1、專題 4 多邊形（這是邊文，請據需要手工刪加 ） 專題 4 多邊形 學生用書 P123 題型一 三角形的有關概念 n 1 如圖所示，銳角三角形有（B ） A. 2 個 B . 3 個 C . 4 個 D . 5 個 【解析】 先找岀以 A 為頂點的銳角三角形的個數，再找岀以 E 為頂點的銳角三角形的個 數以 A 為頂點的銳角三角形有 ABC、 ADC 共 2 個；以 E 為頂點的銳角三角形有 EDC , 共1 個所以圖中銳角三角形的個數為 2 + 1 = 3（個）. 【點悟】 數三角形的個數，可以按照數線段條數的方法，如果一條線段上有 【變式跟進】 1.下列說法中，正確的有 （A ） 由三條線

2、段組成的圖形是三角形； 三角形的角平分線是一條射線； 連結兩邊中點的線段是三角形的中線; 三角形的高一定在其內部. A. 0 個 B . 1 個 C . 2 個 D . 3 個 n 個點，那么 就有 n (n 1) 2 條線段，可以與線段外的一點組成 n (n 1) 2 個三角形. 2 . 2018 春 九江期末如圖， ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線, 中線.若厶 ABC 的面積是 24，則 ABE 的面積是 6 . 1 【解析】 TAD 是 BC 邊上的中線， & ABD= SA ACD = 2SA ABC.T BE 是厶 ABD 中 AD 邊上的中 、 11 1 線，- S

3、 ABE= SABED = 2SAABD , - SAABE = ”SA ABC. TA ABC 的面積是 24, - SAABE = 4 X 24 = 6. 題型二 三角形的三邊關系 n 2 2018 白銀已知 a、b、c 是厶 ABC 的三邊長，a、b 滿足|a 7| + (b 1)2= 0, c 為奇 數，貝 U c= _7_. 【解析】/ |a 7| + (b 1)2= 0， a 7= 0，b 1 = 0，即卩 a = 7，b= 1，由三角形兩邊之 和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊得到 7 1v cv 7 + 1，即卩 6v c v 8.又T c 為奇數， c= 7. 【點悟】 已知三

4、角形的兩邊長，可根據三邊關系確定第三邊的取值范圍：另外兩邊之差的 絕對值 第三邊的長 ?(AB + AC). 證明：/ BD + AD AB，CD + AD AC， -BD + AD + CD + AD AB + AC. / AD 是 BC 邊上的中線， BD = CD， BE 是厶 ABD 中 AD 邊上的 AD + BD (AB + AC). 題型三 三角形的內角和與外角和 如圖，AD 是厶 ABC 的高，AE 是厶 ABC 的角平分線，且/ C = 30 Z B= 80. (1)求/ DAE 的度數; 請探究/ DAE 與/ B、/ C 的關系，并說明理由. / BAC = 180 (/

5、 B +/ C)= 180- (80 + 30 ) = 70 , / BAE = 22/ BAC = 70 = 35. 2 2 / AD 丄 BC , / B+ / BAD = 90 / BAD = 90 - / B= 90 - 80 = 10 / DAE = / BAE - / BAD = 35 - 10 = 25. 1 (2)/ DAE = 2(/ B- / C). 理由：由(1)可知/ DAE = / BAE - / BAD , 1 / BAE = / BAC , / BAD = 90 / B, 1 1 1 / DAE = / BAC - (90 -/ B)=刃 80 / B- / C)

6、 - (90 / B) = ?(/ B - / C). 【點悟】(1) “三角形的內角和等于 180與“三角形的一個外角等于和它不相鄰兩個內角 的和”是解決三角形的角度計算的基本依據； (2)由此題得岀一個重要的結論：從三角形的一個 頂點作高和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角的差的一半. 【變式跟進】 5. 2018 荊門已知直線 a/ b，將一塊含 45。角的直角三角板(/ C= 90 按如圖所示的位置 擺放若/ 1 = 55則/ 2 的度數為(A ) A. 80 B . 70 C. 85 D . 75解: J / BAC + / B+/ C= 180, 6. 2018 春 渝中區

