1、排列組合復習穩固1. 分類計數原理加法原理完成一件事，有 n類方法，在第1類方法中有 mi種不同的方法，在第 2類方法中有 m2種不同的方法，在第 n類方法中 有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：Nmi mt Lm*種不同的方法.2. 分步計數原理乘法原理完成一件事，需要分成 n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第 2步有m2種不同的方法，做第 n步有mn種不同 的方法，那么完成這件事共有：Nmi m2 Lmn種不同的方法.3. 分類計數原理分步計數原理區別分類計數原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事

2、件.一. 特殊元素和特殊位置優先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.解：由于末位和首位有特殊要求，應該優先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置 一先排末位共有c3然后排首位共有C：t JJ1最后排其它位置共有A'1C4 3A411C3由分步計數原理得 c4c3a4288練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，假設兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法?二. 相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元

3、素進行排列，同時對相鄰元522素內部進行自排。由分步計數原理可得共有As A2A2480種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素 一起作排列，同時要注意合并元素內部也必須排列.練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為20三. 不相鄰問題插空策略例3. 一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節目不能連續岀場，那么節目的岀場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排 2個相聲和3個獨唱共有 A5種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種A6不同的方法，由分

4、步計數原理，節目的不同順序共有 A：A：種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端練習題：某班新年聯歡會原定的 5個節目已排成節目單， 開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為30四. 定序問題倍縮空位插入策略例4. 7 人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:倍縮法對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素73之間的全排列數，那么共有不同排法種數是：a；/a；空位法設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A；種方法，其余的三個位

5、置甲乙丙共有 丄種坐法，那么共有 A；種方法。思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎？插入法先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？C10五. 重排問題求冪策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名實習生分配到車間有7_種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計數原6理共有7種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一

6、般地n不同的元素沒有限制地安排在 m個位置上的排列數為 mn種練習題：1. 某班新年聯歡會原定的 5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插 法的種數為_42_2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法78六. 環排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A：并從此位置把圓形展成直線其余7人共有(8-1 ) !種排法即7 !CEA-.ABCDEFGHA1一般地,n個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出

7、m個元素作圓形排列共有A：n練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七. 多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有 A2種，再排后4個位置上的特殊元素丙有a4種,其余的5人在5個位置上任意排列有 A：種,那么共有a4a；a：種排 “"后排"一般地,元素分成多排的排列問題，可歸結為一排考慮，再分段研究練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座規定前排中間的 3個座位不能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 34

8、6八. 排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.解：第一步從5個球中選出2個組成復合元共有C；種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有 A：種 方法，根據分步計數原理裝球的方法共有C；A：解決排列組合混合問題，先選后排是最根本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎？練習題：一個班有 6名戰士，其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務，每人完成一種任務，且正副班長有且只有1人參加，那么不同的選法有192種九. 小集團問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5 組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩

9、個偶數夾1, 5在兩個奇數之間，這樣的五位數有多少個？、 2 2 2解：把1 , 5, 2 , 4當作一個小集團與3排隊共有A；種排法，再排小集團內部共有A；A；種排法，由分步計數原理共有a2a；a2 種排法.練習題：1 .方案展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,4幅油畫,5幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水254彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為a2a5a42. 5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有 A；A；a5種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運發動名額，分給 7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差異，把它們排

10、成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額 分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有C6種分法。將n個相同的元素分成 m份(n，m為正整數)，每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個 空隙中，所有分法數為cm,練習題：1. 10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？C；2 . x y z w 100求這個方程組的自然數解的組數G03十一.正難那么反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數，不同的取法有多少種?解：這問題中如果直接求不小于 10

11、的偶數很困難，可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數，所取的三個數含有3個偶數的取法有c|,只含有1個偶數的取法有c5c|,和為偶數的取法共有 c；c； C；。再淘汰和小于10的偶數共9123種，符合條件的取法共有 C5C5 C59有些排列組合問題，正面直接考慮比擬復雜，而它的反面往往比擬簡捷，可以先求岀它的反面，再從整體中淘汰.練習題：我們班里有 43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內的 抽法有多少種？十二.平均分組問題除法策略 例12. 6本不同的書平均分成 3堆，每堆2本共有多少分法？2 2 2解：分三步取書得C6C4C2種方法，但這里出現重復計數的現象，

