1、圓的一般方程（一）教學目標：知識與技能：（1） 掌握圓的一般方程及一般方程的特點：（2）.能將圓的一般方程化成圓的標準方程，進而求岀圓心和半徑；（3）.能用待左系數法由已知條件求出圓的方程：（4）.能用轉代法求動點的軌跡方程.過程與方法：（1）進一步培養學生用代數方法研究幾何問題的能力；（2）加深對數形結合思想的理解和加強對待定系數法的運用，認識研究問題中由簡單到復雜，由特殊到一般的化歸思想，強化學生的觀察，思考能力。（3）增強學生應用數學的意識.情感，態度與價值觀：（1）培養學生主動探究知識、合作交流的意識:（2）培養學生勇于思考，探究問題的精神。（3）在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣

2、.（二）教學重點、難點教學重點：（1）圓的一般方程；（2）待定系數法求圓的方程；（3）轉代法求動點的軌跡方程.教學難點：圓的一般方程的應用，待左系數法求圓的方程及對轉代法求軌跡方程的理解.（三）教學過程教學環節教學內容師生互動設計意圖問題1：說岀圓心為（ab）,半徑為r的圓的標準學生共同口答問題2：設疑激趣導方程.對于問題2,先共同口入課題，滲問題2：下列方程表示什么圖形？答方程（1）的答案，對方透從特殊到(1) (-Y -I)2+(y -2)2=4程（2）、（3）、（4）先讓學一般的數學(2) Y+A2 +4y +1 =O生配方，然后個別提問；思想方法.(3) X +y-2f + 4y +5

3、 =0、（2）的共同特征：二(4) Y+y-2Ar + 4y ÷6 二0次項僅有/和尸,還有一次(1) Y+/ -2x -4y +1= 0項和常數項，即形如將方程（I）展開整理成（2）的形式，并總結x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形（1）（2）的圓的非標準方程的共同特征.式.思考：圓的標準方程是否都能化成形如的方程整個探索過程由學生完通過學生對呢？成，教師只做引導，得岀圓的一般方請同學們把圓的標準方程：（x-）2 + （y-b）2圓的一般方程后再啟發學程的探究，=r2 展開，并整理：X2+ y2-2a×-2by + 2 + b2-生歸納.使學生親身r2=0.師生共同總結圓

4、的一體驗知識形令 D = 一2q, E = 一2b, F = 2 + b2 - r2 得好 + 尸 + 處般方程的特點：成的過程，+ EyF = O（1）X2和尸的系數相掌握圓的一探究：反過來，給出一個形如X2+ y2 +Dx+ Ey +同，不等于0.般方程的特F=O的.方程,它表示的曲線一泄是圓嗎？在什沒有矽這樣的二次點，及兀么條件下表示圓？項.二次方程表把 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得（2）圓的一般方程中有三示圓所滿足(x+ D)2 +(V+ E)I - D + E 4f (配方過程224個特定的系數D、E、F,的條件.由學生去完成）這個方程是不是表示圓？因此

5、只要求出這三個系（1）當D2 + E2-4F>0時，方程表示以數，圓的方程就確泄了.（3）與圓的標準方程相比為圓心，亍Jd +£? -4F為半徑的較，它是一種特殊的二元圓：二次方程，代數特征明顯，（2）當D2 + F-4F = O時，方程只有實數圓的標準方程則指出了圓nF解S=，即只表示一個點心坐標與半徑大小，幾何Z D E(-T-T);特征較明顯.（3）當D2 + E2-4F<0時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形.綜上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey+F= 0表示的曲線不一定是圓.只有當D2+ E2- F>0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如X2

6、 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圓的方程稱為圓的一般方程.培養學生主動探究知識、合作交流的意識，滲透數形結 介的數學思想.先留時間讓學生做， 然后學生口答，同時教師 通過課件展示解題步驟例1講完后，學生討論交流，歸納得出 使用待左系數法的一般步 驟：2.根據題設，選擇標準方 程或一般方程.2. 根據條件列出關于a、 b、r或D、E、F的方程組;3. 解出 a、b、r 或 D、E、F,代入標準方程或一般方 程.練習第1題，讓學生口答; 第2題讓學生板演.然后總結：圓的一般方程與圓的標準 方程在應用上的比較(1).若已知圓上三點或兩 點以上求圓的方程,我們 常采用圓的一般方程用

7、待 宦系數法求解.若已知條件涉及圓心 或半徑,我們一般采用圓 的標準方程較簡單.例 1、求過三點 A(0. O), (lt 1), C(42)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐 標.解：設所求的圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = O0)> (lt 1), C(4, 2)在圓上，所 以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入 上而的方程，可以得到關于D、E、F的三元一F = O次方程組，即-f> + E + F + 2 = 04D + 2E÷F + 20 = 0解此方程組，可得：D=-8, F=6, F=O：所求圓的方程為:X2 + y2-8