7、校級期末如圖，在 ABC 中，BD為厶ABC 的角平分線，CE為厶ABC 的高，CE 交 BD 于點 F,/ A= 80 / BCA = 50 那么/ BFC 的度數是（B ） A. 110 B. 115 C. 120 D . 125 【解析】 J/A = 80,/BCA = 50 ABC = 50.又 v BD ABC 的角平分線，ABD =25 v CE ABC 的高，/ BEF = 90，/ BFC = / BEF + / ABD = 90 + 25 = 115 7. 2016 啟東期中如圖，在厶 ABC 中，高為 AD，角平分線為 AE.若/ B= 28 / ACD = 52 求/ E

8、AD 的度數. 解：在厶 ABC 中，v/ ACD = / B +/ BAC， / BAC = 52 28 = 24. v AE 平分 / BAC， 1 / BAE =-/ BAC = 12 2 / AED = / B + / BAE = 28 + 12 = 40. v AD 為高， / ADE = 90 / EAD = 90 / AED = 90 40 = 50. 題型四三角形的內（外）角平分線的夾角 14 （1）如圖 1,在厶 ABC 中，0 為/ ABC 和/ ACB 的平分線 BO、CO 的交點試猜想/ BOC 和/ A 的關系，并說明理由； ，第 5 題圖） ,第 6 題圖） 如圖

9、2,若 O 為/ ABC 和外角/ ACE 的平分線 BO、CO 的交點，則/ BOC 與/ A 又有怎 樣的關系？為什么？ 1 解：(1)/ BOC =丄/A+ 90.理由： 2 在厶 BOC 中，/ BOC + / OBC + / OCB = 180 / BO、CO 分別是/ ABC 和/ ACB 的平分線， :丄 ABC = 2/ OBC , / ACB = 2/OCB , 1 1 ：/ BOC + 2/ ABC + 2/ ACB = 180 又在 ABC 中，/ A + / ABC + / ACB = 180 1 ：/ BOC + 2(180 - / A)= 180 1 ：/ BOC

10、= -Z A+ 90. 2 1 (2) / BOC = / A.理由： 由題知，/ A + / ABC = / ACE , / OBC + / BOC = / OCE. / BO、CO 分別是/ ABC 和/ ACE 的平分線， ：/ ABC = 2/ OBC，/ ACE = 2/OCE， 1 1 ：/ BOC = Z OCE-Z OBC = ?(/ ACE - Z ABC) = J A， 即 Z BOC =丄/ A. 2 【點悟】 在厶 ABC 中，如圖 1 中，當 O 是Z ABC 與Z ACB 的平分線 BO 和 CO 的交點時， 1 Z BOC = 90 + 2Z A.如圖 2 中，當

11、 O 是Z ABC 與外角Z ACD 的平分線 BO 和 CO 的交點時，Z BOC 1 -/ A.如圖 3 中，當 O 是外角/ DBC 與外角/ ECB 的平分線 BO 和 CO 的交點時，/ BOC = 90 【變式跟進】 8. 如圖，在厶 ABC 中，/ B= 58。，三角形的外角/ DAC 和/ ACF 的平分線交于點 E,則/ AEC 61 . 解：在 ABC 中，/ B= 62 / C = 38 / BAC = 180 62 38 = 80. / BAC 的平分線交 BC 于點 D , 1 / BAD =寸/ BAC = 40. AE 丄 BC 于點 E, / AEB = 90

12、/ BAE = 90 62 = 28 / EAD = Z BAD Z BAE = 40 28= 12. ,) li ，答圖) 1 【解析】 如答圖，J / EAC =寸/ DAC， 1 1 1 1 / ECA =-/ ACF，丄/ DAC +丄/ACF =-(/ B + 、- 1 1 / 2) + B + / 1) = 2( / B + / B + / 1 + / 2). / B= 58 / B +/ 1 + /2= 180 1 1 / DAC + / ACF = 119 / AEC = =180 9.如圖， 在厶 (1)如圖1, 若/ (2)如圖2， 若點 / C = y x y)， 求/