12、不妨記6本書為ABCDEF假設第一步取 AB,第二步取CD,第三2 2 2步取 EF 該分法記為(AB,CD,EF),那么 C6C4C2 中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有32223A3種取法，而這些分法僅是(AB,CD,EF) 一種分法，故共有C6C4C2 / A3種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以 An (n為均分的組數)防止重復計數。練習題：1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊，有多少分法？ ( c153c84c44/a2)2.10名學生分成3組,

13、其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分組方法 (1540)3. 某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，那么不同的安排方案種數2 2 2 2為( C4C2A6/A2 90)十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞，現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱2 2 112歌人員共有C3C3種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員C5C3C4種，只會唱的5人中只

14、有2人選上唱歌人員有cfc； 種，由分類計數原理共有c；c3c： cfcf種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次 清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習題:1. 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，假設這4人中必須既有男生又有女生，那么不同的選法共有 342. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人，2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們任選2只船或3只船，但小孩不能單獨乘 一只船，這3人共有多少乘船方法.27此題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準 *以3個全能演員是否選

15、上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果十四.構造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞，求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有 C；種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決練習題：某排共有10個座位，假設4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120十五.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5 的五個

16、球和編號1,2,3,4,5 的五個盒子，現將5個球投入這五個盒子內，要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法2解：從5個球中取出2個與盒子對號有 C5種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，那么4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數原 理有2C；種3號盒 4 號盒 5 號盒對于條件比擬復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫岀樹狀圖會收到意想不到的結果 練習題：1. 同一寢室4人每人寫一張賀年卡集中起來，然后每人各拿一張別人的賀年卡，

17、那么四張賀年卡不同的分配方式有多少種？92. 給圖中區域涂色，要求相鄰區 域不同色，現有4種可選顏色，那么不同的著色方法有 72種十六.分解與合成策略 例16. 30030能被多少個不同的偶數整除分析：先把30030分解成質因數的乘積形式 30030=2X 3 X 5 X 7 X 11X 13,依題意可知偶因數必先取 2,再從其余5個因 數中任取假設干個組成乘積，所有的偶因數為：c5c； c； c； cf練習：正方體的8個頂點可連成多少對異面直線4解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共 C812 58 ,每個四面體有3對異面直線，正方體中的8個頂點可連成3 58 174對異面直線分

18、解與合成策略是排列組合問題的一種最根本的解題策略，把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決，然后依據問題分解后的結構，用分類計數原理和分步計數原理將問題合成，從而得到問題的答案，每個比擬復雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17. 25人排成5 X 5方陣,現從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？解:將這個問題退化成9人排成3 X 3方陣,現從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續下去 .從3X 3方隊中選3人的方法有 cQc； 種。再從5X 5方陣選出3X 3方陣便可解決

19、問題.從5 X 5方隊中選取3行3列有 c；c； 選法所以從5 X 5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題練習題：某城市的街區由12個全等的矩形區組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？ ( C； 35)A一 十八.數字排序問題查字典策略例18 .由0, 1, 2, 3, 4, 5六個數字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數？解:N 2A55 2A： A3 A A1297數字排序問題可用查字典法，查字典的法應從高位向低位查，依次求岀其符合要求的個數

20、，根據分類計數原理求岀其總數。練習:用0,1,2,3,4,5這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第71個數是3140十九.樹圖策略例19. 3人相互傳球，由甲開始發球，并作為第一次傳球，經過5次傳求后，球仍回到甲的手中，那么不同的傳球方式有 N 10對于條件比擬復雜的排列組合問題，不易用練習：分別編有1, 2, 3, 4, 5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅(i 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少種？N 44二十.復雜分類問題表格策略例20.有紅、黃、蘭色的球各 5只,分別標有A、B、C、D E五個字母，現從中取5只,要求各字母均有且三色齊備，那么共有多少種 不

21、同的取法解：紅111223黃123121321211:取法c!c1c5c：c：c；clc!cfc"cfc2一些復雜的分類選 滿足的條件，能到達取題，要滿足 刖好的效果.的條件比擬多，尢從人手，經常出現重復遺漏甬的情況 ，用表格法，那么分類明確，能保證題中須二十一：住店法策略解決“允許重復排列問題要注意區分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客，能重復 的元素看作“店，再利用乘法原理直接求解.例21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有分析：因同一學生可以同時奪得 n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店，五項冠軍

