1、變速問題教學目標1， 能夠利用以前學習的學問理清變速變道問題的關鍵點2， 能夠利用線段圖，算術，方程方法解決變速變道等綜合行程題；3， 變速變道問題的關鍵是如何處理“變”學問精講3-2-6.變速問題 . 題庫page 5 of 15老師版|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.變速變道問題屬于行程中的綜合題，用到了比例，分步，分段處理等多種處理問題等解題方法；對于這種分段變速問題，利用算術方法，折線圖法和方程方法解題各有特點；算術方法對于運動過程的把握特別細致，但必需一步一步來；折線圖就顯得特別直觀，每一次相遇點的位置也易于確定；方程的優(yōu)點在于無需考慮得特別認真，只需要知道變速點

2、就可以列出等量關系式，把大量的推理過程轉化成了運算行程問題常用的解題方法有 公式法即依據(jù)常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡潔，其實也有許多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式特別熟識，可以推知需要的條件； 圖示法在一些復雜的行程問題中， 為了明確過程， 常用示意圖作為幫助工具 示意圖包括線段圖和折線圖圖示法即畫出行程的大致過程，重點在折返，相遇，追及的地點另外在多次相遇，追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法； 比例法行程問題中有許多比例關系，在只知道和差，比例時，用比例法可求得詳細數(shù)值更重要的是，在一些較復雜的題目

3、中，有些條件(如路程，速度，時間等)往往是不確定的，在沒有詳細數(shù)值的情形下，只能用比例解題； 分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段， 在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結果結合起來； 方程法在關系復雜，條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設條件關系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關系列方程經(jīng)常可以順當求解模塊一，變速問題【例 1】 小紅和小強同時從家里動身相向而行；小紅每分走 52 米，小強每分走70 米，二人在途中的a 處相遇；如小紅提前4 分動身，且速度不變，小強每分走90 米，就兩人仍在a處相遇；小紅和小強兩人

4、的家相距多少米？【解析】 由于小紅的速度不變，相遇的地點不變， 所以小紅兩次從動身到相遇行走的時間不變，也就是說，小強其次次走的時間比第一次少4 分鐘；（70×4） ÷（ 90-70）=14 分鐘 可知小強其次次走了14分鐘，他第一次走了14 4=18 分鐘； 兩人家的距離： （52+70 ）×18=2196（米） 【例 2】 甲，乙兩人沿 400 米環(huán)形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去；相遇后甲比原先速度增加2 米秒，乙比原先速度削減2 米秒，結果都用24 秒同時回到原地；求甲原先的速度；【解析】 由于相遇前后甲，乙的速度和沒有轉變，假如相遇

5、后兩人和跑一圈用24 秒，就相遇前兩人和跑一圈也用 24 秒；以甲為討論對象，甲以原速v跑了 24 秒的路程與以（ v +2）跑了 24 秒的路程之和等于400 米， 24v +24 （ v +2）=400 易得 v =7 1 米/秒3|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 3】 (2021 年日本學校算術奧林匹克大賽 )上午 8 點整，甲從 a 地動身勻速去 b 地，8 點 20 分甲與從 b 地動身勻速去 a 地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原先的 3 倍，乙速度不變； 8 點 30 分,甲， 乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從 b 地動身時是 8 點 分【解析】 8

6、 點 20 分相遇，此時甲距離 a 地的距離是甲走了 20 分鐘的路程， 8 點 30 分時乙到達目的地，說明乙走這段路程花了 10 分鐘，所以乙的速度是甲速度的兩倍，當甲把速度提高到原速的 3 倍時， 此時甲的速度是乙速度的 1.5 倍，甲從相遇點走到 b 點花了 10 分鐘，因此乙原先花了 10 1.5 15（分鐘），所以乙是 8 點 5 分動身的【例 4】 （難度等級） a ， b 兩地相距 7200 米，甲，乙分別從a ， b兩地同時動身，結果在距 b 地 2400 米處相遇假如乙的速度提高到原先的3 倍，那么兩人可提前10 分鐘相遇， 就甲的速度是每分鐘行多少米？【解析】 第一種情形

7、中相遇時乙走了2400 米，依據(jù)時間肯定，速度比等于路程之比，最初甲，乙的速度比為 (7200 2400) : 2400 =2 :1 ，所以第一情形中相遇時甲走了全程的2/3乙的速度提高3 倍后，兩人速度比為2 : 3，依據(jù)時間肯定，路程比等于速度之比，所以其次種情形中相遇時甲走了全程的33 兩種情形相比， 甲的速度沒有變化， 只是其次種情形比第一種情形少走10 分325鐘，所以甲的速度為6000( 33 )915058(米/分)【例 5】 （難度等級）甲，乙兩車分別從a ， b 兩地同時動身相向而行，6 小時后相遇在c 點假如甲車速度不變， 乙車每小時多行5 千米， 且兩車仍從a， b 兩地