13、1 1 -g/ DAC + ZACF)= 61. ABC 中，/ BAC 的平分線交 BC 于點 D. B = 62 / C= 38 AE 丄 BC 于點 E，求/ EAD 的度數; F 是 AD延長線上的一BAF、/ BDF 的平分線交于點 G，/ B = x ，圖 1) TZ B = x Z C = y Z BAC = 180 x y . Z BAC 的平分線交 BC 于點 D , 1 1 Z BAD = ?Z DAG = ?(180 x y ). AG 平分 Z BAD， 1 1 Z BAG = Z DAG = Z BAD = 4(180 x y . / DG 平分 Z BDF , 1

14、Z GDF = 2Z BDF. Z BDF = Z BAD +Z B, Z GDF = Z G+Z DAG, 1 1 Z G=丄/ BDF Z DAG = -x 2 2 - 題型五多邊形的內角和與外角和 n 5請根據下面 X 與丫的對話解答下列各小題. X:我和丫都是多邊形，我們倆的內角和相加的結果為 1440 Y: X 的邊數與我的邊數之比為 1 : 3. (1) 求 X 與丫的外角和相加的度數; (2) 分別求岀 X 與丫的邊數； (3) 試求岀丫共有多少條對角線. 解：(1)360 360 720 . 設 X 的邊數為 n, 丫的邊數為 3n. 由題意，得 180(n 2) + 180(

15、3n -2) = 1 440 , 解得 n= 3,貝 U 3n= 9, 故 X 與丫的邊數分別為 3 和 9. 1 (3) 2x 9X (9 3) = 27(條). 故丫共有 27 條對角線. 【點悟】(1)多邊形內角和為(n 2) X 180 (2)多邊形外角和等于 360 (3)從 n 邊形的一個 頂點岀發，能引(n 3)條對角線. 【變式跟進】 10. 若一個正多邊形的一個外角是 45 則這個正多邊形的邊數是 (C ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 11. 2018 南京如圖，五邊形 ABCDE 是正五邊形若 制則/ 1 / 2= 72 . A .4 f 4J L E r,)

16、 MM ，答圖) 【解析】如答圖，過點 B 作 BF II 1.T五邊形 ABCDE 是正五邊形，ABC = 108 .v BF / 1, 1 I 2，二 BF II 2, / CBF = 180 Z 1，/ ABF = / 2,二 180 Z 1 + / 2= / ABC = 108 , A / 1 / 2= 72. 12.已知一個多邊形的內角和比外角和的 2 倍多 180 ,則這個多邊形的邊數是多少？ 解：設這個多邊形的邊數為 n. 根據題意，得(n 2) 380 = 2 X 360 + 180 , 解得 n= 7. 則這個多邊形的邊數是 7.0 I過關011練 學生用書 P126 1.

17、2018 福建 B 卷下列各組數中，能作為一個三角形三邊邊長的是 （C ） A. 1、1、2 B. 1、2、4 C. 2、3、4 D . 2、3、5 2. 如圖，AC 丄 BC, CD 丄 AB , DE 丄 BC ,垂足分別為點 C、D、E,則下列說法不正確的是 A. AC 是厶 ABC 的高 B . DE 是厶 BCD 的高 C. DE 是厶 ABE 的高 D. AD 是厶 ACD 的高 A. 75 B . 100 C. 105 D. 120 【解析】 由題意可知/ ABC = 45 , =15又J/ BOC 是厶 AOB 的一個外角， =/ BOC= 105 4. 2018 黃石如圖，

