1、第 01 節(jié)集合的概念及其基本運(yùn)算【考綱解讀】命題角度考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)命題分析預(yù)測(cè)1. 了解集合的含義、兀素與集合的屬于2018課標(biāo)II,21.分析預(yù)測(cè)從近五年關(guān)系.2017課標(biāo)III ,1的全國(guó)卷的考查情況來(lái)2.能用自然語(yǔ)言、 圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言看,本講是全國(guó)卷的必考1.集合的(列舉法或描述法)描述不冋的具體問(wèn)內(nèi)容，題目穩(wěn)定，難度較表示、集題.低，主要考查集合的含義合間的基3.理解集合之間包含與相等的含義，能和基本運(yùn)算,般在試卷本關(guān)系識(shí)別給定集合的子集.第1題或第2題的位置，4.在具體情境中，了解全集與空集的含分值5分.預(yù)計(jì)2019年高義.考命題方式和考查內(nèi)容2018課標(biāo)1,2;不會(huì)有太大變

2、化.III,12.學(xué)科素養(yǎng)本講主要1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，2017課標(biāo)I,1;以函數(shù)、方程、不等式等會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.II,2為載體，以集合的語(yǔ)言和2.集合的2.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的2016課標(biāo)I,符號(hào)為表現(xiàn)形式，考查考基本運(yùn)算含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.III,1;II,2生的分類(lèi)討論思想和數(shù)3.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系2015課標(biāo)n,1學(xué)運(yùn)算能力及運(yùn)算.2014課標(biāo)I,II,1【知識(shí)清單】1元素與集合(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性.(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A,記作aA；若b不屬于集合A,記作A.(3)集合的表示方法：

3、列舉法、描述法、圖示法.(4)常見(jiàn)數(shù)集及其符號(hào)表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N+ZQR-2 -對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2018課標(biāo)II理2】已知集合Ax,y x2y23, x Z , y Z，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A. 9B.8C. 5D. 4【答案】A【解折】試題分析：根據(jù)枚舉法確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù).試題解析：丁d + h幻匸/今，又JCEg,二乂 = 一1,1當(dāng)x=-1時(shí)，P = -L,O)當(dāng)兀二o時(shí)，y=Lo:1當(dāng)1無(wú)=1時(shí)， = -1,0,1所以共有g(shù)個(gè)，選A.【考點(diǎn)】本題考查集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)概念理解與識(shí)別.2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：對(duì)于

4、兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也說(shuō)集合A是集合B的子集.記為A=B或B = A.(2)真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果AB，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A,則稱集合A是集合B的真子集.記為A =B.(3)空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.(4)若一個(gè)集合含有n個(gè)元素，則子集個(gè)數(shù)為 蘭個(gè)，真子集個(gè)數(shù)為2n-1.對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2018山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模】 若集合11：,則下列結(jié)論中正確的是()A -1- - -.：BX：C旦乍D扛=-【答案】C【解析】分析：由題意首先求得集合B,然后逐一考查所給選項(xiàng)是否

5、正確即可.詳解：求解二次不等式可得：y二叩； 斜據(jù)此可知：廣廠:一門(mén)： ： ：- U,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；f江協(xié)，：:v?：,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；且集合A是集合B的子集，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.-3 -本題選擇C選項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn) 化能力和計(jì)算求解能力.3集合的運(yùn)算(1)三種基本運(yùn)算的概念及表示運(yùn)算自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合AnB=X|XA且XEArn并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合AUB=X|XA或xEAJti補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?uA=x|xu且

6、x?A3(2)三種運(yùn)算的常見(jiàn)性質(zhì)AA二A,A.一二.一 ,ARB二Bp A,AU A二A,AU一二A,AU B二BU A.Cu(CuA)=A,CuU = _,Cu一=U.ARB-AUA B,AUB二A=B A,Cu(ADB)GAUCUB.對(duì)點(diǎn)練習(xí)：【2018課標(biāo)III理1】已知集合A=xx化。，B=0,1,2，則Ap| B =()A.B. 4C. 1l,2?D.：0,1,2?【答案】C【解析】試題分析：由題意先解出集合代進(jìn)而得到結(jié)果.試題解析：由集合A得x_1,. AnBnSz?，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【考點(diǎn)深度剖析】高考對(duì)集合知識(shí)的考查要求較低，均是以小題的