8、同時動身相向而行， 就相遇地點距c 點 12 千米；假如乙車速度不變，甲車速度每小時多行5 千米，就相遇地點距 c 點 16 千米甲車原先每小時行多少千米？【解析】 設乙增加速度后，兩車在d 處相遇，所用時間為t 小時；甲增加速度后，兩車在e 處相遇；由于這兩種情形，兩車的速度和相同，所以所用時間也相同；于是，甲，乙不增加速度時，經(jīng)t 小時分別到達d，e；de 1216 28（千米）；由于甲或乙增加速度每小時5 千米，兩車在 d或 e 相遇，所以用每小時5 千米的速度， t小時 走過 28 千米，從而 t 28÷5 285小時 ,甲用 6 28 2 （小時），走過 12 千米，所以甲

9、原先每小時行12230（千米）÷ 555【鞏固】 （難度等級 ） 甲，乙二人分別從a ，b 兩地同時動身相向而行，5 小時后相遇在c點；假如甲速度不變，乙每小時多行4 千米，且甲，乙仍從a ，b 兩地同時動身相向而行，就相遇點 d距 c點 lo 千米；假如乙速度不變，甲每小時多行3 千米，且甲，乙仍從a ，b 兩地同時動身相向而行，就相遇點e 距 c 點 5 千米；問：甲原先的速度是每小時多少千米？【解析】 當乙每小時多行4 千米時， 5 小時可以多行20 千米，所以當兩人相遇后連續(xù)向前走到5 小時， 甲可以走到c 點，乙可以走到c 點前面 20 千米；而相遇點d距 c 點 lo千米

10、，因此兩人 各走了10 千米，所以甲乙二人此時速度相等，即原先甲比乙每小時多行4 千米；同理可得，甲每小時多行3 千米時，乙走5 千米的時間甲可以走10 千米，即甲的速度是乙的2 倍；(4+3) ÷(2-1)+4=11( 千米/ 小時)，所以甲原先的速度是每小時11 千米；|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 6】 a ， b 兩地間有一座橋(橋的長度忽視不計 )，甲，乙二人分別從兩地同時動身，3 小時后在橋上相遇假如甲加快速度，每小時多走2 千米，而乙提前0.5 小時動身，就仍能恰在橋上相遇假如甲推遲0.5 小時動身，乙每小時少走2 千米，仍會在橋上相遇就a

11、， b 兩地相距多少千米？【解析】 由于每次相遇的地點都在橋上，所以在這三種情形中，甲每次走的路程都是一樣的，同樣乙每次走的路程也是一樣的在其次種情形中，乙速度不變，所以乙到橋上的時間仍是3 小時，他提前了 0.5 小時，那么甲到橋上的時間是3 -0.5 =2.5 小時甲每小時多走2 千米， 2.5 小時就多走 2 ×2.5= 5 千米，這 5 千米就是甲原先3- 2.5 =0.5 小時走的，所以甲的速度是5 ÷0.5= 10 千米/ 時在第三種情形中，甲速度不變，所以甲到橋上的時間仍是3 小時，他推遲了0.5 小時，那么乙到橋上的時間是3 0.5 =3.5 小時乙每小時少

12、走2 千米， 3.5 小時就少走 2 ×3.5 =7 千米，這 7 千米就是甲原先3.5 3= 0.5 小時走的，所以乙的速度就是7 ÷0.5 =14 千米 /時所以 a ， b 兩地的距離為（ 10 14） ×3 =72 千米【例 7】 一列火車動身 1 小時后因故停車 0.5 小時， 然后以原速的 3/4 前進， 最終到達目的地晚 1.5 小時 如動身 1 小時后又前進 90 公里再因故停車 0.5 小時， 然后同樣以原速的 3/4 前進， 就到達目的地僅晚 1 小時，那么整個路程為多少公里？【解析】 動身 1 小時后因故停車0.5 小時，然后以原速的34前進

13、，最終到達目的地晚1.5 小時，所以后面以原速的3 前進的時間比原定時間多用1.50.51小時，而速度為原先的3，所用時間為原來的 434，所以后面的一段路程原定時間為1( 4341)3 小時， 原定全程為4 小時； 動身 1 小時后又前進 90 公里再因故停車0.5 小時， 然后同樣以原速的34前進， 就到達目的地僅晚1 小時，類似分析可知又前進90 公里后的那段路程原定時間為(10.5)( 431)1.5 小時所以原速度行駛 90 公里需要 1.5 小時，而原定全程為4 小時，所以整個路程為901.54240 公里【例 8】 王叔叔開車從北京到上海，從開頭動身， 車速即比原方案的速度提高了