22、看作5名“客，每個“客 有7種住宿法，由乘法原理得 75種.排列組合易錯題正誤解析1沒有理解兩個根本原理岀錯排列組合問題基于兩個根本計數原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘是解決排列組合問題的前提.例1從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取 5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺 ，那么不同的取法有 _種.誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有 2種取法.錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機是完成任務的兩“類方法，每類方法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類方法還可以分

23、成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有C62種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有C3種方法，據乘法原理共有 C2 C53種方法.同理，完成第二類方法中有 C3 C2種方法.據加法原理完成 全部的選取過程共有C2 C； C： C350種方法.例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有()種.(A) A：(B) 43( C) 34(D) C：誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有 3 3 3 3 34種.說明：此題還有同學這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四

24、種情況，由乘法原理得43.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不岀是排列還是組合岀錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有 府種方法錯因分析：誤解中沒有考慮 3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法正解：8個小球排好后對應著 8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這33個紅球完全相同，所以

25、沒有順序，是組合問題.這樣共有：C8 56排法.3重復計算岀錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意防止重復計數，產生錯誤。例45本不同的書全局部給 4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為A 480 種B 240 種C 120 種D 96 種誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有A54種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有 4種分法，共有4 A； 480種不同 的分法，選A.錯因分析：設5本書為a、b、c、d、e，四個人為甲、乙、丙、丁 .按照上述分法可能如下的表 1和表2：甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda表表表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d

26、，最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、 丁分得d，最后一本書a給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復了一次正解：首先把5本書轉化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取岀2本捆綁成一本書，有 0,2種方法；第二 步：再把4本書分給4個學生，有 A種方法.由乘法原理，共有 o2 A： 240種方法，應選B.例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有種.A 5040B 12600 210D 630誤解：第一個人先挑選 2天，第二個人再挑選 2天，剩下的3天給第三個人，這三個

27、人再進行全排列.共有：C；Ca3 1260，選B.錯因分析：這里是均勻分組問題.比方：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復計算了.正解:0；0利630 種.1,34遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而岀錯。例6用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的比1000大的奇數共有A 36 個 B 48 個 0 66 個 D 72 個誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因為第1位不能是0，在最后一位取定后只有 3種取法，剩下3個數排中間兩個位置有

28、A種排法，共有2 3 A孑36個.錯因分析：誤解只考慮了四位數的情況，而比1000大的奇數還可能是五位數.正解：任一個五位的奇數都符合要求，共有2 3 A3 36個，再由前面分析四位數個數和五位數個數之和共有72個，選D.5無視題設條件岀錯在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解53例7如圖，一個地區分為 5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，那么不同的著色方法共有 種.以數字作答誤解：先著色第一區域，有 4種方法，剩下3種顏色涂四個區域，即有一種顏色涂相對的 兩塊區域，有C； 2 A； 12種，由乘法原

29、理共有：4 12 48種.錯因分析：沒有看清題設“有 4種顏色可供選擇.不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務.正解：當使用四種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有c3種方法，先著色第一區域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區域，只能是一種顏色涂第2、4區域，另一種顏色涂第 3、5區域，有2種著色方法，由乘法原理有 03 3 224種.綜上共有：48 24 72種.例8ax2 b 0是關于x的一元二次方程，其中a、b 1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的個數誤解：從集合1,2,3,4中任意取兩個元素作為 a、b ,方程有a2 個，當a

30、、b取同一個數時方程有1個，共有 A 1 13個.錯因分析：誤解中沒有注意到題設中：“求解集不同的所以在上述解法中要去掉同解情況，由于a1和a2同解、.b2 b4a 2a 4和同解，故要減去2個。 正解：由分析，共有13 2 11個解集不同的一元二次方程.b 1b 26未考慮特殊情況岀錯在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會岀錯例9現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數是A1024 種B1023 種C1536 種D1535 種誤：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取 2種情況，減去全不取的