8、15; + 6y = 0r = l5+E74F =5.2 *得圓心坐標為(4, -3).或將X2 + y2 - 3x+ 6y = 0左邊配方化為圓 的標準方程,(x-4)2+ (y + 3)2 = 25,從而求出 圓的半徑r= 5,圓心坐標為(4, -3).即時練習：1, 求過點A (5, -1),圓心為C (& -3)的圓 的方程2、如圖，等腰梯形ABCD的底邊長分別為6和4,高為3,求這 Q J飛 個等腰梯形的外接圓Jt的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑長.思考一：求點M的軌跡方 程的實質是什么？思考二：題目中涉及幾個 動點？它們是如何運動變 化的？思考三：在這一運動過程 中，點與

9、點之間不變的關 系是什么？能否用坐標來 表示這種關系？思考四：點A運動的軌跡 是什么？能否借助點A的 軌跡方程得到點M的軌跡 方程？最后師生共同總結轉代法 求動點軌跡方程的步驟：(1) 設被動點M (x, y),主動點A (Xo/ Yo):(2) 求出點M與點A坐 標間的關系，并用點M的 坐標表示點A的坐標：(3) 將表示結果代入主動 點A的軌跡方程，化簡得 被動點M的軌跡方程.例2已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓±(x+l)2 + y2 = 4運動，求線段 的中點M的軌跡方程.解：設點M的坐標是(x, y),點A的坐標 是(xo, y。)由于點3的坐標是(4, 3

10、)且M是線段 AB中重點，所以于是有 ×o = 2x-4, y0 = 2y-3因為點4在圓(x + l)2 + y2 = 4上運動，所以點A 的坐標滿足方程(x + 1尸+ y2 = 4,即(Xo + 1)2 + Xo2 = 4把代入，得(2x-4 + l)2 + (2y-3)2 = 4,整理得(JV-I)2 ÷(y-)2=l所以，點M的軌跡是以(二£)為圓心，半2 2徑長為1的圓.課堂小結我 思 W 思:呈 八 n、 FTP, 上-fkx Xt 謝刪酥及< <課后作業3A 3 122 :P組 比 B課下探究議思一發h 養個問多思 培多考題散學情分析圓

11、的一般方程是學生在掌握了求曲線方程一般方法的基礎.上，在學習過圓的標準方程 之后進行研究的，但由于學生學習解析幾何的時間還不長、學習程度較淺，且對坐標法的 運用還不夠熟練，在學習過程中難免會岀現困難另外學生在探究問題的能力，合作交流的 意識等方而有待加強。效果分析根據本節課的內容及學生的實際水平，我采取提出問題引導發現式教學方法，不斷地引導學生積極思考探究，使學生經歷知識發現的過程。教學過程中,我采用點撥的方法,啟發學生通過主動思考、動手操作來達到對知識的“發現”和“接受S進而完成知識的內化，使書本的知識成為自己的知識。課堂不再成為“一 言堂”，學生也不再是教師注入知識的“容器”，通過自己動腦

12、和動手解決了問題,體驗到 成功的快樂和喜悅.總之，在整個教學過程中，我充分利用了學生的“主體”地位，不浪費任何一個促使學 生“自省”的機會，以積極的雙邊活動使學生主動自覺地發現結果、發現規律方法。培養了 學生的觀察分析能力和思維的全而性。達到了教學目標，優化了整個教學過程。教材分析圓的一般方程安排在高中數學必修2第四章第一肖第二課時.圓作為常見的簡單幾 何圖形，在實際生活和生產實踐中有著廣泛的應用.圓的一般方程屬于解析幾何學的基礎知 識，是研究二次曲線的開始，對后續直線與圓的位置關系、圓錐曲線等內容的學習，無論在 知識上還是思想方法上都有著深遠的意義,所以本課內容在整個解析幾何中起著承前啟后的

13、 作用.評測練習小試牛刀：1. 圓x2÷y2+4x-6y-3=O的圓心和半徑分別為()A. (4, -6), r=16B. (2, -3) ,r=4C. (-2,3) , r=4D. (2, -3) ,r=42. 如果方程x: + y: + Dx + Ey + F = O (D: + E:-4F>0)所表示的曲線關于y = x對稱，則必有()A D=EB. D二FC. F=E D. D=E=F3. U.知 X, y 滿足 x2+y2+4-6y-3=0,則 x'+y” 的最大值為-4. x2+y2-2x-l=O關于直線2x-y+3=O對稱的圓的方程為5已知線段AB的端點B

14、的坐標是(4,3),端點A在圓(x+l) 2+y2=4上運動，則線段AB 的中點M的軌跡方程是解答題：1. ABC的三個頂點坐標分別為A (-1,5), B (-2, -2), C (5,5),求其外接圓的方程.2經過圓x3+yM=O上任一點P做X軸的垂線，垂直為Q,求線段PQ的中點的軌跡方程.課后反思數學教學是數學思維活動的教學，教師應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與 和行為的參與，授課過程中教師應鼓勵學生通過主動探索與合作交流，去發現知識和規律, 使他們經歷知識的形成過程。基于這一理念，我在設汁本課時，通過創設問題情境，不斷地 提出問題，然后讓學生解決問題，引導學生展示思維過程，促進學生思維最大限度地發展。 在授課過程中不是簡單地包辦代替，而是本著“授人以漁”的教學理念，鼓勵學生積極嘗試， 增強學生解決問題的欲望，培養學生的解決問題的能力。同時通過師生共同歸納總結規律方 法，使學生知識形成系統。整個課堂重視數學