1、學習目標1利用正弦、余弦定理解決生產實踐中的有關距離的測量問題2 利用正弦、余弦定理解決生產實踐中的有關高度的測量問題.3利用正弦、余弦定理解決生產實踐中的有關角度的測量問題產知識梳理知識點一有關的幾個術語1方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的角如圖所示的d、也即表示點 A 和點 B 的方位角故方位角的范圍是0 360.2方向角：指以觀測者為中心，指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于 90的水平角，它是方位角的另一種表示形式.如圖，左圖中表示北偏東30右圖中表示南偏西 60.4.視角：觀測者的兩條視線之間的夾角叫做視角_.5 坡角： L3正弦定理、余弦定理的應用（一）自主學習思考30左

2、圖） ,240（右圖） .3.仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時h（tana=了），如圖.上兩圖中的兩個方向,坡面與水平面的夾角叫坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫坡度坡面水半而知識點二解三角形應用題解三角形應用題時，通常都要根據題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解三角形，得到實際問題的解，求解的關鍵是將實際問題轉化為解三角形問題解題思路(2) 基本步驟運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟如下：1分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形)；2建模：根據已知條件與求解目標， 把已知量與待求量盡可能

3、地集中在有關三角形中，建立一個解三角形的數學模型；3求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數學模型的解；4檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解(3) 主要類型詳題型探究重點突破題型一測量距離問題例 1(1)海上 A，B 兩個小島相距 10 海里，從 A 島望 C 島和 B 島成 60的視角，從 B 島望C 島和 A 島成 75 的視角，貝 U B，C 間的距離是 _海里.mJSmJS運算答案 56解析根據題意，如圖所示.在厶 ABC 中，A = 60 B= 75 AB= 10,C = 45.即10BC即上二，2 2(2)在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰場形勢，在兩個

4、相距為-2-的軍事基地 C 和 D測得藍方兩支精銳部隊分別在A 處和 B 處，且/ ADB 30 / BDC 30 / DCA 60/ACB 45如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊之間的距離解/ADC ZADB+ ZCDB60,又/ DCA 60 / DAC 60在厶 BCD 中，ZDBC 45,- BCCD =晝si n 30 sin 45，。C4a.在厶 ABC 中，由余弦定理得AB2 AC2+ BC2 2AC BC os 45 3a2+3a2- 2X-ax嚴4824ax斤器2藍方這兩支精銳部隊之間的距離為卻.反思與感悟 求距離問題時應注意的三點(1)選定或確定所求量所在的三角形若其他量已知，

5、則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2) 確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理(3) 測量兩個不可到達的點之間的距離問題首先把求不可到達的兩點A, B 之間的距離轉化為應用余弦定理求三角形的邊長問題，然后在相關三角形中利用正弦定理計算其他邊跟蹤訓練 1 如圖，A、B 兩點都在河的對岸(不可到達)，若在河岸選取相距 20 米的 C、D 兩點，測得Z由正弦定理可得AB = BCsin C sin A，BC 5 6（海里）.二 AD CD AC a.HBCA 60ZACD 30ZCDB 45ZBDA 60 那么此時 A、B 兩點在厶 ABC 中，由余弦

6、定理得AB = AC2 3 4+ BC2 2ACXBCXcos/ BCA = 10 6（米）. A、B 兩點間的距離為 10 6 米.題型二測量高度問題例 2 如圖所示，A、B 是水平面上的兩個點，相距 800 m，在 A 點測得山頂 C 的仰角為 45, / BAD =120，又在 B 點測得/ ABD = 45,其中 D 點是點 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解 由于 CD 丄平面 ABD, / CAD = 45 所以 CD = AD.2800X亠 得 AD=AB-T-=二=唄屁 D(m).4即山的高度為 800( 3 + 1) m.反思與感悟 在運用正弦定理、 余弦定理解決實際問題時

7、， 通常都根據題意，從實際問題中 抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出實際問題的解和高度有關的問題往往涉及直角三角形的求解 跟蹤訓練 2 (1)甲、乙兩樓相距 a從乙樓底望甲樓頂的仰角為60從甲樓頂望乙樓頂的間的距由正弦定理得AC =20si n（45 + 60 sin180 -（3045+ 6020sin 105 = 20sin 75 =sin 45 = sin 45 =10（1 + 一 3）（米）,BC =sin18020si n 45-60+30+45 20s in 45sin 45o= 20（米）.因此只需在 ABD 中求出 AD 即可，在厶 ABD 中，/ BDA =

8、180 45 120= 15由 AB = AD田 sin 15 =sin 45，俯角為 30則甲、乙兩樓的高分別是 _答案 3a,23a解析甲樓的高為 atan 60 3a,乙樓的高為3a atan 30 = 3a33a=2y3a.(2)如圖，地平面上有一旗桿OP，為了測得它的高度 h,在地面上選兩點 A, B, AB = 20 m，在 A 點處測得 P 點仰角/ OAP = 30在 B 點處 測得 P 點的仰角/ OBP = 45又測得/ AOB= 60求旗桿的高度 h.(結 果保留兩個有效數字)解在 Rt AOP 中，/ OAP = 30 OP = h.在 Rt BOP 中，/ OBP=