31、1種情況，共有21011023種.錯因分析：這里100元面值比擬特殊有兩張，在誤解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有29 3 11535種.7題意的理解偏差岀錯例10現有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有種.A A3 A5 B AsA A C A A D A A：誤解：除了甲、乙、丙三人以外的 5人先排，有 A種排法，5人排好后產生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有a3種方法，這樣共有a? A種排法，選a.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、

32、乙、丙三人不能相鄰的含義，得到的結果是“甲、乙、丙三人互不相鄰.的情況.“甲、 乙、丙三人不能相鄰是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰正解：在8個人全排列的方法數中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數，即民 a6 a?， 應選B.8解題策略的選擇不當岀錯例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，那么不同的分配方案有.A 16 種B 18 種C 37 種D 48 種誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3 4 4 48種方案錯因分析：顯然這里有重復計

33、算 .如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時也去了甲工廠，這與 b班先派去了甲工廠，a班選 擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當作了不一樣的情況，并且這種重復很難排除正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即：4 4 4 3 3 3 37種方案.排列與組合習題1. 6個人分乘兩輛不同的汽車,每輛車最多坐4人，那么不同的乘車方法數為A. 40B . 50C. 60D. 70解析先分組再排列，一組2人一組4人有C2= 15種不同的分法；兩組各10種不同的分法，所以乘車方法數為25X 2= 50，應選 B.2 .有6個座位連成一排，現有36種B . 48種

34、A.3人就坐，那么恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有C . 72 種D . 96 種解析恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人,然后插空，從而共A?A2 = 72種排法，應選3.只用C . 18 個D . 36 個注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選四個數字共有解析1231,1232,1233，而每種選擇有 AX C2= 6種排法，所以共有3 X 6= 18種情況，即這樣的四位數有C = 3種選法，即18個.C.1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有4 .男女學生共有8人，從男

35、生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有A. 2人或3人 B . 3人或4人 C. 3人 D . 4人解析設男生有n人，那么女生有8-n人，由題意可得CnC1-n = 30,解得n= 5或n = 6，代入驗證，可知女生為 2人或3人.5. 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，假設規定從二樓到三樓用8步走完，那么方法有A. 45 種B . 36 種 C. 28 種D. 25 種解析因為10充的余數為2,故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有 2步，那么共有C8= 28種走法.6. 某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩

36、個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，那么不同的分配方案共有A. 24 種B . 36 種 C. 38 種D. 108 種解析此題考查排列組合的綜合應用，據題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C1種分法，然后再分到兩部門去共有 c3a髀方法，第三步只需將其他 3人分成兩組，一 組1人另一組2人即可，由于是每個部門各 4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C1種方法，由分步乘法計數原理共有2C3a2c3= 36種.7. 集合A = 5，B= 1,2，C= 1,

37、3,4，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，那么確定的不同點的個數為A. 33B. 34C. 35D. 36解析所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1的有C2 A3= 12個； 所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1個1的有C2 A3+ a3= 18個； 所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有2個1的有C1= 3個.故共有符合條件的點的個數為12+ 18 + 3= 33個，應選A.8. 由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且 1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是A. 72B. 96 C. 108D. 144解析分兩類：假設1與3相鄰，有A2C3A2A2= 72個，假設1與

38、3不相鄰有A3 a3= 36個 故共有72 + 36= 108個.9. 如果在一周內周一至周日安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續參觀兩天，其余學 校均只參觀一天，那么不同的安排方法有A. 50 種B. 60 種 C. 120 種D. 210 種解析先安排甲學校的參觀時間，一周內兩天連排的方法一共有6種：1,2、2,3、3,4、4,5、5,6、6,7，甲任選一種為視，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學校參觀，安排方法有A辭，按照分步乘法計數原理可知共有不同的安排方法C1 a5= 120種，應選C.10. 安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每

39、人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有種.用數字作答解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有a5= 20種排法，其余5人再進行排列，有 a5= 120種排法，所以共有20X 120=2400種安排方法.11今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這 9個球排成一列有 種不同的排法.用數字作答解析由題意可知，因同色球不加以區分，實際上是一個組合問題，共有C4 C2 C3= 1260種排法.12.將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館效勞，不同的分配方案有 種用數字作答.有A#種c2c2解析先將6名志愿者分為4組