14、1/9，結果提前一個半小時到達；返回時，按原方案的速度行駛280 千米后，將車速提高1/6，于是提前 1 小時 40 分到達北京北京，上海兩市間的路程是多少千米？【解析】 從開頭動身，車速即比原方案的速度提高了1/9，即車速為原方案的10/9，就所用時間為原方案 的 1÷10/9=9/10 ，即比原方案少用1/10 的時間，所以一個半小時等于原方案時間的1/10，原方案時間為： 1.5 ÷1/10=15( 小時)；按原方案的速度行駛280 千米后，將車速提高1/6，即此后車速為原先的 7/6，就此后所用時間為原方案的1÷7/6=6/7 ，即此后比原方案少用1/7

15、的時間，所以1 小時 40 分等于按原方案的速度行駛280 千米后余下時間的1/7，就按原方案的速度行駛280 千米后余下的時間為： 5/3 ÷1/7=35/3( 小時)，所以，原方案的速度為：84(千米 /時)，北京，上海兩市間的路程為： 84 ×15= 1260( 千米 )【例 9】 上午 8 點整，甲從 a地動身勻速去b 地， 8 點 20 分甲與從 b 地動身勻速去a 地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原先的3 倍，乙速度不變； 8 點 30 分，甲，乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從b 地動身時是8 點幾分【解析】 甲，乙相遇時甲走了20 分鐘， 之后甲的速度提高

16、到原先的3 倍，又走了 10 分鐘到達目的地，依據(jù)路程肯定，時間比等于速度的反比，假如甲沒提速，那么后面的路甲需要走10×3= 30 分鐘，所以前后兩段路程的比為20 : 30 =2 : 3 ，由于甲走 20 分鐘的路程乙要走10 分鐘，所以甲走 30 分鐘的路程乙要走15 分鐘，也就是說與甲相遇時乙已動身了15 分鐘，所以乙從b地動身時是 8 點 5 分|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 10】 （難度等級 ）甲，乙兩人同時從山腳開頭爬山，到達山頂后就立刻下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的1.5 倍，而且甲比乙速度快；兩人動身后1 小時，甲與乙在離山

17、頂600 米處相遇，當乙到達山頂時，甲恰好到半山腰；那么甲回到動身點共用多少小時？【解析】 甲假如用下山速度上山， 乙到達山頂時， 甲走過的路程應當是一個單程的1×1.5+1/2=2倍，就是說甲下山的速度是乙上山速度的2 倍； 兩人相遇時走了1 小時，這時甲仍要走一段下山路， 這段下山路乙上山用了1 小時，所以甲下山要用1/2 小時； 甲一共走了1+1/2=1.5 （小時）【例 11】 小華以每小時 8/3 千米的速度登山，走到途中a 點后，他將速度改為每小時2 千米，在接下來的 1 小時中，他走到山頂，又立刻下山，并走到a 點上方500 米的地方假如他下山的速度是每小時 4 千米，

18、下山比上山少用了52.5 分鐘那么，他來回共走了多少千米？【解析】 11 千米【例 12】 （難度等級 ）甲，乙兩車從a ， b 兩地同時動身相向而行，5 小時相遇；假如乙車提前 1 小時動身， 就差 13 千米到中點時與甲車相遇， 假如甲車提前1 小時動身， 就過中點 37 千米后與乙車相遇，那么甲車與乙車的速度差等于多少千米/小時？【解析】 第一次行程甲，乙兩車同時動身，所以兩車走的時間相同；其次次乙車提前1 小時動身，所以這次乙車比甲車多走了1 小時；第三次甲車提前1 小時動身， 所以這次甲車比乙車多走了1 小時那么假如把其次次和第三次這兩次行程相加，那么甲車和乙車所走的時間就相同了，而

19、所走的路程為 2 個全程由于兩人合走一個全程要5 小時，所以合走兩個全程要10 小時由于第二次在乙車在差13 千米到中點與甲車相遇，所以此次甲車走了全程的一半加上13 千米；第三次在過中點37 千米后與乙車相遇，所以此次甲車走了全程的一半加上37 千米；這兩次合起來甲車走了一個全程加上13 37 =50 千米，所以乙車走了一個全程少50 千米，甲車比乙車多走50×2 =100 千米而這是在10 小時內(nèi)完成的，所以甲車與乙車的速度差為100÷10 =10 千米 /時【例 13】 甲，乙兩名運動員在周長400 米的環(huán)形跑道上進行10000 米長跑競賽，兩人從同一起跑線同時起跑，