9、45 OB = OP = h.tan 45在厶 AOB 中，AB = 20, / AOB = 60 ,由余弦定理得 AB2= OA2+ OB2 2 OA OB cos 60 即 202= ( 3h)2+ h2 2 , 3h h-,解得 h2=400176.4 , h 13 m.4 V 3題型三測量角度問題例 3 如圖，在海岸 A 處發現北偏東 45方向，距 A 處(，3 1)海里的 B 處有一艘走私船在A 處北偏西 75。方向，距 A 處 2 海里的 C 處的我方緝私船奉命以10.3 海里/時的速度追截走私船，此時走私船正以 10 海里/時的速度，從 B 處向北偏東 30方向逃竄 侗：緝私船沿

10、什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間解 設緝私船應沿 CD 方向行駛 t 小時，才能最快截獲(在 D 點)走私船，則 CD= 10,3t, BD=10t,在厶 ABC 中，由余弦定理，有BC2= AB2+ AC2 2AB ACcos A=(3 1)2+ 22 2( 3 1) 2 cos 120 = 6.OA = OP.1 =tan 30 =ABCsin AACsin/ ABC又/ ABC (0 60,/ ABC = 45AB 點在 C 點的正東方向上,緝私船沿北偏東 60的方向行駛又在 BCD 中，/ CBD = 120 / BCD = 30 D = 30 BD = BC ,即 10

11、t = 6. t = 16小時 15 分鐘.緝私船應沿北偏東 60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15 分鐘.反思與感悟航海問題是解三角形應用問題中的一類很重要的問題，解決這類問題一定要搞清方位角，再就是選擇好不動點，然后根據條件，畫出示意圖，轉化為解三角形問題.跟蹤訓練 3 甲船在 A 處觀察到乙船在它的北偏東60方向的 B 處，兩船相距 a n mile，乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的3 倍，問甲船應沿什么方向前進才能最快追上乙船？相遇時乙船行駛了多少n mile?解 如圖所示，設兩船在 C 處相遇，并設/ CAB =0,乙船行駛距離 BC 為 x n mile ,

12、則 AC= 3x,由正弦定理得sin0=BC嚴=1而960, 0=30,/ ACB = 30, BC = AB = a.甲船應沿北偏東 30方向前進才能最快追上乙船，兩船相遇時乙船行駛了a n mile.已當堂抱迴_自查自糾1.一艘船上午 9 : 30 在 A 處，測得燈塔 S 在它的北偏東 30 勺方向，且與它相距 8,2 海里，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午10 : 00 到達 B 處，此時又測得燈塔 S 在它的北偏東75 勺方向，此船的航速是 _ 海里/時.sin / ABC =2前20=返BC62/ CBD = 90 30 120又/ BCD (0 90，/ BCD = 30答案

13、16(6 2)解析 由題意得在三角形 SAB 中，/ BAS= 30/ SBA= 180 75 = 105 / BSA= 45因此此船的航速為8 62= 16( 6 2)(海里/時).22在某測量中，設 A 在 B 的南偏東 347，則 B 在 A 的北偏西 _ .答案 347解析 由方向角的概念，B 在 A 的北偏西 3427 3甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測 20 m 高的旗桿，甲觀測的仰角為 50乙觀測 的仰角為40用 d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么 d1,d2的大小關系是 _答案 d1d2解析 仰角大說明距離小，仰角小說明距離大，即d1d2.4如圖所示，已知兩座

14、燈塔 A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在 觀察站 C的北偏東 40燈塔 B 在觀察站 C 的南偏東 60則燈塔 A 在燈塔 B 的北偏西答案 10解析 由題意可知/ ACB = 180 40 60 = 80 / AC= BC,./ CAB =ZCBA= 50 從而 可知燈塔 A 在燈塔 B 的北偏西 105如圖所示，在坡度一定的山坡 A 處測得山頂上一建筑物 CD 的頂端 C 對于山坡的斜度為 15 向山頂前進 100 m 到達 B 處，又測得 C 對于山坡的斜度為 45 若 CD = 50 m,山坡對 于地平面的坡度為0,則 cos =_答案.3 1由正弦定理得SAsin

15、 105ABsin 45，即 SiMQ =ABsin 45得 AB = 8( 6 2),解析在厶 ABC 中，由正弦定理ABsin 30AC sin135， AC = 100 2在厶 ADC 中,AC=CDsin(0+90=sin 15，cos0=sin(+90)=CDCAC sin 156.2012 年 10 月 29 日 颶風“桑迪”襲擊美國東部，如圖，在災區的搜救現場，一條搜救犬從 A 處沿正北方向行進 x m 到達 B 處發現一個生命跡象， 然后向右轉 105,行進 10 m 到達C 處發現另一生命跡象，這時它向右轉135。后繼續前行回到出發點，那么x=_ m.答案吟6解析 由題意/

16、CBA = 75 / BCA = 45/ BAC = 180 75- 45 = 60 .x 10.1 砸sin 45 =sin 60X=3(m)課堂小結-11正弦、余弦定理在實際測量中的應用的一般步驟：(1) 分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2) 建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解三角形的數學模型；(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解；(4) 檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解2解三角形應用題常見的兩種情況(1) 實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2) 實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解有足夠條件的三角形， 然后逐步求出其他三角形中的解，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解3.測量距離問題包括兩種情況(1) 測量一個可到達點到另一個不可到達點之間的距離(2) 測量兩個不可到達點之間的距離.第一種情況實際上是已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，用正弦定理即可解決(如圖1)；對于第二種情況