40、，共有CAC"種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共分法，故所有分配方案有：CA乎A4= 1 080種.13要在如下圖的花圃中的5個區域中種入 4種顏色不同的花，要求相鄰區域不同色，有種不同的種法用數字作答.解析5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法.假設1、3同色，2有2種種法，假設1、3不同色，2有1種種法，.有4 X 3X 2 X(1 X 2 + 1 X 1) = 72 種.14. 將標號為1，2，3, 4，5, 6的6張卡片放入3個不同的信封中假設每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有種方法，共有(A) 12 種(B) 18 種(C) 3

41、6 種(D) 54 種【解析】標號 1,2的卡片放入同一封信有3種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有算魚心is種，應選B.15. 某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假設7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A. 504 種B.960 種 C.1008 種D. 1108 種解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號 共有2 a；a4a4種方法甲乙排中間，丙排7號或不排7號，共有4a；(a4 a3a3a；)種方法故共有1008種不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰

42、的六位偶數的個數是(A) 72(B) 96( C) 108( D) 144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：先選一個偶數字排個位，有3種選法w_w_w.k*s 5*u.c o*m2 2 假設5在十位或十萬位，那么1、3有三個位置可排，3 Aj A2 = 24個 假設5排在百位、千位或萬位，那么1、3只有兩個位置可排，共 3 a|a| = 12個算上個位偶數字的排法，共計 3(24+ 12) = 108個答案：C17. 在某種信息傳輸過程中，用4個數字的一個排列(數字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息，假設所用數字只有0和1,那么與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同

43、的信息個數為A.10B.11C.12D.15【答家】盼【解栃】與信0110至多有兩個對應位置上的數字?同的信息包據三類 P第一舟 與信息肓兩個肘應位置上的數字招同有c沽6 (個片第二賂 與信息ai】o頁一個對應位貫上的藪字相同頁(個卜勇三類沒有一個對應上冊數孚相同有CA1個片與信急Q1W至多育兩個對應位上的紋孚相同的fiRS 6+4+1=11 (個人扳選氐2【命題意圖】本題考査組合1可題與分糞加法計數原理.屬中幽題.418. 現安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志愿者效勞活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁

44、戌都能勝任四項工作，那么不同安排方案的種數是A. 152B.126C.90D.54【解析】分類討論：假設有2人從事司機工作，那么方案有c| A 18 ；假設有1人從事司機工作，那么方案有c3 c： A 108種, 所以共有18+108=126種，故B正確19. 甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。假設從甲、乙兩組中各選出2名同學，那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有(D )(A) 150 種(B) 180 種(C) 300 種 (D)345 種1 1 2解：分兩類(1)甲組中選出一名女生有 C5 C3 C6225種選法；2 11(2)乙組中選出一名女生有 C5

45、C6 C2 120種選法.故共有345種選法.選D20. 將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，那么不同分精選法的種數為A.18B.24C.30D.36【解析】用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是 以種數是clA3 a 3021.2位男生和3位女生共5位同學站成一排，假設男生甲不站兩端,A. 60B. 48C. 42【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆在一起記作 生分別記作甲、乙；那么男生甲必須在A、B之間假設甲在時就不能滿足男生甲不在兩端的要求此時共有 位置插入乙，所以，共有 12X 4= 48種不同排法。 解

46、法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆在一起記作C：，順序有 A種，而甲乙被分在同一個班的有 A種，所3位女生中有且只有兩位女生相鄰，那么不同排法的種數是D. 362 26種不同排法，剩下一名女生記作 B,兩名男 A、B之間，此B，兩名A，A共有CA、B兩端。那么為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在6X 2= 12種排法A左B右和A右B左最后再在排好的三個元素中選出四個A，A共有CA； 6種不同排法，剩下一名女生記作男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有6A|A；=24種排法；第二類：“捆綁 A和男生乙在兩端，那么中間女生 B和男生

47、甲只有一種排法，此時共有6A； = 12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁A和男生甲也只有一種排法。此時共有6A| = 12種排法三類之和為24+ 12 + 12 = 48種。22.從10名大學生畢業生中選 3個人擔任村長助理，那么甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數位CA 85B 56C 49D 28【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個的選法有: 所以共有42+7=49，即選C項。23. 3位男生和3位女生共6位同學站成一排，假設男生甲不站兩端，1 2 2 1C2 C7 42，另一類是甲乙都去的選法有 C2 C7 =7，3位女生中有且只有兩位女生