7、形式進(jìn)行考查，一般難度不大，要求考生熟練掌握與集合有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查具體CU(AUB)=CUAP1CUB,-4 -集合的關(guān)系判斷和集合的運(yùn)算解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解集合中元素所具有屬性的含義，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的關(guān)系判斷以及運(yùn)算.【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1集合的概念【1-1】【2018山西高三一模】已知單元素集合A Jx|x2_ a 2 x 1= 0)，則a二()A. 0 B.-4 C.-4或1 D.-4或0【答案】D【解析】由于只有一個(gè)元素，故判別式為零，即a 2? -4 = a2 4a = 0,

8、a = 0,a = -4，故選D.【1-2】【2018豫南九校聯(lián)考一】 已知集合A1,2?,貝U集合B= x, y |x A, r A中元素的個(gè)數(shù)為()A. 1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】集合B中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，共4個(gè).故選D.【領(lǐng)悟技法】與集合元素有關(guān)問(wèn)題的思路：(1)確定集合的兀素是什么，即確定這個(gè)集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.(2)看這些元素滿足什么限制條件.(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.【觸類(lèi)旁通】【變式一】【上海市黃浦區(qū)2018屆高三4月模擬(二模)】已知集合：，若，則非零實(shí)數(shù)m的

9、數(shù)值是 _.【答案】【解析】由題，若則此時(shí)B集合不符合元素互異性，故若則符合題意；若則不符合題意.故答案為2.【變式二】【2018江西二模】設(shè)集合|-；,塞二丨心：-，則I中的元素個(gè)數(shù)為()-5 -A. B.C.D【答案】C【解析】分析：由題意列表計(jì)算所有可能的值，然后結(jié)合集合元素.的互異性確定集合M最后確定其元素的個(gè)數(shù)即可.詳解：結(jié)合題意列表計(jì)算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：心-二；，據(jù)此可知 中的元素個(gè)數(shù)為 .本題選擇C選項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系【2-1

10、】【2018福建莆田模擬】已知集合I，門(mén)廠一 0 = x|x 2,AuB = B, X匚u工2,蟲(chóng)實(shí)數(shù)口的取值范圍是憶+oo),故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，屬于容易題，在解題過(guò)程中要注意在求補(bǔ)集與交集時(shí)要考慮端點(diǎn)是否可以取到，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)將不等式與集合融合， 體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的交匯.【2-2】【2018安徽江南十校二模】設(shè)集合 丄汁-八八；，廠-；八；：,則下列關(guān)系正確的是()A.匚+B.-1- - -.：CL-_ WD【答案】C-6 -詳解：由題意一!；打心 E Jm，只有C正確.故選c.【名師點(diǎn)睛】集合問(wèn)題中首要任務(wù)是確定集合的元素，對(duì)描述法表

11、示的集合，其代表元的形式是 什么很重要，這個(gè)代表元是實(shí)數(shù)，還是有序?qū)崝?shù)對(duì)（點(diǎn)）？是實(shí)數(shù)時(shí)，表示函數(shù)的定義域還是函 數(shù)的值域？只有確定了代表元的意義，才能確定正確的求解方法，確定出集合.本題還考查的集 合間的關(guān)系，掌握補(bǔ)集運(yùn)算與包含關(guān)系是解題關(guān)鍵.【2-3】【2018豫南九校聯(lián)考二】已知集合A=x|k乞2k,B=x|1x4，則能使A|B=A成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍是 _.【答案】-：,21【解析】集合A=x|k+lx2k,解得KI.當(dāng)A卻時(shí)，要使 監(jiān)B成立，則廣十山，解得:2k4k2,綜上可得：實(shí)數(shù)上的取值范圍（T2.【領(lǐng)悟技法】1判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間

12、的關(guān)系；二是用 列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.2已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為 參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類(lèi)問(wèn)題常常運(yùn)用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.【觸類(lèi)旁通】【變式1】設(shè)集合P=m|1：m：0,Q=m|mx2+4mx4- 0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，且m R，則下列關(guān)系中成立的是（）A. P = QB. Q = PC. P=QD.PCQ=-【答案】Al.m0,【解析】P= m |1：m：0,Q :或m=0.（A =16m2+16mv0,二1：m 0. Q=m |1：m _ 0. P - Q.k兀 兀k兀 兀【解析】分析：由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求