20、甲每分鐘跑400 米，乙每分鐘跑360 米，當甲比乙領先整整一圈時，兩人同時加速，乙3-2-6.變速問題 . 題庫page 12 of 15老師版的速度比原先快 14兩人誰先到達終點？，甲每分鐘比原先多跑18 米，并且都以這樣的速度保持到終點問：甲，乙【解析】 從 起跑到甲比乙領先一圈，所經(jīng)過的時間為40040036010 (分鐘 )甲到達終點仍需要跑1000040010400181000036010360114 74209(分鐘)，乙仍需要跑114 2 ( 分鐘)，由于 274，所以乙先到達終點499209|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 14】 環(huán)形場地的周長為

21、1800 米，甲，乙兩人同時從同一地點動身相背而行(甲速大于乙速 )， 12分鐘后相遇假如每人每分鐘多走25 米，就相遇點與前次相差33 米，求原先二人的速度【解析】 甲，乙原先的速度和為： 180012150 (米/分)，假如每人每分鐘多走25 米，現(xiàn)在的速度之和為：150252200 (米/分)，現(xiàn)在相遇需要的時間為：18002009 (分鐘)題目中說相遇點與前次相差 33 米，但并不知道兩者的位置關系，所以需要先確定兩次相遇點的位置關系由于以原先的速度走一圈，甲比乙多走的路程為每分鐘甲比乙多走的路程12 ；提速后走一圈，甲比乙多走的路程為每分鐘甲比乙多走的路程9 ；故提速后走一圈與以原先

22、速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即為兩次相遇點的距離33 米所以現(xiàn)在問題轉化為：甲以原速度走12 分鐘走到某一處，現(xiàn)在甲以比原速度提高25 米/ 分的速度走 9 分鐘，走到距離前一處仍有33 米的地方， 求甲的速度 所以， 甲原先的速度為：(33259)(129)86 (米/分)，乙原先的速度為： 1508664 (米/分)【例 15】 王剛騎自行車從家到學校去，平常只用20 分鐘；因途中有 2 千米正在修路，只好推車步行，步行速度只有騎車速度的1 ，結果這天用了 36 分鐘才到學校；從王剛家到學校有多少千米？3【解

23、析】 途中有 2 千米在修路， 導致了王剛上學時間比平常多用 36 20 16 分鐘， 由于在別的路段上仍是騎車，所以多用的時間都是耗費在修路的2 千米上由于步行速度是汽車速度的1 ，所以步行23千米所用的時間是騎車2 千米所用時間的 3 倍，多用了2 倍，這個多出來的時間就是16 分鐘，所以騎車 2 千米需要 1628 分鐘由于 8 分鐘可以騎2 千米，而王剛平常騎車20 分鐘可以到學校，所以王剛家與學校的距離為2(208)5 千米【例 16】 甲，乙兩車分別從 a ， b 兩地同時動身，相向而行動身時，甲，乙的速度之比是 5: 4 ，相遇后甲的速度削減 20% ，乙的速度增加 20% 這樣

24、當甲到達 b 地時， 乙離開 a 地仍有 10 千米 那么 a ， b 兩地相距多少千米？【解析】 出 發(fā) 時 ， 兩 車 的 速 度 之 比 為 5: 4 ， 所 以 相 遇 以 后 兩 輛 車 的 速 度 之 比 為5120% : 4120%5: 6 ，而相遇前甲，乙兩車的行程路程之比為5: 4 ，所以相遇后兩輛車仍需要行駛的路程之比為4 : 5 ，所以甲仍需要行駛全部路程的49，當甲行駛這段路程的同時，乙行駛了全程的4568，距離 a 地仍有 14811，所以 a ， b 兩地相距 10450千米9159154545【例 17】 甲，乙來回于相距 1000 米的 a ， b 兩地甲先從

25、a 地動身， 6 分鐘后乙也從 a 地動身，并在距a 地 600 米的 c 地追上甲乙到 b 地后立刻原速向 a 地返回，甲到 b 地休息 1分鐘后加快速度向 a 地返回，并在 c 地追上乙問：甲比乙提前多少分鐘回到 a 地？【解析】 由于甲比乙早動身 6 分鐘，乙在走了 600 米時追上甲，可見乙走 600 米比甲要少用 6 分鐘，那么對于剩下的 400 米，乙比甲要少用40064 (分鐘 )，也就是說乙比甲早4 分鐘到達 b 地那么600乙從 b 地動身比甲早 415 (分鐘 )，走到 c 地被甲追上，相當于甲走400 米比乙少用5 分鐘，那么對于剩下的600 米，甲比乙要少用60057.

