擬如圖，四棱柱 ABCD A1B1CQ1中，A/丄 平面 ABCD, AB / DC, AB 丄 AD, AD = CD = 1, AA1= AB= 2, E 為棱 AA1的中點.設(shè) n= (x, y, z)為平面

15、 BDE 的法向量，則n BD = 0,n BE = 0,x+ y= 0, 即x+ 2z= 0,因此有 cos CE,不妨令 z= 1,可得 n = (2,2,1).CE n 4n=9-|CE|n|不妨令 y= 1,可得 m =21,1,-h-由題意，有 |cos | = mn)= 4-22+1=3,(1) 證明：BiCi丄 CE;(2) 求二面角 Bi- CE- Ci的正弦值；(3)設(shè)點 M 在線段 CiE 上，且直線 AM 與平面 ADDiAi所成角的正 弦值為彳，求線段 AM 的長.解析：(i)證明：在 BiCiE 中，EBi=：i + 22= 5, BiCi=、i + i =2, EC

16、i=3,二 BiCi+ EC2= EBi,二 BiCi丄 ECi,TAAi丄平面 ABCD, AAi丄 BC,CCi丄 BiCi, 而 CCinECi= Ci, BiCi丄平面 CCiE.TCE?平面 CCiE,BiCi丄 CE.(2)由題可知，DA, AAi, AB 兩兩垂直，如圖，以點 A 為原點，分 別以 AD, AAi, AB 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz，貝卩 A(0,0,0), B(0,0,2), C(i,0,i), Bi(0,2,2), Ci(i,2,i), E(0,i,0), BiC= (i,- 2,-i), CE= (- i,i,- i), BiCi= (i,0, - i),設(shè)平面 BiCE 的法向量為 m= (x, y, z),m CE= 0,消去 x,得 y+ 2z= 0不妨令 z= i,所以 x=- 3, y=- 2, 則 m = ( 3,- 2,i)為平面 BiCE 的一個法向量.x+ y-z