1、§6.6考慮一級交互作用的正交試驗設計前面介紹了不考慮交互作用的正交試驗設計，現在來看一下考虔交互作用的情形。2個因子之間的交互作用，如/xB_4xC,0xC,，稱為一級交互作用，3個因 子之間的交互作用，如-4x£xC,3xCxZX，稱為二級交互作用，一般地，k 個因子之間的交互作用，稱為k-1級交互作用。考氓-級交互作用的正交試驗設計和數據處理，可按下列步驟進行：(1) 選正交表Z(rw) o選擇的原則是：/要等于因子的水平數：m要人于或等于因子的個數加上r-1 與一級交互作用個數的乘枳：n是試驗次數，要盡可能小。例如，問題中有3個因子：d,5C,每個因子都是3個水平。

2、要求考慮一級交互作 K AxB.AxC.BxC.選正交表時，首先要選r=3的表。這樣的正交衷有 Z9(34), Z27(3b),-。因子的個數3加上r-1與一級交互作用個數3的乘積等于 3 + (3 l)x3 = 9。在 厶(34)中，m = 4 ,小于9 ,所以不符合要求。在Z27(3B) 中，w=13，大于9 ,符合要求。而且在符合要求的正交表中，Z27(3b)的試驗次數 =27為最小，所以，我們最后選定正交表Z27(313) o(2) 設計表頭，將各個因子、各個一級交互作用安排在正交表的各列上方，每個因子占1列，每個一 級交互作用占r-1列。因子和交互作用不能任意安放，需要查交互作用表例

3、如，問題中有3個因子：&5C,每個因子都是2個水平。要求考慮一級交互作 用AxB.AxC.BxC.因子的個數3加上7 -1與一級交互作用個數3的乘積等于 3 + (2-l)x3 = 6。在符合要求7 =2, 77/>6的正交表中，厶(2?)的ti =8為最小， 所以，我們選正交表Zs(27) o安排表頭，需要查交互作用表。書后附錄中有一個“2水平正交表的交互作用 表”。首先，安排因子/和因子8,它們可以任意安放，我們將/放在第1列，將3放 在第2列。接著，就要安排交互作用AxB ,在交互作用表中，列號1的橫行與列號2的 縱列的相交處，冇一個數字3 ,這表明AxB應安排在第3列。然

4、后，安排因子C , 它必須放在冃前還是空白的列上，我們將C放在第4列。接下米，又要査交互作用表， 以便安排交互作用AxC和BxC。由于列號1與列號4的柑交處是數字5,所以AxC應安排在第3列。由于列號2與列號4的相交處是數字6,所以BxC應安排在第6列。 最后，剩下第7列作為空白列。表頭ABAxBCAxCBxC表頭列號1234567A1(1)325476B2(2)16745AxB3(3)7654C4(4)123Ax C5(5)32(3) 按照設計做試驗.取得試驗觀測值，正交表的每一行代表一種水平組合，對每一種水平組合做一次試驗。共得到H個試 驗觀測值：X、XwX. o(4) 在正交表的毎一列中

5、，求出與各水平對應的均值，以及這一列的平方和。在每一列中,先計算出分別與數字1, 2,對應的觀測值之和硏“矽"，網以及與各水平對應的均值X-=三丄。再計算出這一列丿 nr - nrJ nr的平方和=-Y(XtJ-X)2。r 1-1列方差分析現作顯著性檢驗來源平方和自由度均方F值分位數ASSa刀=11MS, = SSA/fAMS 4 戸=MS«F2EBSSbfB =廠-1MSb = SSB/fBF _臨 Fb MS.:-:Ax Bss ©/=(r-l)2MS" = SS 3 / fiBF 一叫 也MSt(f.iB' X)誤差ss©feMS

6、e=SSjfe總和SSTA = -1其中，-壬)'是總平方和。SSSSb、 分別是表頭為4 5 *-1的各列的平方和。SS坊是表頭為AxB的1-1列的平方和之和，SSqSSbc，也是類似這樣的平方和之利。SS.=SSt-SSa-SSbSS©- 是誤差平方和。可以證明，SSt = ±SS）,即SS是各列的平方和之和，所以，SS.就是空白列的平方 J-1和之和。fT=n-是總自由度，兀=兀=1是各因子的自由度，Z = Ac= - = O-i）2是各交互作用的自由度，f. = fT-h-fB 幾一 是誤差自由度。MS. = SSA/fA , MSb = SSB/fB ,-