26、5 (分鐘 )所以甲比乙提前 7.5 分鐘回到 a 地400|精.|品.【例 18】 一輛大貨車與一輛小轎車同時從甲地開往乙地，小轎車到達乙地后立刻返回，返回時速度提高50% ；動身 2 小時后， 小轎車與大貨車第一次相遇，當大貨車到達乙地時， 小轎車剛好走到甲，乙兩地的中點；小轎車在甲，乙兩地來回一次需要多少時間？【解析】 此題的關鍵是分析清晰題目中所提到的小轎車返回時速度提高50% 所帶來的變化， 所以可以先假設小轎車返回時速度不發(fā)生變化會是什么樣，然后再進行對比分析假如小轎車返回時速度不提11|可.|編.|輯.|學.|習.高，那么大貨車到達乙地時，小轎車又走了甲，乙兩地距離的(150%)

27、23，所以，從甲地到|資.|料.乙地小轎車與大貨車的速度比為：(11) :14 : 3 ，小轎車到達乙地時，大貨車走了全程的3 ，34仍差 14小轎車從乙地返回甲地時，與大貨車的速度比為4(150%) :32:1 ，小轎車從乙地返回到與大貨車相遇時，大貨車又走了全程的11141212，即相遇時大貨車共走了全程的315，那么大貨車從甲地到乙地需要51212392小時，小轎車從甲地到乙地需要小412665545時，小轎車來回一次需要99(150%)3 小時55【例 19】 甲，乙兩地間平路占1 ，由甲地去往乙地，上山路千米數(shù)是下山路千米數(shù)的2，一輛汽車從甲53地到乙地共行了10 小時， 已知這輛車

28、行上山路的速度比平路慢20% ，行下山路的速度比平路快20% ，照這樣運算，汽車從乙地回到甲地要行多長時間？【解析】 依據(jù)題意，可以把甲，乙兩地之間的距離看作25，這樣兩地間的平路為5，從甲地去往乙地，上山路為 202238 ，下山路為 2032312 ；再假設這輛車在平路上的速度為5，就上山時的速度為 4，下山時的速度為 6，于是，由甲地去乙地所用的總時間為：84551265 ；從乙地回到甲地時，汽車上山，下山的速度不變，但是原先的上山路變成了此時的下山路，原先的下山路變成了此時的上山路，所以回來時所用的總時間為：12455865 1 由于從甲3地到乙地共行了10 小時，所以從乙地回來時需要

29、1055110 2小時33【例 20】 甲，乙二人在同一條圓形跑道上作特別訓練：他們同時從同一地動身，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達動身點后立刻回頭加速跑其次圈，跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的23甲跑其次圈的速度比第一圈提高了1 ，乙跑其次圈的速度提高了1 ，已知沿跑道看從甲，乙兩人第35二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是190 米，問這條跑道長多少米？【解析】 從起跑由于跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的23，所以第一次相遇的地方在距起點253(或者) 5處由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈時，乙跑了23圈，此時乙距動身點仍有 1 圈，依據(jù)題意， 此時甲要回頭加速跑，

30、即此時甲與乙方向相同，速度為乙的3112233倍所以乙跑完剩下的1 圈時甲又跑了 2 圈，此時甲距動身點仍有1 圈，而乙又要回頭跑，所以3此時兩人相向而行，速度比為311:21135 : 3 ，所以兩人其次次相遇點距離動身點|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.1313538，兩次相遇點間隔3352121，留意到 15840211921404040，所以最短距離為19 圈，所40以跑道長1901940400 米【例 21】 甲，乙兩人沿 400 米環(huán)形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去相遇后甲比原先速度增加 4 米秒，乙比原先速度削減4 米秒，結果都用25 秒

31、同時回到原地求甲原先的速度【解析】 由于相遇前后甲，乙的速度和沒有轉變，假如相遇后兩人合跑一圈用25 秒，就相遇前兩人合跑一圈也用 25 秒( 法 1)甲以原速 v甲 跑了 25 秒的路程與以v甲4的速度跑了25 秒的路程之和等于400 米，25v甲25 v甲4400 ，解得 v甲6 米/秒( 法 2) 由跑同樣一段路程所用的時間一樣，得到v甲4v乙 ，即二者速度差為4；而二者速度和為vv40016 ，這是個典型的和差問題可得v為： 16426 米/秒甲乙甲25【鞏固】從a 村到 b 村必需經(jīng)過 c 村，其中 a 村至 c 村為上坡路，c 村至 b 村為下坡路， a 村至 b 村的總路程為 2

32、0 千米某人騎自行車從a 村到 b 村用了 2 小時，再從 b 村返回 a 村又用了 1小時 45 分 已知自行車上， 下坡時的速度分別保持不變，而且下坡時的速度是上坡時速度的2 倍求 a ，c 之間的路程及自行車上坡時的速度【解析】 設 a ，c 之間的路程為x 千米， 自行車上坡速度為每小時y 千米， 就 c ，b 之間的路程為 (20x)千米，自行車下坡速度為每小時2 y 千米依題意得：x20x2y2 y20xx13 y2 y4，兩式相加，得：202021 3 ，解得 y8 ；代入得 x12 故 a ， c 之間的路程為 12 千米，自行車上坡時的y2 y4速度為每小時 8 千米【例 2