13、出集合AB,再驗(yàn)證各選擇支結(jié)論是否成立.-7 -【變式2】已知集合M =*xx =+ ,k Z，集合N= , Z，則（）I 44 J184 J-8 -A.MN-_BM NCN MDMUN二N【答案】B或（2k-1）z，所以M N84 J考點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算本考點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)，主要有以下兩個(gè)命題角度：命題角度一 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算【3-1】【2018河南鄭州調(diào)研】 設(shè)集合-令一-，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）A. 3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】分析；和用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合衛(wèi)，利用對(duì)數(shù)不等式的解法化簡(jiǎn)集合根抿交集的定 義可得結(jié)果.徉解：A=a：FZ|x1-3x- + 0 =x

14、EZ|-1 x4 =-1,0,1.23.4,B = xhix= x x =42n二 二2k：ji4x二-9 -則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.七 _m _ 4B. 一3：m：4C.2：m：4D.2：m _ 4【答案】Dm 1-2,I【解析】由于AUB=A, 所以A,又因?yàn)锽M0,所以有2m_仁7,解得2m4,m l：2m-d,故選D.【領(lǐng)悟技法】集合的運(yùn)算要注意靈活運(yùn)用韋恩圖和數(shù)軸，一般情況下，有限集的運(yùn)算用維恩圖分析，無(wú)限 集的運(yùn)算用數(shù)軸，這實(shí)際上是數(shù)形結(jié)合的思想的具體運(yùn)用.2.涉及集合（交、并、補(bǔ)）運(yùn)算，不要遺忘了空集這個(gè)特殊的集合.空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集.3.有些集合

15、是可以化簡(jiǎn)的，如果先化簡(jiǎn)再研究 其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算， 可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，易 于解決.【觸類(lèi)旁通】【變式一】【2018河南洛陽(yáng)三模】設(shè)集合_-I - 土，則* 的子集個(gè)數(shù)為（）A. 4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B,得到 ，可求m的子集個(gè)數(shù).詳解：沖=才丘刃|疋| 乞懐蘭用蘭2 = -2,-1丄2,B = （yy= 1 -x2 =yy1,n :二的子集個(gè)數(shù)為J-1“故選c.【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及子集的個(gè)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.【變式2】【2018福建三明二模】設(shè)全集,集合II，：，則A.：工L： 上B.：.；：_：c.v -:D. :1!-1-:【答案】A

16、【解析】分析：利用一元二次不等式的解迭化簡(jiǎn)集合碼利用補(bǔ)集的定義求出匕用由交集的定義可得結(jié)果. 詳解：因?qū)滲 = x|z(i -2) 0=x|0 x2f所= x| xs&x爸2,結(jié)合集合-10 -A=x| 1 Jt 所以可得蟲(chóng)“(4$) -M- l1正確解析： 由| xa|：1得一1：x a: 1，二a1：xa+1，由A B得，二廠.a + 1c52 : : a : 4 又當(dāng)a=2時(shí)，=x|1：x：3l滿足A= B,a=4時(shí)，x|3：x：5?也滿足A =B ,2 _a _4溫馨提示：利用數(shù)軸處理集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，要注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，在含有 參數(shù)時(shí)，要注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否

17、符合題意.易錯(cuò)典例2：設(shè)集合A.x| x2：a) B=x| X：2?，若A|B = A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是易錯(cuò)分析：遺忘空集.正確解析：由Ap|B二A= A B，所以當(dāng)A-一時(shí)，滿足A B，此時(shí)不等式x2：a無(wú)解，所以a乞0,當(dāng)A即a 0時(shí)，A - x|- a：x、；, a a0,由AB可知乞2= 0：a 4綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是a4溫馨提示：在A B, AUB = B,AnB =A,ArB- 一中容易忽視集合A一這一情況，預(yù) 防出現(xiàn)錯(cuò)誤的方法是要注意分類(lèi)討論.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體一一數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維 相結(jié)合，使問(wèn)題化難為易、化抽象為具體數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用具體體現(xiàn)在