7、是各因子的均方，AfSiB = SS jf a ,-是各交互作用的均方，MSe=SSjfe是誤差均方。可以證明，若因子/的作用不顯著，則/=些尸（幾，刀）：若因子J的作用MS,顯著，則耳的值會偏人，統計最耳的分布，相對于F（力，刀）分布來說，峰值的位置會有 一個向右的偏移。若交互作用AxB不顯著，則；若交互作用AxB顯著,MS.則尸坊的值會偏人，統計量£坊的分布，相對于F（J門,f）分布來說，峰值的位置會有一 個向右的偏移。所以，只要給定顯著水平a ,就可以用F分布檢驗因子.4, 5 以及交互作用 AxB9 JxC, 是否顯著。（6）尋找量優水平組合，對每個因子，比較各水平的均值的大

8、小，可以確定哪一個水平最優。對每個一級交互作用，比較各種雙因子水平組合的均值的人小，町以確定哪一種雙因 子水平組合最優。綜介考慮以上兩方而得到的結果，求出包括全部因子的最優水平組介。下面看一個實際例子。例1為提高水稻的畝產量（單位：kg），進行3因子2水平正交試驗。所取的因子 利水平分別為：因子A是水稻品種，熱是鐵大，-£是雙廣：因子B是插植距離，B是15 cmX 12 cm , B、是15cmX15cm :因子C是化肥用量，C是10kg/畝，C2是12.5 kg/畝。在進行正交試驗設計時，考慮交互作用AxB.AxC.BxC.要求檢臉因子 A,B,C以及交互作用 »BJxC

9、,BxC是否顯著（顯著水平a = 0.05 ）,并J1找出 最優水平組合。解（1）選正交表。按照r = 2, m > 6, 11盡可能小的原則，選用 厶Q7）。（2）設計表頭。如同前面已舉例說明過的那樣，可將因子A,B、C安排在第1, 2,4列，交互作用AxB、AxC,BxC安排在第3, 5, 6列。（3）按照設計做試驗，取得試驗觀測值。試驗得到的觀測值見下表。（4）求齊列與各水平對應的均值和齊列的平方和。計算結果見下表。表頭ABAx BcJxCBxC觀測值（田產量）A、列號 試、 驗號123456711111111805211122227503122112288541222211850

10、52121212965621221218707221122181182212112730822.5844.0847.5819.0774.0892.5866.5800.0822.5844.0837.5829.0834.0832.5X = 833.25SS.924.51624.528084.58844.5924.5144.54.5ST =40551 5（5）列方差分析表，作顯著性檢驗。來源平方和自由度均方F ;IL分位數ASSA = 924.5r-l = l924.5Fa =205.44厲 95 (I，】)=0BSSB = 1624.5r-l = l1624.5Fb =361.00耳 95 (1，

11、1) = 161CSSC = 8844.5r-l = l8844.5Fc =1965.44厲95(1'1)= “1AxBSS 屈=28084.5(-l)'l28084.5F© =6241.0厲 95 (I'D = “1AxCSS.C =924 5o-i)2 = i924.5FiC =205.44坨 95 (1,1) = 161BxCSSBC = 144.50-l)2=l144.5屜=32.11坨 95(1'D = 161誤差SS. =4.57-l-l-l-l-l-l=l4.5總和SST =40551.5n -1 = 7因為Fa = 205.44 >

12、; 161 = F_a（fA, ft）,所以因子A作用顯著。因為 巧=361.00 >161 =鼻。（兀，刀），所以因子B作用顯著。因為 耳=1965.44 >161 = FifC/c，/；），所以因子C作用顯著。因為Fa =6241.0 >161 = F-（/“，£）,所以交互作用Ax B顯著。因為 FiC = 205.44 > 161 = _a（/4C, fg），所以交互作用 AxC 顯著。 但因為FBC = 32A<6 = FafBCy fg）,所以交互作用BxC不顯瓠（6）尋找繪優水平組合。對于因子A ,因為A】的均值Xn=822.5 ,a2的均

13、值壬2】=844.0 ,其中壬H = 844.0最大,所以A2是最優水平。對于因子B ,因為B的均值xn=847.5 ,b2的均值= 819.0 ,其中岳2 = 847.5最人，所以Bx是最優水平。對于因子C ,囚為q的均值無口=866.5 ,C,的均值=800.0 ,其中X1A = 866.5繪人，所以是最優水平。如果不考慮交互作用，把3個因子的最優水平簡單地組介起來，可以得到最優水平組合（比，£,6） o下面考慮交互作用。對于交互作用AxB ,各種雙因子水平組合的均值為:組合均值組合均值3,3)仆兀=805 + 750 = 777.52 2（舟雖）兀 +俎=885 + 850 = 867 5 C2'兀+兀= 965 + 870 = 917.52 2C2，811+730=770.52 2其中，91