33、2】 （ 2021 年“奧數(shù)網(wǎng)杯 ”六年級）歡歡和貝貝是同班同學，并且住在同一棟樓里早晨7: 40 ，歡歡從家動身騎車去學校，7: 46 追上了始終勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學校的 通知，歡歡立刻調(diào)頭，并將速度提高到原先的2 倍，回家換好校服，再趕往學校；歡歡8:00 趕到學校時，貝貝也恰好到學校假如歡歡在家換校服用去6 分鐘且調(diào)頭時間不計，那么貝貝從家里動身時是點分【解析】 歡歡從動身到追上貝貝用了6 分鐘，那么她調(diào)頭后速度提高到原先的2 倍，回到家所用的時間為3 分鐘，換衣服用時6 分鐘，所以她再從家里動身到到達學校用了206365 分鐘，故她以原速度到達學校需要10 分鐘，

34、最開頭她追上貝貝用了6 分鐘，仍剩下 4 分鐘的路程，而這4 分鐘的路程貝貝走了14 分鐘， 所以歡歡的6 分鐘路程貝貝要走 146421分鐘， 也就是說歡歡|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.追上貝貝時貝貝已走了 21 分鐘，所以貝貝是 7 點 25 分動身的【例 23】 甲，乙兩人都要從 a 地到 b 地去，甲騎自行車，乙步行，速度為每分鐘 60 米乙比甲早動身20 分鐘，甲在距 a 地 1920 米的 c 處追上乙，兩人連續(xù)向前，甲發(fā)覺自己忘帶東西，于是將速度提高到原先的 1.5 倍，立刻返回 a 地去取，并在距離 c 處 720 米的 d 處遇上乙 甲到達 a 地后在

35、 a 地停留了 5 分鐘，再以停留前的速度騎往 b 地，結果甲，乙兩人同時到達 b 地 a ， b 兩地之間的距離是米【解析】 乙 從 a 地到 c 處所用時間為 1920 60 32 分鐘，甲用的時間為 32 20 12 分鐘，甲的速度為1920 12 160 米/分鐘，速度提高后為 160 1.5 240 米/分鐘甲從 d 處回到 a 地并停留 5 分鐘， 共 用 時 間 1920 720 240 5 16 分 鐘 ， 此 時 乙 又 走 了 60 16 960 米 ， 兩 人 的 距 離 為1920 720 960 3600 米，此時相當于追及問題， 追準時間為 3600 240 60

36、20 分鐘，所以 a ，b 兩地之間的距離為 240 20 4800 米【例 24】 小芳從家到學校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路小芳上學走這兩條路所用的時間一樣多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 設小芳上學路上所用時間為2 ，那么走一半平路所需時間是1 由于下坡路與一半平路的長度相同，依據(jù)路程肯定，時間比等于速度的反比，走下坡路所需時間是11.65，因此，走上坡路需8要的時間是 2513 ，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時間的反比，為1:1 38:11 ，888所以，上坡速度是平路速度的8 倍11【例 25】 （

37、 2003 年“祖沖之杯 ”學校數(shù)學邀請賽）某校在400 米環(huán)形跑道上進行1 萬米競賽，甲，乙兩名運動員同時起跑后，乙的速度始終保持不變，開頭時甲比乙慢，在第15 分鐘時甲加快速度，并保持這個速度不變，在第18 分鐘時甲追上乙并且開頭超過乙；在第23 分鐘時甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒時甲到達終點；那么，乙跑完全程所用的時間是多少分鐘？【解析】 此題中乙的速度始終保持不變，甲就有提速的情形，但是甲提速后速度就保持不變，所以可以從甲提速后的情形著手進行考慮依據(jù)題意可知，甲加速后，每過23185 （分鐘）比乙多跑一圈，即每分鐘比乙多跑400580 （米）由于第 18 分鐘時甲，乙處于同一

38、位置，就在23 分 50秒 時 甲 到 達 終 點時 ， 乙 距 終 點 的距 離 就 是 此 時 甲 ， 乙 之 間 的 距 離 ， 即 乙 距 離 終 點 仍有8023 50181400 （米），即乙在 23 分 50 秒內(nèi)跑了100001400米，由于乙的速度始終保6033持不變，所以乙每分鐘跑10000140023 50400 （米）所以，乙跑完全程需要1000040025 （分鐘）360|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 26】 （ 2003 年迎春杯）甲，乙兩人同時同地同向動身，沿環(huán)形跑道勻速跑步假如動身時乙的速度是甲的 2.5 倍，當乙第一次追上甲時，甲的