48、相鄰，那么不同排法的種數是A. 360B. 188C. 216D. 96解析：6位同學站成一排,3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有A；C；A；A；332種，其中男生甲站兩端的有AfAjcfAfA；144，符合條件的排法故共有188解析 2：由題意有 2A2C； a； c2 c3 a c； a2a224. 12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組每組4個隊，那么3個強隊恰好被分在同一組的概率為)1311A.B .C.-D.-555543188,選 B。44解析因為將12個組分成4個組的分法有c：2c：c種,而3個強隊恰好被分在同一組分法有c3c；c：c故個強隊恰好被分3在同一組的

49、概率為 c3c；c4c：a2c42C4c：a3=-。5525. 甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，假設每級臺階最多站 2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，那么不同的站法種數是用數字作答312【解析】對于7個臺階上每一個只站一人，那么有 Az種；假設有一個臺階有2人，另一個是1人，那么共有C3A7種，因此共有不同的站法種數是336種.4個湯圓,26. 鍋中煮有芝麻餡湯圓 6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取 那么每種湯圓都至少取到 1個的概率為8254860A.B.C.D.91919191； 1, 2,一4【解析】因為總的滔法 C15,而所求事件的

50、取法分為三類，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個數分別按1； 2，1，1三類，故所求概率為489127. 將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，那么不同的分配方案有 種用數字作答【解析】分兩步完成：第一步將4名大學生按，2, 1 , 1分成三組，其分法有C4 C2 C1 ；第二步將分好的三組分配到 3個鄉鎮, AC2 C1 C1其分法有A所以滿足條件得分配的方案有42 - A3 36A28. 將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，那么不同的放球方法有A. 10 種B. 20 種C. 36 種D. 52 種

51、解析：將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，分情況討論：1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有C4 4種方法；1號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子， 有C4 6種方法；那么不同的放球方法有10種，選A.29. 將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，那么不同的分配方案有A3 0 種B9 0 種0180 種D 2 7 0 種解析：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，那么將5名教師分成三組，一組 1人，另兩組都C1 C23是2人，有 5 2 415種方法，再將3組分到

52、3個班，共有15 A 90種不同的分配方案，選 B.A30. 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個遙遠地區支教每地1人,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，那么不同的選派方案共有種解析：某校從"8名教師中選派4名教師同時去4個遙遠地區支教每地1人，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可243 4以分情況討論， 甲、丙同去，那么乙不去，有 C5 A4 =240種選法；甲、丙同不去，乙去，有C5 A4 =240種選法；甲、4乙、丙都不去，有 A 120種選法，共有600種不同的選派方案.31. 用數字0，1，2, 3，4組成沒有重復數字的五位數，那么其中數字1，2相鄰的偶數

53、有個用數字作答.解析：可以分情況討論： 假設末位數字為0,那么1，2,為一組，且可以交換位置，3,4，各為1個數字，共可以組成2A3122個五位數； 假設末位數字為2,那么1與它相鄰，其余3個數字排列，且0不是首位數字，那么有 2 A2 4個五位數； 假設末位 數字為4,那么1, 2，為一組，且可以交換位置，3, 0,各為1個數字，且0不是首位數字，那么有 2 2 A=8個五位數，所以全部合理的五位數共有 24個。32有一排8個發光二極管，每個二極管點亮時可發岀紅光或綠光，假設每次恰有3個二極管點亮，但相鄰的兩個二極管不能同時點亮，根據這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數共有多少種？解析因為相鄰的兩個二極管不能同時點亮， 所以需要把3個點亮的二極管插放在未點亮的 5個二極管之間及兩端的 6個空上， 共有C6種亮燈方法然后分步確定每個二極管發光顏色有2 X 2X 2 = 8種方法，所以這排二極管能表示的信息種數共有C3X 2X 2 X 2= 160種.33. 按以下要求把12個人分成3個小組，各有多少種不同的分法？1各組人數分別為2,4,6個；2平均分成3個小組；3平均分成3個小組，進入3個不同車間.2 4 6C42C8c4代解析1C22C1oC