1、第四節第四節 極限運算法則極限運算法則三、求極限方法舉例三、求極限方法舉例一、極限運算法則一、極限運算法則二、復合函數的極限運二、復合函數的極限運算法則算法則定理定理1一、極限四則運算法則一、極限四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf 設設. 0,)()(lim)3( BBAxgxf其中其中;)()(lim)2(BAxgxf ;)()(lim)1( BAxgxf 則則).(lim)(lim, , )(lim 1 xfcxcfcxf 則則為常數為常數而而存在存在如果如果推論推論常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(lim 2 nnxfxfn

2、xf 則則是正整數是正整數而而存在存在如果如果推論推論 定理定理2,lim ,lim . ByAxyxnnnnnn 和和有數列有數列設設.lim0), 2 , 1(0)3(BAyxBnynnnn 時，時，且且當當;)(lim)1( BAyxnnn 那末那末;lim)2( BAyxnnn 二、復合函數的極限運算法則二、復合函數的極限運算法則定理定理3.)(lim)(lim ,)(lim,)( ),( ,)(lim 00100AufxfAufaxxUxaxauxxauoxx 則則又又內內的某去心鄰域的某去心鄰域但在但在若若.531lim 1232 xxxx求求例例解解)53(lim22 xxx 5

3、lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 3 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 三、求極限方法舉例三、求極限方法舉例小結小結則有則有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf )lim()lim()(lim110000nnxxnxxxxaxaxaxf nnnaxaxa 10100).(0 xf 則有則有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf . , 0

4、)(0則則商商的的法法則則不不能能應應用用若若 xQ解解22112 lim.23xxxx例求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時xx-1.先約去不為零的因子后再求極限)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 解解132 lim.1xxx例3 求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x1.x先約去不為零的因子后再求極限1132(32)(32)limlim1(32)(1)xxxxxxxx11lim32 xx1.4 011 lim1.12xxx 解解011 lim.xxx練習 求0011( 11)( 11)limlim

5、( 11)xxxxxxxx01lim11xx 1.2011 lim1.1nxxxn一般地.147532lim 42323 xxxxx求求例例解解. ,分分母母的的極極限限都都是是無無窮窮大大分分子子時時 x. , , 3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x 147532lim2323xxxxx.72 33147532limxxxxx .147532lim 5232 xxxxx求求例例. ,分分母母的的極極限限都都是是無無窮窮大大分分子子時時 x. , , 3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x 147532lim232xxxx

6、x. 0 332147532limxxxxxx .147532lim 62324 xxxxx求求例例. ,分分母母的的極極限限都都是是無無窮窮大大分分子子時時 x. , , 4再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x 147532lim2324xxxxx. 4242147532limxxxxxx 解解小結小結為非負整數時有為非負整數時有和和當當nmba, 0, 000 nnnmmmxbxbxbaxaxa110110lim , 0,00mnmnmnba當當當當當當).21(lim 7222nnnnn 求求例例解解是無窮小之和是無窮小之和時時 , n )21(lim222nnnnn2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.221limnnn 28 lim(34).xxxx例求解解2222(34)(34)lim(34)lim(34)xxxxxxxxxxxxxx 22343 4/limlim(34)( 1 3/4/1)xxxxxxxxx2lim(34)3/2.xxxx).(lim,0, 10,1)( 902xfxxxxxfx 求求設設例例解解 , , 0兩個單側極限為兩個單側極限為是函數的分段點