39、速度立刻提高25% ，而乙的速度立刻削減20% ，并且乙第一次追上甲的地點與其次次追上甲的地點相距100 米，那么這條環(huán)形跑道的周長是米acb【解析】 如圖，設跑道周長為1，動身時甲速為 2，就乙速為 5假設甲，乙從a 點同時動身，按逆時針方向 跑 由 于出 發(fā) 時兩 者的 速度比 為 2 : 5 ， 乙 追上 甲要 比 甲多 跑 1圈， 所以 此 時 甲跑了1(52)22 ，乙跑了 5 ；此時雙方速度發(fā)生變化，甲的速度變?yōu)?(125%)2.5 ，乙的速33度變?yōu)?5(120%)4 ，此時兩者的速度比為2.5: 45:8 ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，就此次甲跑了1(85)55 ，這個

40、 5 就是甲從第一次相遇點跑到其次次相遇點的路程從33環(huán)形跑道上來看，第一次相遇點跑到其次次相遇點之間的距離，既可能是512個周長，又可能是 23351 個周長33那么，這條環(huán)形跑道的周長可能為1002 31150 米或 1003300 米【例 27】 如下列圖， 甲，乙兩人從長為 400 米的圓形跑道的 a 點背向動身跑步； 跑道右半部分 (粗線部分） 道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲，乙速度均為每秒8 米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒4 米；兩人始終跑下去，問：他們第99 次迎面相遇的地方距a 點仍有米；a【解析】 此題中，由于甲，乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速

41、度都相同，可以發(fā)覺，假如甲，乙各自圍著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間也就相同，所以，兩人同時動身，跑一圈后同時回到 a 點，即兩人在 a 點迎面相遇，然后再從 a點動身背向而行，可以發(fā)覺，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期在第一個周期內(nèi)，兩人同時動身背行而行，所以在回到動身點前確定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到動身點是其次次迎面相遇；然后再動身，又在同一個相遇點第三次相遇，再回到動身點是第四次相遇 可見奇數(shù)次相遇點都是途中相遇的地點，偶數(shù)次相遇點都是a 點此題要求的是第99 次迎面相遇的地點與a 點的距離，實際上要求的是第

42、一次相遇點與a 點的距離對于第一次相遇點的位置，需要分段進行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從動身到跑完正常道路時，乙才跑了 20084100 米，此時兩人相距100 米，且之間全是泥濘道路，此時兩人速度相同，所以再各跑50 米可以相遇所以第一次相遇時乙跑了10050150 米，這就是第一次相遇點與 a 點的距離，也是第99 次迎面相遇的地點與a 點的距離|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 28】 （ 2021 年第七屆 “走進精妙的數(shù)學花園 ”初賽六年級）丁丁和樂樂各拿了一輛玩具甲蟲在400 米跑道上進行競賽，丁丁的玩具甲蟲每分鐘跑30 米，樂樂的玩具甲蟲每分

43、鐘跑20 米，但樂樂帶了一個神奇遙控器，按第一次會使丁丁的玩具甲蟲以原先速度的10% 倒退 1 分鐘，按其次次會使丁丁的玩具甲蟲以原先速度的20% 倒退 1 分鐘，以此類推，按第n 次，使丁丁的玩具甲蟲以原先的速度的 n10% 倒退 1 分鐘，然后再按原先的速度連續(xù)前進，假如樂樂在競賽中最終獲勝，他最少按次遙控器；【解析】 樂樂的玩具甲蟲跑完全程需要4002020 分鐘，丁丁的玩具甲蟲跑完全程需要4003040 分3鐘，樂樂要想取勝，就必需使丁丁的玩具甲蟲因倒退所耽擱的總時間超過20402033分鐘樂樂第一次按遙控器后，丁丁耽擱的時間為倒退的1 分鐘及跑完這 1 分鐘倒退路程所花費的時間， 為

44、 110%11.1 分鐘； 樂樂其次次按遙控器后，丁丁耽擱的時間為 120%11.2 分鐘； 樂樂 第 n 次 按 遙 控 器 后 ， 丁 丁 耽 誤 的 時 間 為 1n10%110.1n 分 鐘 所 以 相 當 于 要 使1.11.21.3l大于206 2，由于1.11.21.31.41.56.56 2，而331.11.21.31.41.51.68.16 233，所以樂樂要想取勝，至少要按6 次遙控器【例 29】 唐老鴨和米老鼠進行5000 米賽跑 米老鼠的速度是每分鐘125 米，唐老鴨的速度是每分鐘100米 唐老鴨有一種能使米老鼠停止或減速的遙控器，每次使用都能使米老鼠進入“麻痹 ”狀態(tài)