18、ABC 中， AD 是 BC 邊上的高， AE、BF 分別是/ BAC、 / 分線， / BAC = 50 / ABC = 60 則/ EAD +/ ACD = ( A )/ DBC = 30, / ABO = / ABC / DBC : / BOC = / ABO + / A = 15 + 90 = 105 45 30 / AOD A. 75 B . 80 C . 85 D . 90 【解析】 根據三角形內角和定理，得 / ACD = 180 (/ BAC +/ABC)= 70 / 1 90。/ ACD = 20 v AE 是/ BAC 的平分線，/-Z CAE = Q/ BAC = 25

19、:丄 EAD = / CAD = 25 20 = 5 ：/ EAD + Z ACD = 5 + 70 = 75. 5. 2018 聊城如果一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，那么這個多邊形的內角 和是 _180 或 360 或 540 _. :這個多邊形的內角和是 180 或 360 或 540 Z CAD = Z CAE 【解如答圖所示, vZ B= 33 ，Z BAC = 83 ， ：Z BEC = Z B + Z BAC = 116 ， ：Z BDC = Z BEC + Z C = 146. 7. 2018 春 海港區期末已知 AE 是厶 ABC 的外角Z CAD 的平分線. (1

20、)若 AE/ BC,如圖 1，試說明Z B = Z C; 若 AE 交 BC 的延長線于點 E,如圖 2,直接寫岀有關Z B、Z ACB、Z AEC 之間關系的等 式. 解：/ AE 是厶 ABC 的外角/ CAD 的平分線, / DAE = Z CAE. 又 TAE/ BC, Z DAE = Z B, Z CAE = Z C, Z B= Z C. (2) Z ACB = Z B + 2Z AEC. 理由：/ AE 是厶 ABC 的外角Z CAD 的平分線， Z DAE = Z CAE , 即 Z DAC = 2Z DAE , TZ DAE 是厶 ABE 的外角， Z DAC 是厶 ABC 的

21、外角， Z DAE = Z B +Z AEC , Z DAC = Z B +Z ACB , Z B+ Z ACB = 2(Z B+ Z AEC), 即 Z ACB = Z B + 2Z AEC. 8. 2018 春 無錫期中如圖，點 C、D 分別在Z AOB 的 OA、OB 邊上運動(不與點 O 重合)射 線 CE 與 射線 DF 分別在Z ACD 和Z CDO 內部，延長 EC 與 DF 交于點 F. (1)若Z AOB = 90 CE、DF 分別是Z ACD 和Z CDO 的平分線，猜想：Z F 的度數是否隨 C、 D 的運動發生變化？請說明理由. 1 1 (2)若Z AOB = a 0v

22、 a v 180), Z ECD = ：Z ACD , Z CDF = ：Z CDO，求Z F.(用含 a、n 的代 數式表示) 解：(1) / F 的度數不變. 理由：/ ACD 是厶 OCD 的外角， :丄 ACD / CDO= / AOB. / CE、DF 分另 I是/ ACD 和/ CDO 的平分線, 1 1 ：/ ECD = -Z ACD , / CDF = -Z CDO. 2 2 / ECD 是厶 CDF 的外角， ：/ F = Z ECD / CDF 1 1 =-Z ACD 丄Z CDO 2 2 1 =2(Z ACD Z CDO) 1 =zZAOB 45 ：Z F 的度數不變.

23、如答圖，TZ ACD 是厶 OCD 的外角， ：Z ACD Z CDO= Z AOB. 1 1 TZ ECD = -Z ACD，Z CDF =丄Z CDO,且 Z ECD 是厶 CDF 的外角, ,) ，備用圖） / F = Z ECD -Z CDF 1 1 =Z ACD 丄Z CDO n n =2(Z ACD Z CDO) =-ZAOB n 9. 2017 諸城期末如圖 1，在 ABC 中，Z ABC 的角平分線與Z ACB 的角平分線交于點 1 D.我們可以得到一個一般性的結論Z BDC = 90。+ 2Z A.請應用這一結論，解決下面的問題. （1）如圖 2，過點 D 任意作直線 MN，分別交 AB 和 AC 于點 M 和 N，求Z MDB +Z NDC 的 度數；（用含Z