45、 1 分鐘， 1 分鐘后米老鼠就會復原正常，遙控器需要 1 分鐘復原能量才能再使用米老鼠對 “麻痹 ” 狀態(tài)也在逐步適應，第1 次進入 “麻痹 ”狀態(tài)時，米老鼠會完全停止，米老鼠第2 次進入 “麻痹 ” 狀態(tài)時，就會有原速度5% 的速度，而第 3 次就有原速度 10% 的速度 ，第 20 次進入 “麻痹 ” 狀態(tài)時已有原速度 95% 的速度了，這以后米老鼠就再也不會被唐老鴨的遙控器所掌握了唐老鴨與米老鼠同時動身，假如唐老鴨要保證不敗，它最晚要在米老鼠跑了多少米的時候第一次使用遙控器 .【解析】 500012540 (分鐘 )， 500010050 (分鐘 )，所以米老鼠正常情形下要40 分鐘跑

46、完全程，唐老鴨要 50 分鐘跑完全程如唐老鴨使米老鼠麻痹20 次，由于 5%10%l95%9.5 ，就在這麻痹的 20 分鐘內(nèi)，米老鼠實際跑的路程為正常狀態(tài)下9.5 分鐘跑的路程這樣，米老鼠一共需要409.52050.5 分鐘才能到達終點由于唐老鴨只需要50 分鐘，所以如使唐老鴨保持不敗， 并不需要使米老鼠麻痹20 次，即可以盡量晚的第一次使用遙控器依據(jù)題意，第20 次使用可以使米老鼠多缺失 0.05 分鐘，第 19 次使用可以使米老鼠多缺失0.1 分鐘，第 18 次使用可以使米老鼠 多 損 失 0.15 分 鐘 ， 第 17次 使 用 可 以 使 米 老 鼠 多 損 失 0.2 分 鐘 ，

47、總 計 正 好 是0.050.10.150.20.5 分鐘所以只需要使米老鼠麻痹16 次，唐老鴨就能保持不敗這樣米老鼠也要 50 分鐘由于仍要留出15 分鐘的遙控器復原能量的時間，所以第一次使用遙控器的時候后面剩下的時間不能少于161531分鐘， 此時米老鼠已經(jīng)跑出了 125(5031)2375 (米)，所以唐老鴨最晚要在米老鼠跑了2375 米的時候第一次使用遙控器【例 30】 小周開車前往某會議中心，動身20 分鐘后，由于交通堵塞，中途延誤了20 分鐘，為了按時到達會議中心，小周將車速提高了25% ，小周從動身時算起到達會議中心共用了多少分鐘？【解析】 將車速提高 25% 后，前，后兩種情形

48、下車速的比為1: (125%)4:5 ，那么所用的時間的比為5: 4 ，由此省出的時間就是堵車耽擱的20 分鐘， 所以這段路程原先需要開20(54)5100 分鐘， 再加上開頭的 20 分鐘，可知小周從動身時算起到達會議中心共用了20100120 分鐘|精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.【例 31】 （ 2021 年清華附中入學測試題）如圖，甲，乙分別從a ， c 兩地同時動身，勻速相向而行，他們的速度之比為 5: 4 ，相遇于 b 地后， 甲連續(xù)以原先的速度向c 地前進， 而乙就立刻調(diào)頭返回，并且乙的速度比相遇前降低1 ，這樣當乙回到c 地時，甲恰好到達離c 地 18 千米

49、的 d 處，那么5a ， c 兩地之間的距離是千米；abcd【解析】 由于甲，乙的速度之比為5: 4 ，所以，ab : bc5: 4 ，乙調(diào)頭后的速度為原先速度的45，所以乙調(diào) 頭 后 兩 人 速 度 之 比 為5: (44)25:165， 而 乙 回 到 c 地 時 甲 恰 好 到 達 d 處 ， 所 以bd : bc25:16 ，即bc16 cd ，就9ac9 bc44cd72 （千米），即 a ， c 兩地之間的距離為 72 千米【例 32】 甲，乙兩車分別從 a ， b 兩地同時動身相向而行，甲車速度為32 千米/時，乙車速度為 48 千米1/時，它們到達 b 地和 a 地后，甲車速度

50、提高4，乙車速度削減 16，它們第一次相遇地點與其次次相遇地點相距 74 千米，那么 a ， b 之間的距離是多少千米？【解析】 開頭時兩車速度比為32: 482:3 ，所以第一次相遇是在距b 地全程的 3 處；當乙車到達 a地時，5甲車離 b 地仍有全程的1 ，此時乙車速度削減 1 ，變?yōu)樵鹊?5 ，兩車速度比為 2 : (35)4 : 5 ，3666那么當甲車走完剩下的1 時，乙車已經(jīng)往回走了15557，此時兩車相距全程的1這334121212時甲車速度提高 1，兩車速度比變?yōu)?(45) : 51:1 ，所以兩車再各走727即相遇 即其次4次相遇點距離b 地全程的 7244所以 a ， b 之間的距離為122474(37 )240 千米524【例 33】 (2021 年日本第 12 屆學校算術奧林匹克初賽 )上